导数在高中数学中的解题教学

1、导数在高中数学中的解题教学篇一：导数在高中数学解题中的运用 龙源期刊网 .cn 导数在高中数学解题中的运用 作者：韦洲 来源：新课程中学2014年第10期 摘 要：如今高中导数已经列入课本当中，导数是高中数学中的重要内容，是基础性的概念之一，是为高中阶段研究函数相关性质所提出的有较大辅助作用的一种运算方式。以导数在函数、切线及不等式中的应用为实例，并帮助学生解决复杂的恒等式、不等式、根的存在性、应用题和几何数学难题等，具体探究了导数在高中数学解题中的运用。 关键词：导数；高中数学；解题；运用 近年来，导数在高考中的地位越来越突出，各地的模拟考试都把导数作为考点，这些试题也从不同的角度考查了学生

2、对导数的认识和学生对导数综合运用的能力，在导数和方程组、不等式、数列、函数等方面进行交汇命题，从而考查学生综合解决问题的能力。因此，导数成为近年来考查的热点，在复习时一定要加强对导数的运用和运用导数解决数学问题的意识。 一、教材中关于导数的分析 教材的目的是帮助学生了解导数的概念以及实际背景和几何意义，理解导数的概念、记忆导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求简单的导数，会从几何直观了解可导函数的单调性，了解可导函数取极值的必要条件和充分条件，会求实际问题中的最值。 从教师方面考虑，导数的定义和求简单导数是导数的重点内容。一方面，按照导数的定义求导可

3、以帮助学生对导数进行理解；另一方面，两个函数四则运算的求导法则，复合函数的求导法则，都是由导数的定义得到的，学会求导可以简单地求出初等函数的导数。从学生方面考虑，掌握利用导数判别可导函数的极值是重点。通过判定可导函数的极值，加深对可导函数单调性的理解，并掌握可导函数极值的判别方法，再深入到最大值和最小值的判定方法中。 二、教学中要注意的问题 要突出教学的重点，提高教学效率，把握教学要求的深度和广度。在导数的概念中，学习导数的实际背景，侧重讲解瞬时速度，并把光滑曲线的切线斜率作为辅导材料，更加贴近学生的生活经验，容易理解。注意知识的纵横联系，把所学的导数知识综合起来，纵向要把极限和函数的知识结合

4、起来，横向要重视和实际生活的联系。 综上所述，导数明显的特点是和实际问题相关联的应用性问题。学生的应用意识可以通过解决实际问题来培养，从而使学生明白数学的生活化，进而更好地运用到生活中去，还能培养学生的探索和创新精神，从而提高学生导数学习的效率。篇二：导数在高中数学解题中的应用 龙源期刊网 .cn 导数在高中数学解题中的应用 作者：崔迎新 来源：新课程学习上2013年第03期 随着高中数学改革的进一步深化，高中数学教学中更多地突出知识的实用性和简洁性.导数是高中数学新教材中重要的知识 之一，体现了现代数学思想.这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”上升到“主角”，成为分析问题和解决

5、问题的重要工具.将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义.导数知识在研究解决实际问题中有着广泛的应用，主要应用于研究函数的单调区间、最值以及曲线的切线、某些不等式的证明等问题，所以，在高中教学中越来越显现出其重要性.导数对中学数学也有重要的指导作用.下面举例探讨导数在解题中的应用.当然，导数解决的问题还很多，我在这里仅举了其中几个例子. 一、利用导数求函数的最值 求函数的最值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简单化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性质. 一般的，

6、函数f（x）在闭区间a，b上可导，则f（x）在a，b上的最值求法： （1）求函数f（x）在（a，b）上的极值点； （2）计算f（x）在极值点和端点的函数值； （3）比较f（x）在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.例1.求函数f（x）=x3-3x在-3，2上的最大值和最小值. 分析：先求出f（x）的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间-3，2上的最大值和最小值. 解：由于f（x）=3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1），则， 当x-3，-1）或x（1，2时，f（x）0，所以-3，-1，1，2为函数f（x）的单调增区间；当x（-1，1）时，f

7、（x） 又因为f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，所以，当x=-3时，篇三：浅谈导数在高中数学解题中的应用 浅谈导数在高中数学解题中的应用 徐闻中学周德芬 摘 要导数是联系高等数学与初等数学的纽带，作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性。因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题。 关键词导数 解题 导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数

8、列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具下面举例探讨导数在解题方面的应用。 （一）利用导数解决函数问题 利用导数求函数的解析式 用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了。 例1：设函数y?ax3?bx2?cx?d的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x?y?4?0，若函数在x?2处取得极值0，试确定函数的解析式 解：因为函数y?ax3?bx2

9、?cx?d的图像与y轴交点为P点，所以P点的坐标为?0,d?，又曲线在P点处的切线方程为y?12x?4，P点坐标适合方程，从而d?4，又切线斜率k?12，故在x?0处的导数y?x?0?12，而y?3ax2?2bx?c，y?x?0?c，从而c?12，又函数在x?2处取得极值0，所以 ?12a?4b?12?0， ?8a?4b?20?0? 解得a?2，b?9，所以所求函数解析式为y?2x3?9x2?12x?4 利用导数求函数的值域 求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行 例2：求函数f(x)?2x?1?x?2的值域 分析

10、：先确定函数的定义域，然后根据定义域判断f?(x)的正负，进而求出函数f(x)的值域 ?1?解：显然，f(x)定义域为?，?，由于 ?2? f?(x)? 又 12x?1?12x?2?2x?2?2x?12x?2x?1， 2x?2?2x?1?2x?7 2x?2?2x?1， 1可见当x?-时，f?(x)?0 2 16?1?所以f(x)?2x?1?x?2在?， ?上是增函数而f(?)?222? ?所以函数f(x)?2x?1?x?2的值域是? ? 利用导数求函数的最（极）值 求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解

11、题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态 一般地，函数f(x)在闭区间?a,b?上可导，则f(x)在?a,b?上的最值求法： (1) 求函数f(x)在?a,b?上的极值点； (2) 计算f(x)在极值点和端点的函数值； (3) 比较f(x)在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值 3?例3：求函数f(x)?x3?3x在?3?上的最大值和最小值 2?分析：先求出f(x)的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可3?得该函数在区间?3?上的最大值和最小值 2? 解：由于f?(x)?3x2?3?3(x2?1)?3(x?1)(x?1)，则 ?3?当x?3,?1?

12、或x?1,?时，f?(x)?0， ?2? ?3?所以?3，?1?，?1?为函数f(x)的单调增区间； ?2? 当x?1,1?时，f?(x)?0，所以?1，1?为函数f(x)的单调减区间 39又因为f(?3)?18，f(?1)?2，f(1)?2，f()?， 28 所以，当x?3时，f(x)取得最小值?18；当x?1时，f(x)取得最大值2 利用导数求函数的单调区间 函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑f?(x)的正负即可，当f?(x)?0时，f(x)单调递增；当f?(x)?

13、0时，f(x)单调递减此方法简单快捷而且适用面广 3例4：求f(x)?x3?的单调区间 x 分析：应先确定函数f(x)的定义域，再利用导数讨论其单调区间 解：显然，f(x)定义域为?,0?0,?，又 33(x2?1)(x?1)(x?1)f?(x)?3x?2?， 2xx2 由f?(x)?0，得x?1或x?1； 又由f?(x)?0，得?1?x?0或0?x?1， ?1?和?1，?，减区间为?1，0?和?0，1? 所以f(x)的增区间为?， （二）利用导数解决切线问题 求过某一点的切线方程 此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，f?(x0)的几何意义就是曲线在点P(x0,f(x0)处切线的斜率，

14、过P点的切线方程为 但应注意点P(x0,f(x0)在曲线y?f(x)上，否则易错 y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)， 例5：求曲线y?ex在原点处的切线方程 分析：此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程 解：显然点(0,0)不在曲线y?ex上，由于y?ex，则 设切点坐标为P(x0,y0)，所以y0?e0， 则过P点的切线方程为xy?ex0?ex0(x?x0) x0因为点(0,0)在切线上，所以?e?ex0(?x0)，即x0?1，所以P(1,e)， 故切线方程为y?e?e(x?1)，即ex?y?0 求两曲线切线

15、方程 例6：已知抛物线C1：y?x2?2x和C2：y?x2?a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，求公切线l的方程 分析：本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解 解：由C1：y?x2?2x，得y?2x?2， 所以曲线C1在点P(x1,x1?2x1)的切线方程是y?(x1?2x1)?(2x1?2)(x?x1)， 即y?(2x1?2)x?x1? (1) 由y?x2?a，得y?2x， 所以曲线C2在点Q(x2,?x2?a)的切线方程是y?(?x2?a)?

16、2x2(x?x2)， 22222即y?2x2x?x2?a? (2) 若l是过P与Q的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以 ?2x1?2?2x2， ?22?x?x?a2?12 消去x2，得2x1?2x1?1?a?0， 1由题意知?4?4?2(1?a)?0，所以a?， 2 1则x1?x2?，即点P与Q重合， 22 此时曲线C1和C2有且仅有一条公切线，且公切线方程为x?y?14?0 （三）利用导数解决不等式问题 纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为