高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积（二） 苏教版必修4

1、第二章,平面向量,2.4向量的数量积(二,学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.向量数乘的运算律有哪些？ 答(1)(a)()a. (2)()aaa. (3)(ab)ab. 特别地，有()a(a)(a)； (ab)ab,2.向量的线性运算 向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有(1a2b)1a2b,加,减,数乘,预习导引 1.向量数量积的运算律 (1)abba(交换律

2、)； (2)(a)ba(b)(ab)ab(结合律)； (3)(ab)cacbc(分配律). 2.向量数量积的性质 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量,0,0,要点一向量数量积运算律有关概念 例1给出下列结论： 若a0，ab0，则b0； 若abbc，则ac； (ab)ca(bc)； ab(ac)c(ab)0. 其中正确结论的序号是_,解析因为两个非零向量a、b垂直时，ab0，故不正确； 当a0，bc时，abbc0，但不能得出ac，故不正确； 向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确； ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正确. 答案,规律方法向量的

3、数量积ab与实数a、b的乘积ab有联系，同时有许多不同之处.例如，由ab0并不能得出a0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(ab)ca(bc,跟踪演练1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论： acbc(ab)c； (bc)a(ca)b不与c垂直； |a|b|ab|； (3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2. 其中正确的序号是_,解析根据向量积的分配律知正确； 因为(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0， (bc)a(ca)b与c垂直，错误； 因为a，b不共线，所以|a|、|b|、|ab|组成三角形三边， |a|b|ab|成立，正

4、确； 正确.故正确命题的序号是. 答案,要点二向量数量积运算律综合应用 例2已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b). 解(a2b)(a3b)aaab6bb|a|2ab6|b|2|a|2|a|b|cos 6|b|26264cos 6064272,规律方法熟练掌握两向量的数量积定义及运算性质，是解决此类问题的关键.计算形如(manb)(paqb)的数量积可仿多项式乘法的法则展开计算，再运用数量积定义和模的公式化简求解,跟踪演练2已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求： (1)(2ab)(a3b)； 解(2ab)(a3b)2a26abab3b2 2|a|2

5、5ab3|b|2 216542cos 120340,2)|3a4b|. 解|3a4b|2(3a4b)29a224ab16b2 91624(4)1641619,例3已知|a|3，|b|4，且a与b不共线，k为何值时，向量akb与akb互相垂直. 解akb与akb互相垂直的条件是 (akb)(akb)0，即a2k2b20,规律方法向量a，b夹角为锐角的等价条件是ab0且a与b不同向共线；ab夹角为钝角的等价条件是ab0且a与b不反向共线；a与b垂直的等价条件是ab0,跟踪演练3已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角？ 解e1ke2与ke1e2的夹

6、角为锐角， (e1ke2)(ke1e2,但当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去. 综上，k的取值范围为k|k0且k1,1,2,3,4,1.已知|a|2，|b|1，a与b之间的夹角为60，那么向量a4b的模为_. 解析|a4b|2a28ab16b2 22821cos 60161212， |a4b|2,1,2,3,4,解析|ab|2(ab)2a22abb210， |ab|2(ab)2a22abb26， 将上面两式左右两边分别相减，得4ab4， ab1,1,1,2,3,4,15,1,2,3,4,8或5,课堂小结,1.数量积对结合律一般不成立，因为(ab)c|a|b| cosa，bc是一个与c共线的向量，而a(bc)|b|c|cosb，ca是一个与a共线的向量，两者