复变函数留数【严选课资】

1、第五章 留数,1 留数的概念与计算 2 用留数定理计算实积分 3 辐角原理与儒歇定理,1,优质课堂,1留数的概念与计算,1、留数的定义与留数定理,2,优质课堂,3,优质课堂,定义5.1 设以为孤立奇点，即 在 的去心邻域内解析，则称积分 为在点的留数（Residue）记为,4,优质课堂,定理6.1 （柯西留数定理）在围线或复围线所范围的区域内，除 外解析，在闭域 上除 外连续，则,5,优质课堂,6,优质课堂,证：作圆周 使全含于内且两两不相交，则由柯西积分定理,注：留数定理：求积分转化为求留数；将积分 问题转化为代数问题，即求洛朗展式的负一次 幂的系数问题,7,优质课堂,2、留数的求法求函数在

2、奇点a处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中c-1(z-a)-1项的系数即可.如果a是f(z)的可去奇点, 则Resf(z),a=0, 如果a是本性奇点, 则没有太好的办法, 只好将其按洛朗级数展开。如果a是极点, 则有一些对求c-1有用的规则,8,优质课堂,留数的计算规则规则1 如果a为f(z)的一级极点, 则,规则2 如果a为f(z)的m级极点, 则,9,优质课堂,事实上, 由于 f(z)=c-m(z-a)-m+.+c-2(z-a)-2+c-1(z-a)-1 +c0+c1(z-a)+., (z-a)mf(z)=c-m+c-m+1(z-a)+.+c-1(z-a)m-1+c0(z-a

3、)m,令两端za, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)!就是Resf(z),a, 因此即得(5.2), 当m=1时就是(5.1,10,优质课堂,11,优质课堂,12,优质课堂,由规则1, 得,13,优质课堂,我们也可以用规则III来求留数,这比用规则1要简单些,14,优质课堂,15,优质课堂,16,优质课堂,17,优质课堂,18,优质课堂,例4 计算,解： 在圆周的内部只有一级极点 及二级极点,19,优质课堂,而 由残数定理，得,20,优质课堂,例5 计算,解： 只以 为一级极点，而,21,优质课堂,由留数定理得,22,优质课堂,3、无穷远点的留数(略,定义5.2 设为的一个

4、孤立奇点，则称 为在的留数。记为,23,优质课堂,定理5.2 若在扩充平面上只有有限个孤立奇点，设为 则留数总和为0,24,优质课堂,计算的残数的方法,25,优质课堂,例6.5 计算,26,优质课堂,解：共有七个奇点： 前6个根均在内部，故,27,优质课堂,而 故 。从而,28,优质课堂,2 用留数定理计算实积分,29,优质课堂,利用留数计算定积分是复变函数一个重要应用。1、被积函数-与某解析函数相关2、积分区域-化为某闭合路径 考虑如下几种形式的定积分一、计算 其中R为cos , sin有理函数，并且在0, 2上连续,30,优质课堂,若 R(cosq,sinq)为cosq与sinq的有理函数

5、. 可令 z=eiq, 则dz=ieiqdq,31,优质课堂,f(z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零(没有奇点）, 根据留数定理有,其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇 点,32,优质课堂,例1 计算,解 由于0p1, 被积函数的分母在0q2p内不为零, 因而积分是有意义的. 由于 cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2, 因此,33,优质课堂,在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为一级极点,34,优质课堂,35,优质课堂,36,优质课堂,37,优质课

6、堂,38,优质课堂,若R(cos,sin)为的偶函数，还可以求如下形式的积分,39,优质课堂,例3：计算积分 解：因为积分号下的函数是x的偶函数 则,命,40,优质课堂,设，则,41,优质课堂,42,优质课堂,43,优质课堂,取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内,CR,44,优质课堂,此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变,45,优质课堂,46,优质课堂,47,优质课堂,48,优质课堂,3. 形如 的积分,当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次, 且R(x)在

7、实数轴上没有奇点时, 积分是存在的。 像2中处理的一样, 由于m-n1, 故对充分大的|z|有,z1,z2,z3,y,R,R,O,x,CR,49,优质课堂,因此, 在半径R充分大的CR上, 有,50,优质课堂,51,优质课堂,52,优质课堂,53,优质课堂,课堂练习,54,优质课堂,55,优质课堂,4、杂例,56,优质课堂,R,R,r,r,Cr,CR,C,57,优质课堂,58,优质课堂,59,优质课堂,CR,60,优质课堂,61,优质课堂,作业：P164 1,2，15（1）（5,62,优质课堂,3 辐角原理与儒歇定理,许多的数学物理问题都可以归结为其特征方程的根的分布，或者特征多项式的零点分布

8、问题（线性系统），如二次方程的分类（微分方程、代数方程），工程控制中的微分方程的稳定性问题，对数留数给我们提供了一个好方法。 一、对数留数 称积分 为f(z)的对数留数 ，这种称呼，并不严格，其中 C为一围线,63,优质课堂,计算（1）自然用到留数定理，首先，分析被积函数的奇点，显然，f(z)的零点和奇点都可能是 的奇点。 引理6.4 （1）设为的级零点，则 必 为函数的一级极点，且,64,优质课堂,2）设为的级极点， 则必为函数的一级极点。且,65,优质课堂,66,优质课堂,证：（1）若为的级零点，则有 其中解析，且 于是,67,优质课堂,因右端第二式解析，故为的 一级极点，且（1）式成立,68,优质课堂,定理6.9 设是一条围线，满足： （1） 在的内部除可能有极点外是解析的。 （2） 在上解析且不为零。 则有,69,优质课堂,辐角原理 在定理6.9的条件下，有,70,优质课堂,定理6.10（儒歇定理） 设是一条围线，函数及满足： （1）它们在内部均解析，且连续到 （2）在上， 则,71,优质课堂,例6.13 设次多项式 合条件 则在单位圆内有个零点,72,优质课堂,证： 取 易验证在单位圆周上，有,73,优质课堂,依儒歇定理知 在单位圆内的零点，与 在单位圆一样多，即个,74,优质课堂,例6.14 试证：当时，方