《二次函数复习课》教学设计[共6页]

1、第二十二章 复 习 课1.知道二次函数的概念、图象和性质 ,能根据解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数的增减性 .2.知道抛物线与对应的一元二次方程的关系 ,会用待定系数法求二次函数的解析式 .3.能够运用二次函数解决一些实际问题 ,从中体会数学建模思想 .4.重点:二次函数解析式的求法 ,二次函数的图象、性质和应用 .体系构建核心梳理1.一般地 ,形如 y=ax2+bx+c (a,b,c 是常数 ,a 0)的函数 ,叫做二次函数 .其中 x 是自变量 ,a,b,c 分别是函数解析式的 二次项 系数、 一次项 系数和 常数项 .2.二次函数 y=ax 2+bx+c(a0)与一元二

2、次方程的关系 :(1)当 b2-4ac0 时,抛物线与 x轴有2 个交点 ,对应的一元二次方程有 两个不相等 的实数解 ;(2) 当 b2-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点 ,对应的一元二次方程有两个 相等 的实数解 ;(3)当 b2-4ac0 时开口向上 最小值 0 y 轴 (0,0)a0 时开口向上 最小值 k y 轴 (0,k)a0 时开口向上 最小值 0 x=h (h,0)a0 时开口向上 最小值 k x=h (h,k)a0 时开口向上最小值y=ax2+bx+c x=- (- , )ay2 成立的 x 的取值范围是 x8 .【方法归纳交流】 根据抛物线的 开口方向 判断

3、a 的正负 ;根据抛物线与 y 轴 的交点判断 c 的值;若抛物线的对称轴在 y 轴 左 侧,则 a 与 b 同号,若抛物线的对称轴在 y 轴 右侧,则 a 与 b 异号 ;根据抛物线与 x 轴交点的个数判断 b2-4ac 的符号 .专题二 :求抛物线的顶点和对称轴4.求抛物线 y= x2-4x+5 的开口方向、对称轴及顶点坐标 .(用两种方法 )解:(1) y= (x2-8x+10) = (x2-8x+16) -16+10= (x-4)2-3,所以抛物线的开口向上 ,对称轴是 x=4,顶点坐标是(4,-3).(2)对称轴 :x=- =4,y 最小= =-3,顶点坐标为 (4,-3).【方法归

4、纳交流】求抛物线的顶点和对称轴一般有两种方法 : 配方法和公式法 .专题三 :抛物线的平移5.说明抛物线 y=-3x2-6x+8 通过怎样的平移 ,可得到抛物线 y=-3x2.解:配方:y=-3x2-6x+8=-3(x2+2x- )=-3(x2+2x+1)-1- =-3(x+1)2+11,抛物线的顶点坐标是 (-1,11), 把抛物线 y=-3x2-6x+8 先向右平移 1 个单位长度 ,再向下平移 11 个单位长度得到 y=-3x2 .6.如图,抛物线y=ax2-5ax+4a 与 x轴相交于点 A、B,且过点 C(5,4) .(1) 求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标;(2)请你设计一种

5、平移的方法 ,使平移后抛物线的顶点落在第二象限 ,并写出平移后抛物线的解析式 .解:(1) 把 C(5,4) 代入 y=ax2-5ax+4a,得 25 a-25 a+4a=4,解得 a=1.所以抛物线的解析式为y=x2-5x+4=x2-5x+ - +4=(x- )2- ,所以抛物线顶点 P 的坐标为( ,- ).(2)答案不唯一 ,如 :把抛物线y=x2-5x+4 先向上平移 3 个单位长度 ,再向左平移 3 个单位长度 ,这时对应的抛物线解析式为y=(x+ )2+ .【方法归纳交流】抛物线的平移规律 : 左加右减 ,上加下减 .专题四 :二次函数解析式的确定7.已知函数 y=ax2+bx+c

6、 的图象如图所示 ,则此函数的关系式为(A)A.y=-x2+2x+3 B.y=x2-2x-3C.y=-x2-2x+3 D.y=-x2-2x-38.已知二次函数的顶点为(1,-3),且经过点 P(2,0), 求这个函数的解析式 .解:设所求函数解析式为y=a(x-1)2-3,图象经过P(2,0), 0=a(2-1)2-3,解得 a=3.所求函数的解析式为y=3(x-1)2-3,即 y=3x2-6x.【方法归纳交流】利用待定系数法求二次函数的解析式 ,若已知三点 ,通常设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c ;若已知顶点 ,通常设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k .专题五 :二次函数与一

7、元二次方程9.已知二次函数 y=2x2-(m+1)x+m-1.(1) 求证:不论m为何值时,函数的图象与 x轴总有交点 ,并指出当 m为何值时,只有一个交点 .(2) 当 m为何值时,函数的图象经过原点 ?(3) 在(2) 的图象中,写出 y0时x 的取值范围.解:(1) b2-4ac=-(m+1)2-42(m-1)=m2+2m+1-8m+8=m2-6m+9=(m-3)2.显然不论m为何值时,总有b2-4ac=(m-3) 2 0.故不论m为何值时,抛物线与 x轴总有交点 ,且当 x=3时,只有一个交点 .(2)函数的图象经过原点 (0,0), 0=202-(m+1)0+m-1,m=1.即当 m

8、=1时,函数的图象经过原点 .(3)由 (2)得 y=2x2-2x.其图象如图. 抛物线与 x轴的两个交点分别为(0,0),(1,0), 当 y0时,0x0时,x1.【方法归纳交流】当 b2-4ac0时,抛物线y=ax2+bx+c 与 x轴有交点 .抛物线在 x轴上方的部分 ,对应的函数值 0;抛物线在 x轴下方的部分 ,对应的函数值 0.专题六 :抛物线中三角形的面积10.如图,已知直线AB经过x轴上的点 A(2,0), 且与抛物线y=ax2 相交于 B、C 两点 ,已知 B点坐标为(1,1) .(1) 求直线和抛物线的解析式 ;(2) 如果 D为抛物线上一点 ,使得AOD 与OBC 的面积

9、相等 ,求 D 点坐标.解:(1)设直线AB 的解析式为y=kx+b,直线过点 A(2,0), B(1,1), 代入解析式求得 k=-1,b=2. 直线解析式为y=-x+2;把 B(1,1) 代入 y=ax2,求得 a=1,抛物线解析式为y=x2.(2)由 y=-x+2 与 y=x2,先求抛物线与直线的另一个交点 C 的坐标为(-2,4), SOBC=SAOC-SOAB=3. SAOD =SOBC 且 OA=2,D点的纵坐标为3.又 D在抛物线y=x2 上 ,x2=3,即x= ,D(- ,3)或 ( ,3).【方法归纳交流】在求斜置于平面直角坐标系中的三角形的面积时 ,一般可用 割补法将其转化

10、为一边在坐标轴上的多边形的面积的和或差求解 .专题七 :二次函数的实际应用11.某跳水运动员在进行 10 m 跳台跳水训练时 ,身体(看成一点 )在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线 .在跳某个规定动作时 ,正常情况下 ,该运动员在空中的最高处距水面 10 m,入水处距池边的距离为 4 m, 同时运动员在距水面高度 5 m 以前 ,必须完成规定的翻腾动作 ,并调整好入水姿势时 ,否则就会出现失误 .(1) 求这条抛物线的函数解析式 ;(2) 在某次试跳中 ,测得运动员在空中的运动路线是 (1)中的抛物线 ,且运动员在空中调整好入水姿势时 ,距池边的水平距离为 3 m,问此次跳水会不会失误 ?

11、并通过计算说明理由 .解:(1) 设抛物线解析式为 y=ax2+bx,由最高点公式可得 = ,由抛物线经过点 (5,-10) 可得 25a+5b=-10, 由可得 a=- ,b= 或 a=- ,b=- (舍去).抛物线解析式为 y=- x2+ x.(2)当运动员在空中距池边的水平距离为 3 m 时,x=3 +1= ,y=- ( )2+ =- ,此时运动员距水面的高度为 10 - 5,因此 ,此次跳水会出现失误 .12.某水果批发商场经销一种高档水果 ,如果每千克盈利 10 元,每天可售出 500 千克,经市场调查发现 ,在进货价不变的情况下 ,若每千克涨价一元 ,日销售量将减少 20 千克 .

12、(1) 现要保证每天盈利 6000 元,同时又要让顾客得到实惠 ,那么每千克应涨价多少元 ?(2) 若该商场单纯从经济角度看 ,那么每千克应涨价多少元 ,能使商场获利最多 ?解:(1) 设每千克水果应涨价 x元,依题意可得方程 (500 -20x)(10 +x)=6000, 整理,得x2-15x+50 =0,解这个方程,得 x1=5,x2=10 .要使顾客得到实惠 ,应取 x=5.答:每千克水果应涨价 5 元.(2)设商场获利 y 元,y=(500 -20x)(10+x),当 x=7.5 时 y 最大.13.桥的部分横截面如图所示 ,上方可看成是一个经过 A、C、B 三点的抛物线 ,以桥面的水平线为 x 轴,经过抛物线的顶点 C 且与 x 轴垂直的直线为 y 轴,建立直角坐标系 .已知垂直于桥面的相邻两柱之间的距离为 2 米(图中用线段 AD、CO、BE 等表示桥柱 ).CO=1 m, FG=2 m.(1) 求经过 A、B、C 三点的抛物线的函数解析式 ;(2) 求柱子 AD 的高度 .解:(1) 由题意 ,