2017 2018人教A版高中数学选修4 4第2讲参数方程四渐开线与摆线课件

1、四,渐开线与摆线,学习目标,1,了解圆的渐开线的参数方程,2,了解摆线的生成过程及它的参数方程,3,学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤,知识链接,1,圆的渐开线的参数方程中的参数,的几何意义是什么,提示,根据渐开线的定义和求解参数方程的过,程，可知其中的字母,r,是指基圆的半径，而参,数,是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点,B,转,过的角度，如图，其中的,AOB,即是角,显然,点,M,由参数,唯一确定,在我们解决有关问题时,可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为,与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单,2,圆的摆线的参数方程中的参数,的几何意义是什么,提示,同样，根据圆的摆线的定义

2、和建立参数方程的过程,可知其中的字母,r,是指定圆的半径，参数,是指圆上定点相对,于定直线与圆的切点所张开的角度,参数的几何意义可以在,解决问题中加以引用，简化运算过程,当然这个几何意义还,不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况,预习导引,1,渐开线及其参数方程,1,把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐,渐展开，保持线与圆相切,的轨迹就叫做圆的渐开,线，相应的,叫做渐开线的,2,设基圆的半径为,r,圆的渐开线的参数方程是,线头,定圆,基圆,2,摆线及其参数方程,1,当一个圆沿着一条定直线,滚动时，圆周上的,一个,的轨迹叫做,简称,又叫旋轮线,2,设圆的半径为,r,圆滚动的角为

3、,那么摆线的参数方程,是,x,r,sin,y,r,1,cos,是参数,无滑动地,定点运动,平摆线,摆线,要点一,求圆的渐开线参数方程,例,1,用向量的方法求半径为,4,的圆的渐开线参数方程,解,以圆心为原点,O,绳端点的初始位置为,M,0,向量,OM,0,的方向为,x,轴正方向，建立坐标系,设渐开线上的任意点,M,x,y,绳拉直时和圆的,切点为,A,故,OA,AM,按渐开线定义,弧,AM,0,的长和线段,AM,的长相等，记,OA,和,x,轴正向,所夹的角为,以弧度为单位,则,AM,AM,0,4,作,AB,垂直于,x,轴，过,M,点作,AB,的垂线，由三角函数和向量知识，得,OA,4cos,4s

4、in,由几何知识知,MAB,AM,4,sin,4,cos,得,OM,OA,AM,4cos,4,sin,4sin,4,cos,4(cos,sin,4(sin,cos,又,OM,x,y,因此有,x,4,cos,sin,y,4,sin,cos,为参数,这就是所求圆的渐开线的参数方程,规律方法,用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过,程和步骤,1,建立适当的坐标系，设轨迹曲线上的动点为,M,x,y,2,选取运动中产生的某一角度为参数,3,用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式,4,用向量运算得到,OM,的坐标表达式，由此得到轨迹曲线,的参数方程,跟踪演练,1,半径为,2,的基圆的渐开线的参数方程为

5、,_,解析,方程为,x,2,cos,sin,y,2,sin,cos,为参数,答案,x,2,cos,sin,y,2,sin,cos,为参数,要点二,求摆线的参数方程,例,2,已知一个圆的摆线过一定点,2,0,请写出该圆的半径,最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程,解,令,y,0,可得,r,1,cos,0,由于,r,0,即得,cos,1,所以,2,k,k,Z,代入,x,r,sin,得,x,r,2,k,sin 2,k,又因为,x,2,所以,r,2,k,sin 2,k,2,即得,r,1,k,k,Z,又由实际可知,r,0,所以,r,1,k,k,Z,易知，当,k,1,时,r,取最大值为,1

6、,代入即可得圆的摆线的参数方程为,x,1,sin,y,1,1,cos,为参数,圆的渐开线的参数方程为,x,1,cos,sin,y,1,sin,cos,为参数,规律方法,根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其,中的参数,是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的,角度,跟踪演练,2,已知圆,C,的参数方程是,x,1,6cos,y,2,6sin,为参数,和直线,l,对应的普通方程是,x,y,6,2,0,1,如果把圆心平移到原点,O,请问平移后圆和直线有什么,关系,2,写出平移后圆的摆线方程,3,求摆线和,x,轴的交点,解,1,圆,C,平移后圆心为,O,0,0,它到直线,x,y,6,2,0,的距离

7、为,d,6,2,2,6,恰好等于圆的半径,所以直线,和圆是相切的,2,由于圆的半径是,6,所以可得摆线方程是,x,6,6sin,y,6,6cos,为参数,3,令,y,0,得,6,6cos,0,cos,1,所以,2,k,k,Z,代入,x,6,6sin,得,x,12,k,k,Z,即圆的摆线和,x,轴,的交点为,12,k,0,k,Z,1,圆的渐开线的参数方程中，字母,r,表示基圆的半径，字母,是指,绳子外端运动时绳子上的定点,M,相对于圆心的张角,2,由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的,半径，就能确定摆线的参数方程,1,圆,x,3cos,y,3sin,为参数,的平摆线上一点的纵坐

8、标为,0,那,么其横坐标可能是,A,B.3,C.6,D.10,解,析,根,据,条,件,可,知,圆,的,平,摆,线,的,参,数,方,程,为,x,3,3sin,y,3,3cos,为参数,把,y,0,代入，得,cos,1,所,以,2,k,k,Z,从而,x,3,3sin,6,k,k,Z,答案,C,2,当,2,时，圆的渐开线,x,6,cos,sin,y,6,sin,cos,上的点是,A.(6,0,B.(6,6,C.(6,12,D.,12,解析,当,2,时，代入圆的渐开线方程,x,6(cos 2,2,sin,2,6,y,6(sin 2,2,cos,2,12,答案,C,3,半径为,4,的圆的渐开线的参数方程是,_,解析,由圆的渐开线的参数方程,x,r,cos,sin,y,r,sin,cos,得,x,4,cos,sin,y,4,sin,sin,为参数,答案,x,4,cos,sin,y,4,sin,cos,为参数,4,已知