面积相关问题(1)

1、2017年08月07日风的初中数学组卷一解答题（共30小题）1如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（2，0），点C（8，0），与y轴交于点A（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求N点的坐标简单的补形作差求面积。；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系2如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax22ax3a（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一

2、个交点为D，且CD=4AC（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值给定面积最值求末知数值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由3如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使SABC=SABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由面积关

3、系作为相等关系解决问题。；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45，与抛物线交于另一点E，求BE的长4如图，抛物线y=ax2+bx2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积简单的补形作差求面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【温馨提示：考生

4、可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】5如图甲，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究求三角形最大面积）6已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且ab（）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（）说明直线与抛物线有两个交

5、点；（）直线与抛物线的另一个交点记为N（）若1a，求线段MN长度的取值范围；（）求QMN面积的最小值7如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，CDE的面积为S1，BCE的面积为S2，求的最大值求面积关系的最值问题；过点D作DFAC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得CDF中的某个角恰好等于BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由8在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线

6、y=a（xh）2+k的伴随直线为y=a（xh）+k例如：抛物线y=2（x+1）23的伴随直线为y=2（x+1）3，即y=2x1（1）在上面规定下，抛物线y=（x+1）24的顶点坐标为 ，伴随直线为 ，抛物线y=（x+1）24与其伴随直线的交点坐标为 和 ；（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x1）24m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D若CAB=90，求m的值；如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值求图形的面积最值问题9如图，抛物线y=a（x1）（x3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C

7、，其顶点为D（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设SBCD：SABD=k，求k的值；（3）当BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式10抛物线y=4x22ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0x1x2）两点，与y轴交于点C（1）设AB=2，tanABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当BCD的面积最大时，求点D的坐标函数法求面积的最值。；（3）是否存在整数a，b使得1x12和1x22同时成立，请证明你的结论11已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，

8、沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动设点P、点Q的运动时间为t（s）（1）当t=1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；（2）当t=2s时，求tanQPA的值；（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，求t（s）的值；（4）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式动态问题（形动）求图形面积12如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）求这条抛物线的表达式及

9、其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得PAB=75，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少动态问题（点动）求图形面积。？13如图，抛物线y=ax2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，）是抛物线上另一点（1）求a、b的值；（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以

10、P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NHAC交抛物线的对称轴于H点设ON=t，ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式动态问题（点动）求图形的面积。14如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，PFE的面积最大？并求最大值的立方根动态问题（点动）

11、求图形的面积。；（3）是否存在点P使PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由15如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（1，0），B（4，0），C（0，4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，PBC面积最大，求出此时P点坐标和PBC的最大面积动态问题（点动）求图形面积。16如图1，抛物线C1：y=x2+ax与C2：y=x2+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点（1）求

12、 的值；（2）若OCAC，求OAC的面积；（3）抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由动态问题（点动）求图形面积并求图形面积的最大值。17如图1，抛物线y=x2+bx+c经过A（2，0）、B（0，2）两点，点C在y轴上，ABC为等边三角形，点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒（t0），过点D作DEAC于点E，以DE为边作矩形DEG

13、F，使点F在x轴上，点G在AC或AC的延长线上（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形DEGF沿GF所在直线翻折，得矩形DEGF，当点D的对称点D落在抛物线上时，求此时点D的坐标；（3）如图2，在x轴上有一点M（2，0），连接BM、CM，在点D的运动过程中，设矩形DEGF与四边形ABMC重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围动态问题（形动）求图形面积。18如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DCx轴，垂足为C（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（

14、不与点O、C重合），过P作PNx轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求PCM面积的最大值动态问题（点动）运用公式法求图形面积并求最值。；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由19如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足DBA=CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F

15、，若PEB、CEF的面积分别为S1、S2，求S1S2的最大值动态问题（点动）比较复杂的求图形面积问题，属于面积关系类。20如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值动态问题（点动）求图形面积，利用公式法求图形

16、面积。；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由21如图，已知抛物线y=ax2+c过点（2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C（1）求抛物线的解析式；（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（、=），并证明你的判断；（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及QBF的最大面积

17、；若不存在，请说明理由动态问题（点动）求图表面积并求最大值，但此题属于变式问题。22已知抛物线y1=ax2+bx4（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（4，0）（1）求抛物线y1的函数解析式；（2）如图，将抛物线y1沿x轴翻折得到抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点C，点D是线段BC上的一个动点，过点D作DEy轴交抛物线y1于点E，求线段DE的长度的最大值；（2）在（2）的条件下，当线段DE处于长度最大值位置时，作线段BC的垂直平分线交DE于点F，垂足为H，点P是抛物线y2上一动点，P与直线BC相切，且SP：SDFH=2，求满足条件的所有点P的坐标综合题中的面积关系 23已知抛物线y=ax2+

18、bx+c，其中2a=b0c，且a+b+c=0（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，D两点设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于E如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得ADF与BOC相似，并且SADF=SADE，求此时抛物线的表达式综合题中的面积关系24如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象

19、限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标分形作和求图形面积。属于面积关系的一种类型。；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且MBO=ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得POCMOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由25抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不

20、存在，说明理由分形作和求图形的面积，并求面积的最大值；连结PB，过点C作CQPM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得CNQ与PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由26如图所示，在平面直角坐标系中，C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点已知抛物线开口向上，与C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8SQAB，且QABOBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；

21、若不存在，请说明理由综合题中的面积关系；外加其它条件求点的坐标。27如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC点D在函数图象上，CDx轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点（1）求b、c的值；（2）如图，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N试问：抛物线上是否存在点Q，使得PQN与APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由综合题中的面积关系；外加其它条件求点的坐标

22、。28如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx5与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CEx轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积分形作和求面符号并求面积的最大值。；（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，

23、Q的坐标29在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=1和x=5对应的函数值相等若点M在直线l：y=12x+16上，点（3，4）在抛物线上（1）求该抛物线的解析式；（2）设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A（，0），试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明），并写出相应的P点横坐标x的取值范围（3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），设Q点坐标为（t，n），过Q作QHx轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能

24、取得的最大值30如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）直线y=x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE=4EC求n的值；连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，AGF与CGD是否全等？请说明理由；（3）直线y=m（m0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点 M关于y轴的对称点为点M，点H的坐标为（1，0）若四边形OMNH的面积为求点H到OM的距离d的值面积关系。2017年08月07日风的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共30小题

25、）1（2017白银）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（2，0），点C（8，0），与y轴交于点A（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设N（n，0），则可用n表示出ABN的面积，由NMAC，可求得，则可用n表示出AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；（3）由N点坐标

26、可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM=AB，在RtAOB和RtAOC中，可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系【解答】解：（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，二次函数的表达式为y=x2+x+4；（2）设点N的坐标为（n，0）（2n8），则BN=n+2，CN=8nB（2，0），C（8，0），BC=10，在y=x2+x+4中令x=0，可解得y=4，点A（0，4），OA=4，SABN=BNOA=（n+2）4=2（n+2），MNAC，=，0，当n=3时，即N（3，0）时，AMN的面积最大；（3）当N（3，0）时，N为B

27、C边中点，MNAC，M为AB边中点，OM=AB，AB=2，AC=4，AB=AC，OM=AC【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中找到AMN和ABN的面积之间的关系是解题的关键，在（3）中确定出AB为OM和AC的中间“桥梁”是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中2（2017天水）如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax22ax3a（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物

28、线的另一个交点为D，且CD=4AC（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y=kx+b过A（1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EFy轴交直线l于F，设E（x，ax22ax3a），得到F

29、（x，ax+a），求出EF=ax23ax4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax22ax3a=ax+a，即ax23ax4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），若AD是矩形ADPQ的一条边，若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论【解答】解：（1）当y=0时，ax22ax3a=0，解得：x1=1，x2=3，A（1，0），B（3，0），对称轴为直线x=1；（2）直线l：y=kx+b过A（1，0），0=k+b，即k=b，直线l：y=kx+k，抛物线与直线l交于点A，D，ax22ax3a=kx+k，即ax2（2a+k）x3ak=0，CD=4AC，点D的横坐标为4，3=1

30、4，k=a，直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EFy轴交直线l于F，设E（x，ax22ax3a），则F（x，ax+a），EF=ax22ax3aaxa=ax23ax4a，SACE=SAFESCEF=（ax23ax4a）（x+1）（ax23ax4a）x=（ax23ax4a）=a（x）2a，ACE的面积的最大值=a，ACE的面积的最大值为，a=，解得a=；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax22ax3a=ax+a，即ax23ax4a=0，解得：x1=1，x2=4，D（4，5a），抛物线的对称轴为直线x=1，设P（1，m），若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（4，2

31、1a），m=21a+5a=26a，则P（1，26a），四边形ADPQ是矩形，ADP=90，AD2+PD2=AP2，52+（5a）2+32+（265a）2=22+（26a）2，即a2=，a0，a=，P（1，）；若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，3a），m=5a（3a）=8a，则P（1，8a），四边形APDQ是矩形，APD=90，AP2+PD2=AD2，（11）2+（8a）2+（14）+（8a5a）2=52+（5a）2，即a2=，a0，a=，P（1，4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，）或（1，4）【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计

32、算，平行四边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键3（2017深圳）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使SABC=SABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45，与抛物线交于另一点E，求BE的长【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；（3）由条件可证得BCAC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM

33、x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+2经过点A（1，0），B（4，0），解得，抛物线解析式为y=x2+x+2；（2）由题意可知C（0，2），A（1，0），B（4，0），AB=5，OC=2，SABC=ABOC=52=5，SABC=SABD，SABD=5=，设D（x，y），AB|y|=5|y|=，解得|y|=3，当y=3时，由x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；当y=3时，由x2+x+2=3

34、，解得x=2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，3）；综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，3）；（3）AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，AC=，BC=2，AC2+BC2=AB2，ABC为直角三角形，即BCAC，如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FMx轴于点M，由题意可知FBC=45，CFB=45，CF=BC=2，=，即=，解得OM=2，=，即=，解得FM=6，F（2，6），且B（4，0），设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，直线BE解析式为y=3x+12，联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，E（5，3），BE=【点评】本题为二次函数的

35、综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度4（2017营口）如图，抛物线y=ax2+bx2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形PO

36、BE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx2的对称轴是直线x=1，A（2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，2），求得BC的解析式为y=x2，设D（m，0），得到E（m，m2），P（m，m2m2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，）

37、，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）设M（n，n2），以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+，于是得到N（，）；以BD为边，根据菱形的性质得到MNBD，MN=BD=MD=1，过M作MHx轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx2的对称轴是直线x=1，A（2，0）在抛物线上，解得：，抛物线解析式为y=x2x2；（2）令y=x2x2=0，解得：x1=2，x2=4，当x=0时，y=2，B（4，0），C（0，2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，y=x2，设D（m，0），DPy轴，E（m，m2），P（m，m2m2），OD=

38、4PE，m=4（m2m2m+2），m=5，m=0（舍去），D（5，0），P（5，），E（5，），四边形POBE的面积=SOPDSEBD=51=；（3）存在，设M（n，n2），以BD为对角线，如图1，四边形BNDM是菱形，MN垂直平分BD，n=4+，M（，），M，N关于x轴对称，N（，）；以BD为边，如图2，四边形BNDM是菱形，MNBD，MN=BD=MD=1，过M作MHx轴于H，MH2+DH2=DM2，即（n2）2+（n5）2=12，n1=4（不合题意），n2=5.6，N（4.6，），同理（n2）2+（4n）2=1，n1=4+（不合题意，舍去），n2=4，N（5，），以BD为边，如图3，过M作

39、MHx轴于H，MH2+BH2=BM2，即（n2）2+（n4）2=12，n1=4+，n2=4（不合题意，舍去），N（5+，），综上所述，当N（，）或（4.6，）或（5，）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、勾股定理，三角形的面积公式、菱形的性质、根据题意画出符合条件的图形是解题的关键5（2017安顺）如图甲，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在

40、点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EFx轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出CBE的面积，利用二次函数的

41、性质可求得其取得最大值时E点的坐标【解答】解：（1）直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21，抛物线对称轴为x=2，P（2，1），设M（2，t），且C（0，3），MC=，MP=|t+1|，PC=2，CPM为等腰三角形，有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；当MC=PC时，则有=2，解得t=1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=1+2

42、或t=12，此时M（2，1+2）或（2，12）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，1+2）或（2，12）；（3）如图，过E作EFx轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x24x+3），则F（x，x+3），0x3，EF=x+3（x24x+3）=x2+3x，SCBE=SEFC+SEFB=EFOD+EFBD=EFOB=3（x2+3x）=（x）2+，当x=时，CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，CBE的面积最大【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等

43、知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中设出M点的坐标，利用等腰三角形的性质得到关于M点坐标的方程是解题的关键，在（3）中用E点坐标表示出CBE的面积是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中6（2017福建）已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且ab（）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（）说明直线与抛物线有两个交点；（）直线与抛物线的另一个交点记为N（）若1a，求线段MN长度的取值范围；（）求QMN面积的最小值【分析】（）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；（）由

44、直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；（）（i）由（）的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函数性质可求得MN长度的取值范围；（ii）设抛物线对称轴交直线与点E，则可求得E点坐标，利用SQMN=SQEN+SQEM可用a表示出QMN的面积，再整理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案【解答】解：（）抛物线y=ax2+ax+b过点M（1，0），a+a+b=0，即b=2a，y=ax2+ax+b=ax2+ax2a=a（x+）2，抛物线顶点Q的坐标为（，）；（）直线y=2x+m经过点

45、M（1，0），0=21+m，解得m=2，联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a2）x2a+2=0（*）=（a2）24a（2a+2）=9a212a+4，由（）知b=2a，且ab，a0，b0，0，方程（*）有两个不相等的实数根，直线与抛物线有两个交点；（）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a2）x2a+2=0，即x2+（1）x2+=0，（x1）x（2）=0，解得x=1或x=2，N点坐标为（2，6），（i）由勾股定理可得MN2=（2）12+（6）2=+45=20（）2，1a，21，MN2随的增大而减小，当=2时，MN2有最大值245，则MN有最大值7，当=1时，MN2有最小值125

46、，则MN有最小值5，线段MN长度的取值范围为5MN7；（ii）如图，设抛物线对称轴交直线与点E，抛物线对称轴为x=，E（，3），M（1，0），N（2，6），且a0，设QMN的面积为S，S=SQEN+SQEM=|（2）1|（3）|=，27a2+（8S54）a+24=0（*），关于a的方程（*）有实数根，=（8S54）2427240，即（8S54）2（36）2，a0，S=，8S540，8S5436，即S+，当S=+时，由方程（*）可得a=满足题意，当a=，b=时，QMN面积的最小值为+【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识在（

47、1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得N点的坐标是解题的关键，在最后一小题中用a表示出QMN的面积是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大7（2017盐城）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，CDE的面积为S1，BCE的面积为S2，求的最大值；过点D作DFAC，垂足为点F，连接CD，是否存

48、在点D，使得CDF中的某个角恰好等于BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据题意得到A（4，0），C（0，2）代入y=x2+bx+c，于是得到结论；（2）如图，令y=0，解方程得到x1=4，x2=1，求得B（1，0），过D作DMx轴于M，过B作BNx轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；根据勾股定理的逆定理得到ABC是以ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（，0），得到PA=PC=PB=，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图，DCF=2BAC=DGC+CDG，情况二，FDC=2BAC，解直角三角形即可得到结论【

49、解答】解：（1）根据题意得A（4，0），C（0，2），抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，y=x2x+2；（2）如图，令y=0，x2x+2=0，x1=4，x2=1，B（1，0），过D作DMx轴交AC于点M，过B作BNx轴交于AC于N，DMBN，DMEBNE，=，设D（a，=a2a+2），M（a，a+2），B（1.0），N（1，），=（a+2）2+；当a=2时，的最大值是；A（4，0），B（1，0），C（0，2），AC=2，BC=，AB=5，AC2+BC2=AB2，ABC是以ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，P（，0），PA=PC=PB=，CPO=2BAC，tanCPO=tan（2B

50、AC）=，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图，DCF=2BAC=DGC+CDG，CDG=BAC，tanCDG=tanBAC=，即，令D（a，a2a+2），DR=a，RC=a2a，a1=0（舍去），a2=2，xD=2，情况二，FDC=2BAC，tanFDC=，设FC=4k，DF=3k，DC=5k，tanDGC=，FG=6k，CG=2k，DG=3k，RC=k，RG=k，DR=3kk=k，=，a1=0（舍去），a2=，点D的横坐标为2或【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键8（201

51、7孝感）在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（xh）2+k的伴随直线为y=a（xh）+k例如：抛物线y=2（x+1）23的伴随直线为y=2（x+1）3，即y=2x1（1）在上面规定下，抛物线y=（x+1）24的顶点坐标为（1，4），伴随直线为y=x3，抛物线y=（x+1）24与其伴随直线的交点坐标为（0，3）和（1，4）；（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x1）24m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D若CAB=90，求m的值；如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值【分析】（1）由抛物线的

52、顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；（2）可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在RtABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值【解答】解：（1）y=（x+1）24，顶点坐标为（1，4），由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）4，即y=x3，联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，其交点坐标为（0，3）和（1，4），故答案为：（1，4）；y=x3；（0，3）；（1，4）；（2）抛物线解析式为y=m（x1）24m，其伴随直线为y=m（x1）4m，即y=mx5m，联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，A（1，4m），B（2，3m），在y=m（x1）24m中，令y=0可解得x=1或x=3，C（1，0），D（3，0），AC2=4+16m2，AB2=1+