10-2三角形的角及内角和(2).讲义学生版

1、三角形的角及内角和： Z 中考要求LWi例题精讲内 容基本要求略咼要求较咼要求角 形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳 定性；会正确对三角形进行分类：理解三 角形的内角和、外角和及三边关系；会画 三角形的主要线段；了解三角形的内心、 外心、重心会用尺规法作给定条件的三角形；会运用三角形内角和 定理及推论；会按要求解三角形的边、角的计算问题； 能根据实际问题合理使用三角形的内心、外心的知识解 决问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形 中位线性质解决有关问题三角形内角和定理：三角形三个内角和等于 180 三角形的外角： 三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此

2、三角形共有六 个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的.三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和（并非6个外角之和）.三角形的外角和等于 360 .三角形内角和定理的三个推论：推论1:直角三角形的两个锐角互余.推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三角形内角和180的几种证明方法：添加平行线法：帕斯卡（法国数学家）折纸法:/ 2更具动手可行性的剪角法：（不严密）把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角. 三角形外角和360的证明法：锐角三角形：最大的内角为锐角的三角形直角三角形：最大

3、的内角为直角的三角形钝角三角形：最大的内角为钝角的三角形 三角形的角与不等式：1若JABC为锐角三角形，则0 ：. A：90 ,0：.B ：90,0：. C :：: 90;2若ABC为直角三角形，且.A=90，则 0：.B:：: 90,0：.C :：: 90 ,.A = .B. C =90，.B =.A-/C，C =.A-/B.3若ABC为钝角三角形，且.A.90，则 0：.B:：: 90,0：.C ： 90 ,0：.B . C :：: 90 .多边形及其内角和1基本概念多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边

4、形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形.凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形.2基本性质稳定性.内角和与外角和定理.分割成（n-2）个三角形求内角和如下图，n边形的内角和为360 .n边形的对角线：一个顶点有（n-3）条对角线，共有（n _3）n条对角线.2不特别强调多边形都指凸多边

5、形，凸多边形的每个内角都小于180 .1、多边形内角和的应用【例1】 已知一个多边形的内角和是540，则这个多边形是（）A .四边形B .五边形C.六边形D .七边形【巩固】一个多边形的内角和是外角和的 2倍，则这个多边形的边数为 （）A . 4B . 5C. 6D . 7【巩固】若一个正多边形的一个外角是40，则这个正多边形的边数是 （）A. 10B. 9C . 8D . 6【例3】在凸多边形中，小于108的角最多可以有（）A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个【巩固】若一个多边形的每一个外角都是锐角，则这个多边形的边数一定不小于【巩固】若一个多边形的每一个外角都是锐角，则这个多边

6、形的边数一定不小于【例4】一个多边形共有14条对角线，则它的内角和为 【巩固】如果一个多边形共有27条对角线，则这个多边形的边数是 【巩固】一个n边形的边数增加一条，那么它的对角线增加 条.【巩固】已知从n边形的一个顶点出发共有 4条对角线，其周长为 56，且各边长是连续的自然数，求这个多 边形的各边之长.【例5】 已知一个五边形的外角度数之比为1:2:3:4:5，求它的内角大小.【巩固】已知多边形的一个内角的外角与其余各角的度数总和为600，求这个多边形的边数及相应的外角的度数.【例6】 如果一个多边形的边数增加 1倍后，它的内角和是 2160，那么原来多边形的边数是 【例7】 如右图，小明

7、从点 A出发，向前走2米，左拐20，再向前走2米，再左拐20，如此下去，小明能 否回到出发点A?如果能，第一次回到出发点共走了多少路程？【例8】 如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n个多边形中，所有扇形面积之和是 （结果保留n）.第1个第2个第3个【巩固】如图，已知在一次科技活动中，需要将一张面积为形的半径均为1cm，求剩余纸张的面积.210cm的四边形四角都剪去一个扇形的区域，扇10立，贝H n=【例9】一凸n边形最小的内角为95，其它内角依次增加【例 10】如图，已知 AB / ED , C =90 , B=/E , D =1

8、30 , F =100，求.E 的大小.【例11】如图，讲六边形 ABCDEF沿直线GH折叠，使点A ,B落在六边形CDEFGH内部，则下列结论正确 的是（）ABA .乙1 2 =900 -2/C D E EFB .乙 1 2 =1080 -2./CMEC. - 12 =720 : _C D E F1D. /1： _2 =360C ： _D ： _E ： _F2板块三 涉及角平分线的图形中角的关系【例12】如右图所示，BD是ZABC的角平分线，CD是ZACB的角平分线，BD、CD交于D，试探索/A与 乙D之间的关系：AC【例13】如右图所示，BD是 ABC的外角平分线，CD也是.;ABC的外角

9、平分线，BD、CD交于点D，试 探索ZA与三D之间的关系：AF【例14】如右图所示，BD是乙ABC的角平分线，CD是AABC的外角平分线，BD、CD交于点D ,试探索乙A 与ND之间的关系：A【巩固】如图，在 ABC中，ZB的平分线与ZC的外角平分线相交于 D，乙D=40U NA等于（）A 50B 60C 70 D 80D【例15】如右图所示，在ABC中，CD、BE是外角平分线，BD、CE是内角平分线，BE、CE交于E ,BD、CD交于D，试探索/ D与NE的关系：D【巩固】如图所示，点 E和D分别在厶ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分.ACB和.AED , 试探索 F与.B

10、, D的关系：CAH【例16】如图所示，DC平分.ADB , EC平分.AEB，试探索.DCE与.DBE和.DAE的关系： E【巩固】如图，在三角形 ABC中，.A =42 , . ABC和.ACB的三等分线分别交于 D、E，求.BDC的度 数.A【例17】如图，延长四边形 ABCD对边AD，交BC于F，DC，AB交于E .若ZAED，乙AFB的平分线交1于 O，求证： ZEOF(./EAF /BCD).【例18】如图，BF是ZABD的角平分线，CE是ZACD角的平分线，BE与CF交于G，若/BDC =140 , NBGC =110 :求NA的度数.课后作业1.在四边形ABCD中, D =60 , . B比.A大20 , . C是.A的2倍，求.A , . B , C的大小.2.某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）A . 5B