2017 2018高中数学 第一章 计数原理 12 排列与组合 1221 新人教A选修2 3

1、第,1,课时,组合与组合数公式,主题,1,组合与组合数的定义,1,给出下列两个问题,1,从,5,人中选取,2,人分别担任正、副班长,2,从,5,人中选取,2,人组成班委会,列出上述两个问题中的所有可能情况,提示,分别用,a,b,c,d,e,表示这,5,个人,1,中所有可能,为,ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,ba,ca,da,ea,cb,db,eb,dc,ec,ed,共,20,种,2,中所有可能,ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共,10,种,2,针对问题,1,中的,2,你能否总结其特征,提示,从,5,个不同元素中任取,2,个元素组成一组,

2、不考虑,这两个元素的顺序,结论,1,组合,一般地,从,_,合成一,组,叫做从,_,的一个组合,n,个不同元素中取出m(mn)个元素,n,个不同元素中取出,m,个元素,2,组合数,从,n,个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合,的,_,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,_,用符号,_,表示,m,n,C,个数,组合数,微思考,1,从,a,b,c,d,中选取,2,个,ab,与,ba,是同一个组合吗,提示,是,组合与顺序无关,2,组合与排列的异同点分别是什么,提示,共同点,都是“从,n,个不同元素中取出,m(m,n,个,元素,不同点,组合“合成一组,而排列是要“按照,一定顺序排成一列

3、,主题,2,组合数公式与组合数性质,从,1,3,5,7,中任取两个相除,1,可以得到多少个不同的商,提示,4,3=12,个不同的商,2,4,A,2,如何用分步乘法计数原理求商的个数,提示,第,1,步,从这四个数中任取两个数,有,种方法,第,2,步,将每个组合中的两个数排列,有,种排法,由分,步乘法计数原理,可得商的个数为,12,2,4,C,2,2,A,2,2,4,2,C,A,3,你能借助排列数计算,吗,提示,能,因为,所以,2,4,C,2,2,2,4,4,2,A,CA,2,2,4,4,2,2,A,C,6,A,结论,组合数公式及性质,组合数,公式,乘积,形式,阶乘,形式,性质,备注,n,mN,m

4、n,规定,_,_,m,n,C,m,n,m,m,n,n1,n2,nm,1,A,A,m,m,n,C,n,m,n,m,m,n,C,n,m,n,C,m,n,1,C,m,m,1,n,n,C,C,0,n,C,n,n,C,1,1,微思考,能否用语言描述,的含义,提示,从,n,个不同元素中取出,m,个元素后,必然剩下,n-m,个,元素,因此从,n,个不同元素中取出,m,个元素的组合,与剩,下的,n-m,个元素的组合一一对应,即从,n,个不同元素中取,出,m,个元素的组合数,等于从,n,个不同元素中取出,n-m,个,元素的组合数,因此,m,n,m,n,n,C,C,m,n,m,n,n,C,C,预习自测,1,如果,

5、28,则,n,的值为,A.9,B.8,C.7,D.6,解析,选,B. =28,所以,n=8,或,n=-7,舍,2,n,C,2,n,n,n,1,C,2,8,2,得,2,给出下面几个问题,其中是组合问题的是,某班选,10,名同学参加计算机汉字录入比赛,从,1,2,3,4,中选出,2,个数,构成平面向量,a,的坐标,从,1,2,3,4,中选出,2,个数分别作为实轴长和虚轴长,构,成焦点在,x,轴上的双曲线的方程,从正方体的,8,个顶点中任取两点构成线段,A,B,C,D,解析,选,B,中所取元素不考虑顺序,故是组合问,题,中考虑元素顺序,是排列问题,3,某乒乓球队有,9,名队员,其中,2,名是种子选手

6、,现在挑,选,5,名队员参加比赛,种子选手都必须在内,那么不同的,选法共有,_,种,解析,只需在除种子选手外的,7,人中再选,3,人,共有,35,种,答案,35,3,7,C,4,计算,_,解析,答案,24,3,3,4,3,C,A,33,3,43,4,C,A,A,4,3,2,2,4,5,一个口袋里装有,7,个白球和,1,个红球,从口袋中任取,5,个球,1,共有多少种不同的取法,2,其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法,3,其中不含红球,共有多少种不同的取法,仿照教材,P23,例,6,的解析过程,解析,1,从口袋里的,8,个球中任取,5,个球,不同取法,的种数是,2,从口袋里的,8,个球中任取,

7、5,个球,其中恰有一个红球,可以分两步完成,第一步,从,7,个白球中任取,4,个白球,有,种取法,第二步,把,1,个红球取出,有,种取法,5,3,8,8,8,7,6,C,C,5,6,3,2,1,4,7,C,1,1,C,故不同取法的种数是,3,从口袋里任取,5,个球,其中不含红球,只需从,7,个白球,中任取,5,个白球即可,不同取法的种数是,4,1,4,3,7,1,7,7,C,CCC3,5,5,2,7,7,7,6,C,C,2,1,2,1,类型一,组合及组合数的概念,典例,1,判断下列问题是排列问题,还是组合问题,并,求出相应的排列数或组合数,1,从1,2,3,9九个数字中任取,3,个,组成一个三

8、位数,这样的三位数共有多少个,2,从1,2,3,9九个数字中任取,3,个,然后把这三个数,字相加得到一个和,这样的和共有多少个,3,从,a,b,c,d,四名学生中选,2,名去完成同一份工作,有,多少种不同的选法,4)5,个人规定相互通话一次,共通了多少次电话,5,若已知集合,1,2,3,4,5,6,7,则集合的子集中有,3,个元素的有多少,解题指南,明确组合、排列的定义是解题的关键,若,问题是否与顺序有关不明显,则可以尝试写出其中的一,个结果进行判断,解析,1,当取出,3,个数字后,如果改变,3,个数字的顺,序,会得到不同的三位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是排列问题

9、,排列数为,504,3,9,A,2,取出,3,个数字之后,无论怎样改变这,3,个数字的顺序,其和均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安,排顺序无关,是组合问题,组合数为,84,3)2,名学生完成的是同一份工作,没有顺序,是组合问,题,组合数为,6,3,9,C,2,4,C,4,甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,无顺,序区别,为组合问题,组合数为,10,5,已知集合的元素具有无序性,因此含,3,个元素的子集,个数与元素的顺序无关,是组合问题,组合数为,35,2,5,C,3,7,C,延伸探究,1,本例,5,中将条件改为若从已知集合中选取,3,个不同,的元素,作为一元二次方程,ax,2,

10、bx+c=0,的系数,可以得到,多少个不同的一元二次方程,解析,是排列问题,选取的,3,个元素顺序不同时,得到,不同的一元二次方程,共有,204,个不同的一元,二次方程,3,3,7,3,C,1,A,2,典例,4,中将条件改为从,10,人中选出,3,人参加义务劳,动,有多少种选法,解析,选出,3,人参加义务劳动,3,人间不存在顺序,因,此是组合问题,组合数为,120,3,1,0,C,规律总结,判断组合与排列的主要依据,补偿训练,1,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名去参,加一项活动,列举出所有的选法,_,2,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名去两个乡镇参加社,会调查,列举出所有的选法,_

11、,3,以上两个问题有何区别与联系,区别,_,联系,_,解析,1,甲、乙,甲、丙,乙、丙,2,甲,乙,甲,丙,乙,丙,乙,甲,丙,乙,丙,甲,3,区别,前者没有顺序是组合问题,后者是有序问题,联系,后者是先选后排,前者是后者的一个步骤,类型二,组合数公式及性质的应用,典例,2,1,计算,3,4,5,6,7,7,8,9,C,C,C,C,n,n,n,1,n,2,m,2,m,mm,2,C,C,2,C,C,求,证,解题指南,1,根据组合数的性质先化简,再求解,2,将,变为,从两边化简,使之与左边,式子相同即可,n,1,m,2C,n,1,n,1,m,m,C,C,4,5,6,5,6,6,4,8,8,9,9,

12、9,1,0,1,0,1C,C,C,C,C,C,C,2,1,0,解,析,原,式,2,右边,左边,所以,原式成立,n,n,1,n,1,n,2,n,n,1n,m,m,m,m,m,1,m,1m,2,C,C,C,C,C,C,C,规律总结,组合数性质的应用技巧,1,性质,常用于,m,时组合数的计算,如,100,可以简化运算,m,n,m,n,n,C,C,n,2,9,9,1,1,0,0,1,0,0,C,C,2,性质,常用于恒等式变形和证明等式,顺用可将一个组合数拆分为两个的和,为某些项的相互,抵消提供方便,逆用则是“合二为一,减少组合数的,个数,m,m,m,1,n,1,n,n,C,C,C,巩固训练,1,若,则

13、,n,的解集为,_,2,计算,3,已知,求,n,3,4,5,n,n,n,1,1,2,C,C,C,9,8,1,9,9,1,0,0,20,0,C,C,3,n,6,4,n,2,1,8,1,8,C,C,解析,1,可得,n,2,11n-120,解得,1n12,又nN,且n5,所以n5,6,7,8,9,10,11,答案,5,6,7,8,9,10,11,6,2,4,n,n,1,n,2,n,n,1,n,2,n,3,由,2,4,0,nn,1,n,2,n,3,n,4,2,3,由,及组合数性质可知,3n+6=4n-2,或,3n+6=18-(4n-2,解得,n=8,或,n=2,9,8,1,9,9,2,1,1,0,0,

14、2,0,0,1,0,0,2,0,0,1,0,0,9,9,C,C,C,C,2,0,0,4,9,5,0,2,0,0,5,1,5,0,2,3,n,6,4,n,2,1,8,1,8,C,C,而3n+618且,4n,218,即n4且nN,所以,n=8,不符合题意,舍去,故,n=2,补偿训练,1,解方程,1,2,x,1,2,x,3,1,3,1,3,C,C,x,2,x,3,3,x,2,x,2,x,3,1,C,C,A,1,0,解析,1,由原方程得,x+1=2x-3,或,x+1+2x-3=13,所以,x=4,或,x=5,又由,所以原方程的解为,x=4,或,x=5,1,x,1,13,1,2x,3,13,2,x,8,

15、x,N,得,2,原方程可化为,所以,所以,所以,x,2,x-12=0,解得,x=4,或,x=-3,经检验,x=4,是原方程的解,x,2,3,5,3,x,3,x,3,x,3,x,3,1,1,C,A,C,A,1,0,1,0,即,x,3,x,3,5,x,2,1,0 x,1,1,1,2,0,x,2,1,0,x,x1,x,2,2,解不等式,解析,因为,所以由组合数性质知,因为x+13,x2,所以,x+1)x0,两边同除以,x+1)x,得,所以,x=2,3,4,5,x,2,x1,x1,x1,2,C,3,C,x,2,x1,x1,x1,2,C,3,C,3,2,x,1,x,1,x,1,x,x,1,x,1,x,2

16、,C,3,C,2,3,1,2,3,1,2,9,1,1,x,1,x,2,2,类型三,组合的简单应用,典例,3,某人决定投资,8,种股票和,4,种债券,经纪人向,他推荐了,12,种股票和,7,种债券,问,此人有多少种不同的,投资方式,解题指南,分两步,第一步,从,12,种股票中选,第,2,步,从,7,种债券中选,解析,可分为两步,第一步,从,12,种股票中选,8,种股,票有,种选法,第二步,从,7,种债券中选,4,种债券,有,种选法,故共有,495,35=17325,种投资方式,8,1,2,C,4,7,C,8,4,12,7,C,C,方法总结,基本组合问题的解法,1,判断是否为组合问题,2,是否分类

17、或分步,3,根据组合相关知识进行求解,巩固训练,1.(2017全国卷)安排,3,名志愿者完成,4,项工作,每人至少完成,1,项,每项工作由,1,人完成,则不,同的安排方式共有,A.12,种,B.18,种,C.24,种,D.36,种,解析,选,D,由题意,4,项工作分配给,3,名志愿者,分配方,式只能为,2,1,1,所以安排方式有,36,种,2,3,4,3,C,A,误区警示,本题易对排列与组合误判,从而导致计算,错误,2,现有,10,名教师,其中男教师,6,名,女教师,4,名,1,现要从中选,2,名去参加会议,有多少种不同的选法,2,选出,2,名男教师或,2,名女教师参加会议,有多少种不,同的选

18、法,3,现要从中选出男、女教师各,2,名去参加会议,有多少,种不同的选法,解析,1,从,10,名教师中选,2,名去参加会议的选法种,数,就是从,10,个不同元素中取出,2,个元素的组合数,即,2,1,0,1,0,9,C,4,5,2,1,2,可把问题分两类情况,第,1,类,选出的,2,名是男教师有,种方法,第,2,类,选出的,2,名是女教师有,种方法,根据分类加法计数原理,共有,15+6=21,种,不同选法,2,6,C,2,4,C,2,2,6,4,C,C,3,从,6,名男教师中选,2,名的选法有,种,从,4,名女教师,中选,2,名的选法有,种,根据分步乘法计数原理,共有,不同的选法,2,6,C,2,4,C,2,2,6,4,6,54,3,CC,9,