空间向量及其运算

1、. 空间向量及其运算一、选择题(每小题6分，共36分)1若对任意一点O，有xy，则xy1是P，A，B三点共线的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】当xy1时，x1y.xy(1y)yy.y，A，P，B三点共线当A，P，B三点共线时，()，即(1).令x，y1，则xy1.【答案】C2已知向量a，b，c两两夹角都是60，其模都是1，则|ab2c|等于()A. B5C6 D.【解析】(ab2c)2a2b24c22ab4bc4ac114211cos60411cos60411cos6061225，|ab2c|.【答案】A3在以下命题中，不正确的命题个数为()已知

2、A、B、C、D是空间任意四点，则0.|a|b|ab|是a，b共线的充分条件若a与b共线，则a与b所在直线平行对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若x yz(其中x、y、zR)，则P、A、B、C四点共面A1个 B2个C3个 D4个【解析】0，正确；|a|b|a|b|成立的充分条件是|a|与|b|共线且方向相反，且|a|b|，因此错，由向量平行知不正确，由空间向量中点共面知不正确，故选C.【答案】C4已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则的值为()Aa2 B.a2C.a2 D.a2【解析】()()(a2cos 60a2cos 60)a2.【答案

3、】C5已知四边形ABCD满足：0，0，0，0，则该四边形为()A平行四边形 B梯形C平面四边形 D空间四边形【解析】由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和是360，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形故选D.【答案】D6将正ABC沿其所在平面的法向量平移到A1B1C1，连接对应顶点，若ABBB1，则AB1与C1B所成的角的大小为()A60 B90C105 D75【解析】设与的夹角为，则，.不妨取BB11，AB，得AB1，C1B.则|cos 3cos .又()()01cos 6000，cos 0，得90，故选B.【答案】B二、填空题(每小题6分，共18

4、分)7已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角为60，则对角线AC1的长是_【解析】，|2()22221112cos 6036，|.【答案】8已知a(2,3，1)，b(2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积是_【解析】ab4334，|a|b|，cosa，b，sina，b，S平行四边形|a|b|sina，b146.【答案】69在各棱长都等于1的正四面体OABC中，若点P满足xyz(其中xyz1)，则|的最小值等于_【解析】由于xyz，所以|2(xyz)2x2y2z2xyyzxz1(xyyzxz)，而1(xyz)2x2y2z22(xyyzxz)3

5、(xyyzxz)，所以xyyzxz，于是|2，故|，即|的最小值等于.【答案】三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10如图所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值【解析】BAA，OBO(AA)OAOA|O|A|cosO，A|O|A|cosO，A84cos13586cos1202416，cosO，B，故OA与BC所成角的余弦值为.11在空间四边形PABC中，PA平面ABC，ACBC.若A在PB、PC上的射影分别是E、F.求证：EFPB.【证明】由已知可得0，0，0，0，又、共面，所以存在实数x，y，使得xy，()()(xy)x()y()000.EFPB.12在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B、D之间的距离【解析】如图(1)、(2)ACD90，BAC9