2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-5-不等式选讲

1、大理知新教育选修45不等式选讲一知识梳理1两个实数大小关系的基本事实ab_；ab_；ab，那么_；如果_，那么ab.即ab_.(2)传递性：如果ab，bc，那么_(3)可加性：如果ab，那么_(4)可乘性：如果ab，c0，那么_；如果ab，cb0，那么an_bn(nN，n1)(6)开方：如果ab0，那么_(nN，n1)3绝对值三角不等式(1)性质1：|ab|_.(2)性质2：|a|b|_.性质3：_|ab|_.4绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|a(2)|axb|c (c0)和|axb|c (c0)型不等式的解法|axb|c_；|axb|c_.(3)

2、|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想5基本不等式(1)定理：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立(2)定理(基本不等式)：如果a，b0，那么_，当且仅当_时，等号成立也可以表述为：两个_的算术平均_它们的几何平均(3)利用基本不等式求最值对两个正实数x，y，如果它们的和S是定值，则当且仅当_时，它们的积P取得最_值；如果它们的积P是定值，则当且仅当_时，它们的和S取得最_值6三个正数的算术几何平均不等式(1

3、)定理如果a，b，c均为正数，那么_，当且仅当_时，等号成立即三个正数的算术平均_它们的几何平均(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均_它们的几何平均，即_，当且仅当_时，等号成立7柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实

4、数k，使k时，等号成立8证明不等式的方法(1)比较法;求差比较法; 知道abab0，ababb，只要证明_即可，这种方法称为求差比较法;求商比较法;由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时要证明ab，只要证明_即可，这种方法称为求商比较法(2)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式_的

5、假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地_，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法设Pn是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以断定Pn对一切自然数成立二例题讲解例1不等式|2x1|x2|0的解集为_例2不等式1|x1|3的解集为_例3.设不等式|x2|a(aN*)的解集为A，且A，A.则a的值为_例4已知a、b、m均为正数，且a0，且abbc

6、ca1.求证：(1)abc；(2) ()绝对值不等式的解法典例：(10分)解不等式|x1|x1|3.思维启迪本题不等式为|xa|xb|c型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法规范解答解方法一如图所示，设数轴上与1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间1,1上的数都不是不等式的解设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.4分1x1x3，得x.同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离之和为3，B1对应数轴上的x，x1x(1)3.x.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都大于3；点A1的左边或点B1

7、的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.8分所以原不等式的解集是.10分方法二当x1时，原不等式可化为(x1)(x1)3，解得：x.3分当1x0，求证：2a3b32ab2a2b.3若a、b、c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x.求证：a、b、c中至少有一个大于0.4(2013课标全国)设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.5设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小6(2013辽宁)已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x

8、a)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值B组专项能力提升1若nN*，Sn，求证：Sn.2(2013课标全国)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围3(2012福建)已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.4设a，b，c为正实数，求证：abc2. 答案要点梳理1ab0ab0ab02(1)bababc(3)acbc(4)acbcac(6)3(1)|a|b|(2)|ab|a|b|a|b|4(1)x|axa或x01(2)充

9、分条件(4)相反(5)放大或缩小夯基释疑1x|1x12.(4，2)(0,2)314.Mbc题型分类深度剖析例1解(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,0跟踪训练1解方法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)当a2时，

10、f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以当x5；当3x2时，g(x)5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5方法二(1)同方法一(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5例2证明由于2xy(x)(y)，由柯西不等式(a1b1a2b2)2(aa)(bb)得(2xy)2

11、()2()2(3x22y2)()6611，|2xy|，2xy.跟踪训练2解由柯西不等式(3242)(x2y2)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.不等式中当且仅当时等号成立，x2y2取得最小值，由方程组解得因此当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为.例3证明(1)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，(1)(1)(1)8.(2)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，2(abc)222，两边同加abc得3(abc)abc222()2.又abc1，()23，.跟踪训练3证明(1)要证abc，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcc

12、a)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2 (当且仅当abc时等号成立)证得原不等式成立(2) .在(1)中已证abc.因此要证原不等式成立，只需证明.即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c.abcabbcca (abc时等号成立)原不等式成立练出高分A组1解|x3|x4|9，当x3时，x3(x4)9，即4x4时，x3x49，即40，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.3证明假设a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，

13、所以abc0.而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以abc0，这与abc0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.4证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.5解(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1.所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b0.故ab1ab.6解(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(

14、x)4|x4|得2x64，解得x1；当2x4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3.B组1证明n(n1)n2，Sn12n.又n，Sn(1)(2)(n).Sn.2解(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0，所以原不等式的解集是x|0x1，则，f(x)|2x1|2xa|当x时，f