二次函数的研究性学习

1、题目：二次函数的特点及应用课题研究专业：数学与应用数学班级：2011级 2 班姓名：倪钱美学号：20110241136二次函数的特点及应用课题研究一、案例设计意图1、研究背景二次函数是我们学习数学必须掌握的一项知识， 它不仅在数学学科中有重要作用，而且在我们生活的方方面面 （如建筑工程业、航空航天及军事等方面）都具有重要的意义。为了更多的了解和掌握有关二次函数及二次函数的图像的知识，这里对二次函数的图像进行了各方面的探索、探讨和归类及推广等。2、研究目标通过对二次函数图像的特点和应用的研究，初步实现了以下目标：初步探索符合数学学科特点的“探究发现创造”的教学模式， 并形成探究性教学模式的具体操

2、作方法和应用策略， 同时能将应用于教学实践， 并对教学产生实效；通过小组研究为载体， 以研究性学习为核心， 初步探索在课堂教学中开展探究性学习活动的一般途径和方法， 同时，引导我们学生注重密切与社会生活的联系，初步培养我们学生自主创新意识和能力；有利于同学们对二次函数加深理解，有利于同学们对二次函数进一步认识，也有利于我们学生解释生活现象，有利于提高我们学生的自主探究能力二、具体探究角度特点：1、二次函数的三种表达形式（ 1）一般式： yax 2bx c( a 0) ；（ 2）顶点式： ya(xm) 2h ，其中点（ m,h）为该二次函数的顶点；（ 3）交点式： ya(xx1 )( xx2 )

3、 ，其中点 (x1 ,0) ， ( x2 ， 0) 为该二次函数与 x轴的交点。二次函数关系式设为： y=ax2+bx+c（a0）例 1、（南通市）已知抛物线yax2bxc 经过 A ，B，C 三点，当 x 0 时，其图象如图 1 所示。求抛物线的解析式，写出顶点坐标。解：设所求抛物线的解析式为 y ax2bx c （ a0 ）。由图象可知 A ， B，C的坐标分别为（ 0，2），（4，0），（ 5， -3）。a1 ,2c2,b3,16a4bc0,c22y1x 23x 225a5bc，3解之，得抛物线的解析式为22y1(x 23x)21( x3) 2252228该抛物线的顶点坐标为( 3 ，

4、25)28。顶点式： ya(xm)2h例 2. 已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 yx 1 上，并且图象经过点（ 3， 1），求二次函数的解析式分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数 a解：二次函数的最大值为 2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为 2又顶点在直线 yx1 上，所以， 2x1， x1顶点坐标是（ 1，2）设该二次函数的解析式为，二次函数的图像经过点（3， 1），解得 a 2二次函数的解析式为，即 y 2x2 8x7交点式： ya(xx1 )( xx2 ) ，其中点 (

5、x1 ,0) ， ( x2 ， 0)例 3.已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的表达式分析：由于题目所给的条件中， 二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式解：二次函数的图象过点(3，0)， (1，0)，可设二次函数为y a(x 3) (x 1) (a0)，展开，得yax22ax 3a，顶点的纵坐标为，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离 2，| 4a| 2，即 a所以，二次函数的表达式为y，或 y2、三种表达形式的关系二次函数的表达式有三种形式，即一般式、顶点式、交点式。它们

6、之间各不相同，而又相互联系。2一般式： ya xbxc (a0)优点：二次项系数 a ，一次项系数 b ，常数项 c ，三系数一目了然。缺点：不容易看出顶点坐标和对称轴b )224acy a (xb (a 0)4a顶点式：2a优点：很容易看出顶点坐标和对称轴缺点：不容易看出二次项系数a ，一次项系数 b ，常数项 c 各是多少。交点式： ya(xx1)( x x2)优点：很容易看出图像与 x 轴的交点坐标（ x1 ，0）和（ x2 ， 0）缺点：（1）不容易看出二次项系数a ，一次项系数 b ，常数项 c 各是多少。（2）当图像不与 x 轴相交时，此式不成立。3、三种表达式之间的联系（ 1）一

7、般式转化为顶点式利用配方法转化（一提、二配、三整理）2y a xbx c一提，提二次项系数，只对二次项、a2b x)c一次项提系数 a（xa二配，配一次项系数一半的平方，加22a xa x c( b ) ( b )2b上后立即减下来2a2aa xa x22( b ) a ( b ) c2b2a2a2b24acb三整理a (x)4a4a2a22a (x b ) 4ac b2a4a（ 2）顶点式转化为一般式展开整理即可22b4acy a(x)4a b ( a 0)2a22a(x2b xb2 )4ac ba4 a4a24ac22bba xbx4a4a24aca xbx4a2a x bx c（ 3）交

8、点式转化为一般式展开，利用韦达定理整理可得20) 与 x 轴有两交点（ x1 ，0）和（ x2 ， 0）二次函数 y a x bxc (a2c 0 的两个根则 x1 和 x2 为方程 a xbxy a( xx1)( xx2)2a( x x1 x x2 x x1 x2 )2x2) xx1 x2a x ( x1由韦达定理得： x1x2bx1 x2caa代入得：2x2 )x x1 x2y a x ( x12bca x(a ) xa 2a xbxc3、二次函数图像的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称

9、轴是y 轴（即直线 x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P -b/2a ， (4ac-b2;)/4a 。当 -b/2a=0 时， P 在 y 轴上；当= b2-4ac=0 时， P 在 x 轴上。3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右。5.常数项 c 决定抛物线与y 轴交点。抛物线与 y 轴交于（ 0，c）6.抛物线与

10、x 轴交点个数= b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。= b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。= b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点。 X 的取值是虚数（ X b 加减 根号内 B2 4ac 的值的相反数，乘上虚数 i，整个式子除 2aV.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2;+bx+c，当 y=0 时，二次函数为关于 x 的一元二次方程（以下称方程） ，即 ax2;+bx+c=0此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。应用：1、二次函数在经济中的应用经济问题是中高考中的热点

11、问题， 在试题中，出现了很多和经济有关的二次函数型试题解决此类试题， 需要从已知条件中捕捉二次函数信息， 通过函数关系，进一步解决实际问题例 4.(08 河北 )研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、 乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x （吨）时，所需的全部费用 y （万元）与 x 满足关系式y1 x25x 9010，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲 ， p乙 （万元）均与 x 满足一次函数关系（注：年利润年销售额全部费用）p甲114（ 1）成果表明，在甲地生产并销售 x 吨时，x20，请你用含 x 的代数式表示甲地当年的年销售额，

12、并求年利润w甲 （万元）与 x 之间的函数关系式；（ 2）成果表明，在乙地生产并销售 x 吨时，p乙1 xn10（ n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为35 万元试确定 n 的值；（ 3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品 18 吨，根据（ 1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？1 x214 x解：（ 1）甲地当年的年销售额为20万元；w甲3 x29 x 9020（ 2）在乙地区生产并销售时，w乙1 x2nx1 x25x 901 x2(n 5) x 90年利润1010541( 90)(n 5)253514由

13、5，解得 n15 或 5 经检验， n5 不合题意，舍去，n 15 w乙1 x210 x 90，（ 3）在乙地区生产并销售时，年利润5将 x18代入上式，得 w乙25.2 （万元）；将 xw甲3 x29x 9018代入20，得w甲 23.4Q w乙w甲，应选乙地（万元）2、二次函数在体育中的应用例 5.你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图 1 所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、2.5m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 1.5m，则学生丁的身高为（建立的平

14、面直角坐标系如图所示） （ ）A 1.5mB1.625mC1.66mD1.67m丙丁11甲2.5乙14解：设函数表达式为y=Ax2+Bx+C ，易知图像经过点（ 1，1），（0，1.5），（3，1），可得A B+C=1，A= 1/6，C=1.5，解得B=1/3，9A+3B+C=1 C=1.5113所以函数表达式为 y= 6 x2+ 3 x+ 2当 x=1.5 时， y=1.625所以答案为 B三、二次函数应用的推广和猜想推广：抛物线在建筑方面的运用也是很广泛的，由于地形的需要或者为了美观，很多建筑都运用了二次函数的原理。在政策决策上， 如政府对城市建设的规划，对城乡居民的补助， 以及一些安全方面的决策，如公路的建设要求，车灯等都有涉及到二次函数。猜想：爱美的都市青年人的减肥过程体重的增减与持续减肥的天数是否存在二次函数关系？四、对数学研究性教学的建议研究性教学是一个崭新的课题， 对于一个初初接触这个课题的新生来说， 是一件棘手的事情，一方面是因为以前没有接触过，没什么经验，不知从何入手，另一方面是高中学习负担重，如何协调好学习和研究课题之间的比例关系，成了学生们烦恼的事。 所以在数学研究性教学的过程当中， 应注意方法和步骤。首先，确定好索要研究的课题为二次函数的特点及应用。再分组讨