2019年高考数学试题江苏卷数学

1、2019江苏卷(数学)1.A12019江苏卷 已知集合A=-1,0,1,6,B=x|x0,xR,则AB=.1.1,6解析 由题易知AB=1,6.2.L42019江苏卷 已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.2.2解析 (a+2i)(1+i)=a-2+(a+2)i.因为该复数的实部为0,所以a=2.3.L12019江苏卷 图1-1是一个算法流程图,则输出的S的值为.图1-13.5解析 由图可得,x=1,S=0+12=12;x=2,S=12+1=32;x=3,S=32+32=3;x=4,S=3+2=5,退出循环,输出的S的值为5.4.B12019江苏卷 函数y

2、=7+6x-x2的定义域是.4.-1,7解析 由题意可得7+6x-x20,即x2-6x-70,解得-1x7,故该函数的定义域是-1,7.5.I22019江苏卷 已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.5.53解析 这组数据的平均数为6+7+8+8+9+106=8,所以方差为4+1+1+46=53.6.K22019江苏卷 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.6.710解析 3名男同学记为A,B,C,2名女同学记为D,E.基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C

3、,D),(C,E),(D,E),共10个,其中至少有1名女同学的基本事件有7个,故所求概率为710.7.H62019江苏卷 在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y2b2=1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.7.y=2x解析 将(3,4)代入双曲线方程可得b=2,所以该双曲线的渐近线方程是y=2x.8.D22019江苏卷 已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.8.16解析 设数列an的公差为d,由S9=9a5=27,得a5=3,从而3a2+a8=0,即3(a5-3d)+(a5+3d)=0,解得d=23a5=2,所

4、以S8=S9-a9=S9-(a5+4d)=27-11=16.9.G72019江苏卷 如图1-2,长方体ABCD -A1B1C1D1的体积为120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.图1-29.10解析 因为V三棱锥E-BCDV长方体=13SBCDECS矩形ABCDCC1=13SBCDS矩形ABCDECCC1=112,所以V三棱锥E-BCD=112V长方体=112120=10.10.E6、H22019江苏卷 在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.10.4解析 方法一:由已知可设Px,x+4x,x0,所以点P到直线x

5、+y=0的距离d=x+x+4x2=2x+4x222x4x2=4,当且仅当2x=4x,即x=2时取等号,故点P到直线x+y=0的距离的最小值为4.方法二:作直线x+y=0的平行线x+y+C=0(图略),当直线x+y+C=0与曲线y=x+4x(x0)相切于点P时,点P到直线x+y=0的距离最小.由x+y+C=0,y=x+4x,得2x2+Cx+4=0,所以=C2-32=0,解得C=42.因为x0,所以y0,所以C0,则C=-42,则所求距离的最小值为|C|2=4.11.B112019江苏卷 在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的

6、底数),则点A的坐标是.11.(e,1)解析 设切点A(x0,ln x0),因为y=(ln x)=1x,所以该曲线在点A处的切线的斜率k=1x0,又切线过点(-e,-1),所以k=ln x0+1x0+e=1x0,即x0ln x0=e,解得x0=e,所以点A的坐标是(e,1).12.F32019江苏卷 如图1-3,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若ABAC=6AOEC,则ABAC的值是.图1-312.3解析 如图所示,过D作DFCE,交AB于点F.因为D是BC的中点,所以F是BE的中点.又BE=2EA,所以EF=EA,所以AO=OD,所以AO=12AD

7、=14(AB+AC).又EC=AC-AE=AC-13AB,所以ABAC=6AOEC=614(AB+AC)AC-13AB=32AC2-12AB2+ABAC,即AB2=3AC2,所以ABAC=3.13.C5、C6、C72019江苏卷 已知tantan+4=-23,则sin2+4的值是.13.210解析 由tantan+4=tantan+11-tan=-23,得3tan2-5tan -2=0,解得tan =2或tan =-13.sin2+4=22(sin 2+cos 2)=222sincos+cos2-sin2cos2+sin2=222tan+1-tan21+tan2,将tan =2或tan =-1

8、3代入得sin2+4=210.14.B3、B4、B92019江苏卷 设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x(0,2时,f(x)=1-(x-1)2,g(x)=k(x+2),0x1,-12,10.若在区间(0,9上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.14.13,24解析 当x(0,2时,y=f(x)=1-(x-1)2等价于(x-1)2+y2=1(y0).结合f(x)是周期为4的奇函数,可作出f(x)在(0,9上的图像,如图所示.因为当x(1,2时,g(x)=-12,且g(x)的周期为2,由图

9、可知,当x(1,2(3,4(5,6(7,8时,f(x)与g(x)的图像有2个交点.由题知,f(x)与g(x)的图像在区间(0,9上有8个交点,所以当x(0,1(2,3(4,5(6,7(8,9时,f(x)与g(x)的图像有6个交点.又当x(0,1时,y=g(x)=k(x+2)表示的直线恒过定点(-2,0),且斜率k0.结合g(x)的周期为2及f(x)的图像可知,当x(2,3(6,7时,f(x)与g(x)的图像无交点,所以当x(0,1(4,5(8,9时,f(x)与g(x)的图像有6个交点.由f(x)与g(x)的周期性可知,当x(0,1时,f(x)与g(x)的图像有2个交点.当线段y=k1(x+2)

10、(0x1)与圆弧(x-1)2+y2=1(00,所以k1=24(此时恰有1个交点);当线段y=k2(x+2)(00,所以cos B=2sin B0,从而cos B=255.因此sinB+2=cos B=255.16.G4、G52019江苏卷 如图1-4,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1平面DEC1;(2)BEC1E.图1-416.证明:(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABA1B1,所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1,A1B1平面DEC1,所以A1B1平面DEC1.(2)因

11、为AB=BC,E为AC的中点,所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以C1C平面ABC.又因为BE平面ABC,所以C1CBE.因为C1C平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,C1CAC=C,所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1,所以BEC1E.17.H4、H52019江苏卷 如图1-5,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接D

12、F1.已知DF1=52.图1-5(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.17.解:(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=52,AF2x轴,所以DF2=DF12-F1F22=522-22=32.因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)解法一:由(1)知,椭圆C:x24+y23=1,a=2.因为AF2x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4.因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0

13、),所以直线AF1:y=2x+2.由y=2x+2,(x-1)2+y2=16,得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-115.将x=-115代入y=2x+2,得y=-125.因此B-115,-125,又F2(1,0),所以直线BF2:y=34(x-1).由y=34(x-1),x24+y23=1,得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=137.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.将x=-1代入y=34(x-1),得y=-32,因此E-1,-32.解法二:由(1)知,椭圆C:x24+y23=1.如图,连接EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而BF1

14、E=B.因为F2A=F2B,所以A=B.所以A=BF1E,从而EF1F2A.因为AF2x轴,所以EF1x轴.因为F1(-1,0),由x=-1,x24+y23=1,得y=32.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-32.因此E-1,-32.18.H1、H3、H42019江苏卷 如图1-6,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD

15、=12(单位:百米).图1-6(1)若道路PB和桥AB垂直,求道路PB的长.(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由.(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.18.解:解法一:(1)过A作AEBD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PBAB,所以cosPBD=sinABE=810=45.所以PB=BDcosPBD=1245=15.因此道路PB的长为15(百米).(2)若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P

16、选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连接AD,由(1)知AD=AE2+ED2=10,从而cosBAD=AD2+AB2-BD22ADAB=7250,所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ=QA2-AC2=152-62=321.此时,线段QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PBAB,点Q位于点C的右

17、侧,且CQ=321时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+321(百米).解法二:(1)如图,过O作OHl,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为34.因为PBAB,所以直线PB的斜率为-43,直线PB的方程为y=-43x-253.所以P(-13,9),PB=(-13+4)2+(9+3)

18、2=15.因此道路PB的长为15(百米).(2)若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=45,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:y=-34x+6(-4x4).在线段AD上取点M3,154,因为OM=32+154232+42=5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.

19、当QA=15时,设Q(a,9),由AQ=(a-4)2+(9-3)2=15(a4),得a=4+321,所以Q(4+321,9).此时,线段QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+321,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+321-(-13)=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+321(百米).19.B11、B12、B142019江苏卷 设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,cR,f(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若ab,b=c,且f(x)和f(x)的零点均在集合-

20、3,1,3中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0b1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M427.19.解:(1)因为a=b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3.因为f(4)=8,所以(4-a)3=8,解得a=2.(2)因为b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,从而f(x)=3(x-b)x-2a+b3.令f(x)=0,得x=b或x=2a+b3.因为a,b,2a+b3都在集合-3,1,3中,且ab,所以2a+b3=1,a=3,b=-3.此时,f(x)=(x-3)(x+3)2,f(x)=3(x+3)(x-

21、1).令f(x)=0,得x=-3或x=1.列表如下:x(-,-3)-3(-3,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2=-32.(3)证明:因为a=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,f(x)=3x2-2(b+1)x+b.因为00,则f(x)有2个不同的零点,设为x1,x2(x1x2).由f(x)=0,得x1=b+1-b2-b+13,x2=b+1+b2-b+13.列表如下:x(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值M=f(

22、x1).解法一:M=f(x1)=x13-(b+1)x12+bx1=3x12-2(b+1)x1+bx13-b+19-2(b2-b+1)9x1+b(b+1)9=-2(b2-b+1)(b+1)27+b(b+1)9+227(b2-b+1)3=b(b+1)27-2(b-1)2(b+1)27+227(b(b-1)+1)3b(b+1)27+227427.因此M427.解法二:因为00.因为ckbkck+1,所以qk-1kqk,其中k=1,2,3,m.当k=1时,有q1;当k=2,3,m时,有lnkkln qlnkk-1.设f(x)=lnxx(x1),则f(x)=1-lnxx2.令f(x)=0,得x=e.列表

23、如下:x(1,e)e(e,+)f(x)+0-f(x)极大值因为ln22=ln862.21.A.选修4-2:矩阵与变换解:(1)因为A=3122,所以A2=31223122=33+1231+1223+2221+22=115106.(2)矩阵A的特征多项式为f()=-3-1-2-2=2-5+4.令f()=0,解得A的特征值1=1,2=4.B.选修4-4:坐标系与参数方程解:(1)设极点为O,在OAB中,A3,4,B2,2,由余弦定理,得AB=32+(2)2-232cos2-4=5.(2)因为直线l的方程为sin+4=3,则直线l过点32,2,倾斜角为34.又B2,2,所以点B到直线l的距离为(32

24、-2)sin34-2=2.C.选修4-5:不等式选讲解:当x2,解得x2,即x12时,原不等式可化为x+2x-12,解得x1.综上,原不等式的解集为x|x1.22.J42019江苏卷 设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,n4,nN*.已知a32=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+3)n=a+b3,其中a,bN*,求a2-3b2的值.22.解:(1)因为(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn,n4,所以a2=Cn2=n(n-1)2,a3=Cn3=n(n-1)(n-2)6,a4=Cn4=n(n-1)(n-2)(n-3)24.因为a32=2a2a4,所以n(n-1)(n-2)62=2n(n-1)2n(n-1)(n-2)(n-3)24.解得n=5.(2)由(1)知,n=5.(1+3)n=(1+3)5=C50+C513+C52(3)2+C53(3)3+C54(3)4+C55(3)5=a+b3.解法一:因为a,bN*,所以a=C50+3C52+9C54=76,b=C51+3C53+9C55=44,从而a2-3b2=762-3442=-32.解法二:(1-3)5=C50+C51(-3)+C52(-3)2+C