复数的减法及其几何意义

1、复数的减法及其几何意义 教学目标1理解并掌握复数减法法则和它的几何意义2渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力3培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）教学重点和难点重点：复数减法法则难点：对复数减法几何意义理解和应用教学过程设计（一）引入新课上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义（板书课题：复数减法及其几何意义）（二）复数减法复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，1复数减法法则（1）规定：复数减法是加法逆运算；（2）法则：（ + i）-（ + i）=（ - ）

2、+（ - ）i（ ， ， ， R）把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推导这个法则（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算推导：设（ + i）-（ + i）= + i（ ， R）即复数 + i为复数 + i减去复数 + i的差由规定，得（ + i）+（ + i）= + i，依据加法法则，得（ + ）+（ + ）i= + i，依据复数相等定义，得 故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i这样推导每一步都有合理依据我们得到了复数减法法

3、则，两个复数的差仍是复数是唯一确定的复数复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（ + i）（ + i）=（ ）+（ ）i（三）复数减法几何意义我们有了做复数减法的依据复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？设z= + i（ ， R），z1= + i（ ， R），对应向量分别为 ， 如图 由于复数减法是加法的逆运算，设z=（ - ）+（ - ）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以 为一条对角线， 1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边 2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（ - ）+（ - ）i

4、对应，如图在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量是只有向量 2吗？ 还有 因为OZ2 Z1Z，所以向量 ，也与z-z1差对应向量 是以Z1为起点，Z为终点的向量能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应（四）应用举例 在直角坐标系中标Z1（-2，5），连接OZ1，向量 1与多数z1对应，标点Z2（3，2），Z2关于x轴对称点Z2（3，-2），向量 2与复数对应，连接，向量与的差对应（如图）例2根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式解：设复平面内的任意两点Z1，Z2分别表示复数z1，z2，那么Z1Z2就是复数对应的向量，点之间

5、的距离就是向量的模，即复数z2-z1的模如果用d表示点Z1，Z2之间的距离，那么d=|z2-z1|例3 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么（1）|z-1-i|=|z+2+i|；方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模几何意义是是动点Z与定点（1，1）间的距离方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线（2）|z+i|+|z-i|=4；方程可以看成|z

6、-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹满足方程的动点轨迹是椭圆（3）|z+2|-|z-2|=1这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线是双曲线右支由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程使有些曲线方程形式变得更为简捷且反映曲线的本质特征例4 设动点Z与复数z= + i对应，定点P与复数p= + i对应求（1）复平面内圆的方程；解：设定点P为圆心，r为半径，如图由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r（2）复平面内满足不等式|z-p|r（rR+）的点Z的集合是什么图形？解：复平面内满足不等式|z-p|r（rR+）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程不等式等问题（五）小