2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题(全国卷2,含解析)AKAlnH

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分第I卷1至3页，第n卷3至5页.2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置3全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回第I卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.(1) 已知z (m 3) (m 1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(A)( 31) ( b)( 13)( c)(1,+ )( D)(-，3)(2) 已知集合 A 1,2,3，B x|(x 1

2、)(x 2),x Z，则 AUB(A) 1 (B) 1, (C) 01,2,3( D) 1,0,1,2,3(3) 已知向量 a (1,m)， b=(3, 2)，且(a + b) b，则 m=(A)-8(B)- 6(C) 6( D) 8(4)2圆X2y 2x 8y130的圆心到直线ax y 10的距离为1，则a=43(A)3(B)4(C)3(D) 2(5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参 加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(A ) 24( B) 18( C) 12( D) 9(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几

3、何体的表面积为(A)k n x=-(D) 32 nn12个单位长度，则评议后图象的对称轴为nk n nk n nk n n2 - 6 (k Z) ( B) x=-+6 (k Z)( C) x=-12 (k Z) ( D) x+ (k Z)(8)输入的x=2, n=2,依次输入的 a为2, 2, 5,则输出的s=中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若是/出/(A) 7( B) 12n(9)右 COS( -a471(A ) 25( B)1(C) 17( D) 34)=5,则sin 2 a(C)1 (D)- 25(10)从区间0,1随机抽取2n个数X1,X2

4、,，Xn,屮,y2 ,，yn，构成n个数对X1,y1 ,x2,y2，Xn, yn，其中两数的平方和小于 1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的 圆周率的近似值为4n2n4m2m(A)m(B) m(C)n(D)n(11)已知2xF1，巨是双曲线Epa2 y b21的左，右焦点，点 M在E 上, M F1与x轴垂直,sinMF2F,-,则E的离心率为3(A 2C)3(D) 22(12)已知函数f(x)(x R)满足f( X)2 f(x)，若函数y jLJ与y f(x)图像的交 Xm点为(x-,yi),( X2,y2),(Xm,ym),则 (人 y)i 1(A)0( B)m( C)2m( D)4

5、m第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须 作答.第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分4 5(13) ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 cos A= ，cos C= ，a=1，贝U b= .5 13(14) a B是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：(1) 如果m丄n，m丄a，n/ B那么a丄B.(2) 如果m丄a，n/ a那么ml n.(3) 如果 a/ B, m a，那么 m/ B(4) 如果m / n，a/ B,那么m与a所成的角和n与B所成的角相等.

6、其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)(15) 有三张卡片，分别写有 1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 。(16) 若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线 y=ln (x+2)的切线，贝U b=.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本题满分12分)Sn为等差数列 an的前n项和，且an=1, S7 28.记bn= Igan，其中x表示不超过X的最大 整数，如 0.9

7、 =0，Ig99 =1.(1)求 4, 01, b101 ；(II )求数列 bn的前1 000项和.18.(本题满分12分)某险种的基本保费为 a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保 费与其上年度的出险次数的关联如下：上年 度出险次 数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:- 7年 内出险次 数012345概率0.300.150.200.200.100. 05(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(II )若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率;(II

8、I )求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值19.(本小题满分12分)5如图，菱形ABCD的对角线 AC与BD交于点O,AB=5,AC=6，点E,F分别在AD,CD上,AE=CF = ，4EF交BD于点 比将厶DEF沿EF折到 D EF的位置，OD . 10 .(I)证明：D H 平面ABCD ；(II )求二面角B DA C的正弦值.20.(本小题满分12分)2 2已知椭圆E: V1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,t 3点N在E上，MA丄NA.(I)当t=4, AM AN时，求 AMN的面积；(II )当2 AM AN时，求k的取值范围.(21) (

9、本小题满分12分)x 2(I) 讨论函数f(x)ex的单调性，并证明当x 0时，(x 2)ex x 2 0;x 2xe ax a(II) 证明：当a 0,1)时，函数g(x)=2 (x 0)有最小值设g(x)的最小值为h(a)，x求函数h(a)的值域 请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号(22) (本小题满分10分)选修4-1 :集合证明选讲，且DE = DG,过D点作 DF丄如图，在正方形 ABCD，E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合) CE,垂足为F.(I) 证明：B,C,E,F四点共圆；(II) 若AB=1，E为DA的中点，求四

10、边形 BCGF的面积.(23) (本小题满分10分)选修4 4:坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中，圆C的方程为(x+6) 2+y2=25.(I)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(II )直线I的参数方程是(t为参数)，1与C交于A、B两点，1 AB I =，求I的斜率。(24) (本小题满分10分)，选修45:不等式选讲已知函数f(x)= I x- I + I x+ I, M为不等式f(x) v 2的解集.(I)求 M;(II )证明：当 a,b M 时，I a+b IvI 1+ab I。参考版解析第I卷、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给

11、出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)已知 z (m 3) (m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(A)3，1(B)1, 3(D)【解析】A二 m 3 0, m 1 0, - 3 m 1,故选 A.(2)已知集合 A 1, 2, 3 , B x|(x 1)(x 2)0, x Z，则 AUB(A)1(B)1 , 2(C)0，1，2，3(D) 1 ,0,1,2 , 3= m 贝 rb rb【解析】CB x x 1 x 20, x Z B 0 , 1 , AU B 0 , 1 , 2 , 3故选C.(3)已知向量 a (1,m), b=(3, 2)，且(a(A)8(B)

12、6(C) 6(D) 8【解析】Dr r a b4 ,m 2r rrrr r- (a b)b，(ab) b 12 2(m2)0解得m8 ,故选D.(4)圆2 2x y2x8y130的圆心到直线axy 10的距离为1,贝y a=43(C) 3(A) 3(B)4(D)2【解析】A2 2 2 2圆x y 2x 8y 130化为标准方程为： x 1 y 44 ,la 4 14故圆心为1, 4 , d 1，解得a -,Va 13故选A.(5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(A ) 24( B) 18 ( C

13、) 12( D) 9【解析】BE F有6种走法，F G有3种走法，由乘法原理知，共 6 3 18种走法 故选B.(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(A ) 20 n ( B) 24 n( C) 28 n( D) 32 n【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为 r，周长为c ,圆锥母线长为丨，圆柱高为h .由图得r 2, c 2n 4 n,由勾股定理得：I *22 2*34 ,$表* 眇 2c| 4n i6n 8n 28n，故选C.(7)若将函数y=2sin 2x的图像向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴为(A) xknn .k Z(B

14、) xknn .k Z2626knn , 一k nn , 一(C) xk Z(D) xk Z212212【解析】B平移后图像表达式为y 2sin 2 x7t1225令2x if心n，得对称轴方程：x罗nk Z ,故选B.（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的x 2，n 2,依次输入的a为2，2，5,则输出的s（廿岁）/输入和*/输入口 /(A)7（B）12(C)17(D)34【解析】C第一次运算:s0222，第二次运算:s2226，第三次运算:s62517，故选C.(9)若 cos n3，贝U sin2 =5（A）右1(B)5(c )15【

15、解析】D(D)/ COS 43, sin2cos n 2522cos2 n4725，(10)从区间0,1随机抽取2n个数X-X2, -Xn ,y1 ,y2y，构成n个数对Xi,yi ,X2, y2,，Xn,yn，其中两数的平方和小于的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为(A)m2n(B)m4m(C)2m(D)n【解析】C由题意得:x , yii，n在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中1 A由几何概型概率计算公式知n414m，故选n(11)已知F , F2是双曲线E:2 y b21的左，右焦点，点M在E上,MF,与x轴垂直,sin MF2F1，则E的离心率为

16、(A)2(B)(C) -.3(D) 2【解析】A离心率eF1F2MF2MF1，由正弦定理得MF2 MF1sin Msin F1sin F22.2三 2 .11 -故选A.3(12)已知函数fx R满足fx，若函数y与y f x图像的交点xyiX2, y2, ?,mXm , ym，贝VXii 1yi(A) 0(B) m(C) 2m(D) 4m【解析】B关于0,1对称,0 , 1对称,对于每一组对称点y y =2 ,mXii 1m,2 - m，故选本卷包括必考题和选考题两部分.题为选考题，考生根据要求作答.(13) ABC 的内角 A, B,21【解析】21134 , cosC5sin AI ,

17、sinCsin Bsin A由正弦定理得:(14)第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答.第C的对边分别为a, b, c,若cos A4 , cosC - , a 1,5 132224513，1213，63 sin A cosC cosAsi nC -65解得b 21sin B sin A13是两个平面，m, n是两条线，有下列四个命题: 如果m n , m , n/ ，那么 如果m , n / ，那么m n . 如果a/, m ，那么m/.如果m/ n ,/ ，那么m与所成的角和n与所成的角相等.的数字不是1”，丙说： 我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是【解析】（15）

18、有三张卡片，分别写有 1和2, 1和3, 2和3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙乙看了丙的卡片后说：我与丙的卡片上相同的卡片后说：我与乙的卡片上相同的数字不是2”,【解析】（1,3）由题意得：丙不拿（2, 3）,若丙（1,2),则乙(2, 3),甲( 1 , 3)满足,若丙（1，3），则乙（2，3），甲（ 1，2）不满足,故甲（1，3），（16）若直线y kxb是曲线yIn x2的切线,也是曲线y In x1的切线，b【解析】1In2In x2的切线为:X11 （设切点横坐标为In1的切线为:1yx InX212xx21X21X1X2In x1In x2X2x2 1X2In 2三、解答题

19、：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）Sn为等差数列 an的前n项和，且q 1 , S7 28 记bn Ig an，其中x表示不超过x的最大整数，如 0.90， Ig99 1 .（）求 b，b 1，嚅；（n）求数列 bn的前1000项和.【解析】设an的公差为d， S7 7a4 28，4 ， d1，二 ana (n 1)d b lg a!lg10，bnlgalg11 1，bo1记bn的前n项和为Tn，则 T000b abo。lg a lga2lg a1000.当 0 w lg an1时，n 1，2，9 ；当 1w lg an2时，n 10，11，99当 2 w

20、ig a.3时，n 100，101，999 ；lg a101lg 101 2 .当 lg a,3时,1000 .T0001 90 2 900 3 11893 .（18）（本小题满分12 分)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的(出)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.【解析】设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ,保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234 5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数01234 5概率0.300.150.200.200.1

21、00.05求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率;P(A) 1 P(A) 1(0.30 0.15)0.55.设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ,P(BA)鵲皆 11解：设本年度所交保费为随机变量X.X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05平均保费EX 0.85 0.30 0.15a 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.050.2551 0.15a 0.25a 0.3a 0.175a 0.1a 1.23a,平均保费与基本保

22、费比值为1.23.(19)(本小题满分12分)如图，菱形 ABCD的对角线 AC与BD交于点O, AB 5, AC 6，点E, F分别在AD, CD上, AE CF -4(I)证明：DH平面ABCD ；(II )求二面角BDA C的正弦值.EF交BD于点H.将DEF沿EF折到 D EF的位置OD . 10 .【解析】证明：/ AE CF 5 ,4 AE 圧AD CD, EF II AC .四边形ABCD为菱形, ACBD ,- EFBD ,- EFDH , EFD H ./ AC6, AO3;又AB5, AO OB, OB4 ,OHODAO1DHDH 3,222OD|OHDH ,DHOH ./

23、 OHI EF HDH面 ABCD又建立如图坐标系 H xyz .B 5,0,0 , C 1, 3, 0 , DO ,0,3 , A 1 ,3, 0 ,urnuuuruuuAB 4, 3, 0 , AD 1 , 3, 3 , AC 0 , 6, 0 ,设面ABD法向量mx, y , z ,uruuux 3由n1由urAB uuju0得4x3y0取y 4 ,n1AD0x3y3z0z 5ur3 ,4,5.ur同理可得面ADC的法向量n23 ,0,1 ,iruuI ,n|957/5-|cos1uauon怖252届sin25(20)(本小题满分12分)2 2已知椭圆E: y 1的焦点在x轴上，A是E的

24、左顶点，斜率为k(k 0)的直线交E于A , M两t 3点，点N在E上，MA丄NA.(I)当t 4 , AM| |AN时，求AAMN的面积;(II )当2 AM |AN时，求k的取值范围【解析】当t24时，椭圆E的方程为X42七1，A点坐标为则直线AM的方程为y k x 22 22L L.I、9999联立 43并整理得，3 4k x 16k x 16k 12 0y k x 2解得x 2或x8k2623 4k2则AM8k24k1 k21223 4k因为AM362AN，所以AN12因为 AM | AN，k 0,肩k2 12 肩k2 -22所以3 4k2“ 4，整理得k 1 4k k 4 0，3k

25、_k4k2 k 40无实根，所以k 1 .2所以AAMN的面积为1IAM|2 2 无14449直线AM的方程为y k x t ,2 2x y 彳1 .联立 t 3并整理得，3 tk2 x2 2t tk2x t2k2 3t 0y k x . tt tk23、t2 ，3 tk所以Ml L呼存！3k - k所以AN 因为 2 AM | | AN0所以213 tk6.F3k -k，整理得,t 6k2 3kt3k3 2因为椭圆的焦点在x轴，所以6k23k23，整理得k21 k 2解得3 2(21)(本小题满分12 分)(I)讨论函数f(x) X的单调性，并证明当x 0时,(x2)e0；(II)证明：当

26、a 0,1)时,函数gxe axxa-(x 0)有最小值的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域.【解析】证明:2 xx e2x 2/当xU 2,时,2,上单调递增 x 0 时,2x e4 xax ax xex 2ex ax 2ax 2 xx 2e ax 23x由(1)知，当x0时,ex的值域为x 2，只有一解.当 x (0,t)时 g (x)0 , g(x)单调减；当 x (t,)时 g (x)0 , g(x)单调增h aeta t 1ttet 1-t2tet2et2t2t 2记k tte，在t t 20, 2 时，e（ t 1 k t牙0,t 2 k t单调递增1 e22，4请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号(22)(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲如