《概率论与数理统计》复习总结(已完成)

1、大学教案总结之概率论与数理统计期末复习目录第一章4定义：一般的，称试验 E的样本空间Q的子集为 E的随机事件。 4事件间的关系与运算4定义：4概率的性质：4古典概率4条件概率4定义：4条件概率的乘法公式： PAB P B|APA 5全概率公式5贝叶斯公式5随机事件的独立性 5第二章一维随机变量及其分布 6定义：一维随机变量。 6三种常见的离散型随机变量： 6定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F x P X x称为X的分布函数。其几何意义为随机变量 X落在实数x左边的概率。6考点：6定义：随机变量的概率密度。 7考点：7三种重要的连续型随机变量： 72X引理：正态分布X N ,2，则

2、Y N 0,1 8例7:随机变量的函数分布 1 8例 & 随机变量的函数分布 2 9第三章多维随机变量及其分布 10定义：二维随机变量的分布函数或称为随机变量X,Y的联合分布函数。 10几何意义10定义：二维离散型随机变量。 10定义：概率密度或称随机变量 X和Y的联合概率密度。 10例9: 二维随机变量 10边缘分布11定义：边缘分布函数 11例10:边缘分布11条件分布12定义：边缘概率密度 12例11：条件分布12定义：随机变量 X和Y是相互独立的。 12例12 :两个随机变量的函数分布 13第四章 数字特征（数学期望、方差和协方差及相关系数） 14定义：数学期望反映随机变量 X所取数值

3、的集中位置。 14数学期望的计算： 14重要常用性质： 14例 13 ： 14定义：方差反映了随机变量 X 取值的分散程度 15方差的计算： 15常用重要性质： 15协方差与相关系数 15第五章 大数定律及中心极限定理 16伯努利大数定律： （一般不考察） 16德莫佛拉普拉斯中心极限定理： 16例 14 ：德莫佛拉普拉斯中心极限定理 16第六、 七、八章 数理统计知识 17（包括统计量、正态分布统计量分布、参数估计、无偏估计、置信区间及假定检验） 17定义：统计量 17例 15 ：正态分布统计量分布 17参数估计 17定义： 17例 16 ：矩估计 18例 17 ：矩估计 18例 18 ：极大

4、似然估计 18定义：（无偏估计） 19例 19：无偏估计 20定义：（置信区间） 20例 20：假定检验 21（参数假设与区间估计的关系） 22第一章 定义：一般的，称试验 E的样本空间Q的子集为 E的随机事件。事件间的关系与运算 子事件、和事件、差事件、互不相容、对立事件交换律、结合律、分配律、对偶律定义：在相同的条件下，进行了n次试验，如果事件 A在这n次试验中出现了 n1次，则 称比值 为事件A发生的概率，记为 f ( A )n概率的性质：P 0An P A1 P A2 . P AnA1,A2,.An互不相容，则 P A1 A2 P A B P A P B P AB古典概率例1:袋中有4

5、白2黑两种球，无放回一次摸出两个球，问：取到两只球为白球的的 概率； 取到两只球为同颜色的概率；取到两只球至少有一只是白球的概率。解：设A= 取到两只白球; B= 取到两只黑球;C= 取到两只同颜色的球;D= 两只球至少有一个白球;,43221 1则 P A;P B;565565 15P C PAP B75P D 1 P B141515答:条件概率定义：一般的，对 A,B两个事件，P(A)0，在事件A发生的条件下发生事件B的概率为条件概率，记为P ABP A 。两种计算条件概率的思路：在缩减后的样本空间中计算在原来的样本空间中，直接有定义计算条件概率的乘法公式：P AB P B | A P A

6、全概率公式：(知原因求结果)nPA P A | Bi P Bii 1P Bi | A贝叶斯公式：(知结果求原因)P A|Bi P BinP A| Bj P Bjj iP A|Bi P BiP A例2：有一个批次的产品分别由甲乙两个车间进行生产，甲车间次品率为0.15，乙车间次品率为0.12，该批次产品甲车间占40%，乙车间占60%，问：随机抽出一个产品为次品的概率；抽出的一个产品为次品，该次品分别为甲乙车间生产的概率。解：设A= 随机抽出一个产品为次品;B仁甲车间生产的产品;则 P(B1)=0.4B2= 乙车间生产的产品;P(B2)=0.6; P A| B10.15; P A | B20.12

7、所以；P A P A | B1 P B1P A| B2 P B2P B1 | AP B2 | AP A| B1 P B1P AP A|B2 P b2P A随机事件的独立性两个事件的独立性：P(A) 0 , P(B|A)=P(B) , A、B相互独立;P(A)=0 ，事件A与任意事件B成立充要条件为 P(AB)=P(B) P(A)多个事件的独立性:任意有限多个事件都相互独立，其至少有一个发生的概率为:nnP A 11 P Ai 1i 1第二章一维随机变量及其分布定义：设 X=x ( w)是定义在样本空间Q上的实值单值函数，则称X=x (w)为一维随机变量。三种常见的离散型随机变量：(0 1)分布

8、：P X kPkQ1k(k=0, 1,.)P+Q=1;数学期望和方差E xp； D xp 1p二项式分布(X b(n, p)：PX knk 1 k.p q(q=1-p)k数学期望和方差：Ex n p; D x np 1 pk泊松分布 (X ( ): p X k0k!数学期望和方差：E x ; D x定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F x P X x称为X的分布函数。其几何意义为随机变量 X落在实数x左边的概率。考点：概率的有限可加性 F x2F XiP XiX x20例3：随机变量X的分布律求：X的分布函数: P 0 x 1解：当x-1时，F x 0 ;1当0 x 1时，Fx 4

9、当-1 x 1时，F x所以，F x01 x4 13 0313F 0 P x 01424F 1X-101Pk0.250.50.25定义：对于随机变量 X的分布函数F (x),如果存在非负函数 f (x),使对于任意实值实数有F xxf t dt ；则x称为连续随机变量；f (x)称为随机变量的概率密度。P考点：x2x1 x x2F x2F x1f x dxx1例4： X分布函数为F XA(1x) x 00 x 0，求常数A和P 10解：令 F xdx 0dx A(1 x)10解得，A=1。三种重要的连续型随机变量:均匀分布X U a, b :概率密度分布函数a x bx b a0 其他0；xa

10、xa;a xbba1xb数学期望和方差： E x 心；D x 勺一212xx0指数分布XE(入);概率密度f X;分布函数0x01x x 011F x数学期望和方差：E xD x90其他正态分布X N , 2:fx 21 2 2x例5：2X N 8,42求 P X16 ;P X0;P 12 X 20解PX16 P X 816 820.9773（由标准正态分布表查的 ）44X 80 8PX0P21244“c128X 8208c,P12X20 P 31444引理：正态分布 XN2，则YN 0,1例6：若随机变量X N 2, 2 ,且P 2 x 40.3,求P x 02而 00.5;所以 -0.8-

11、1 - 0.2随机变量的函数分布：一般地，我们先求Y的分布函数，再求 Y的概率密度，在求 Y的分布函数时，设法将其转化成X的分布函数。例7:随机变量的函数分布 1设随机变量 X N ,2，试证明X的线性函数 Y=aX+b也服从正态分布。证：分别记X,Y的分布函数为FX x ;Fy y设a 0时，下面先来求 Fy y ；Fy y P Y y P aX b yFy 止上a当卩=0 ；c =1时，为标准正态分布2X2X 222解：YN 0,1 ;则P仝二00.3将Fy y关于y求导，得到Y=aX+b的概率密度为：fY y而X的概率密度为fX所以,YX 2 ay (a b) 222(a )2N (a

12、+b ,当av 0时，同理可得fY 故 Y=aX+b1当取a ,b 时，Yy (a b) 222(a )2 |a|(ac) 2)服从正态分布。- N 0,1例8随机变量的函数分布 2设随机变量X具有概率密度fX xx求丫 X2的概率密度。解：分别记X,Y的分布函数为FX x；FY y ；先来求Fy y ；由于丫 X2 0 故当yw 0时，Fy y 0；fx y当 y0时，Fy y PY y PX2 y P y x y Fx . y2将Fy y关于y求导，得到Y X的概率密度为：fY x_1_2、y第三章多维随机变量及其分布 定义：设X,Y是定义在样本空间Q上的两个随机变量，则（ X,Y ）称为

13、二维随机变量，对 于任意实数；函数F X,Y P X x Y y称为二维随机变量的分布函数或称为 随机变量X,Y的联合分布函数。几何意义：若将二维随机变量（X,Y ）看成是平面上随机点（x,y ）的坐标，则分布函数F X,Y P X x Y y就表示随机点落在一点 （x,y ）为顶点的左下方的无限矩 形域内的概率。定义：如果二维随机变量（X,Y ）可能取得的值（x,y ）只有有限对或有限可列对，则称（X,Y）是二维离散型随机变量。定义：设二维随机变量（X,Y ）的分布函数是 F X,Y，如果存在非负的函数 f x, y，使y x得对于任意的x,y有F X,Yf x, y dxdy则称（x,y

14、）是连续型随机变量，函数f x, y称为二维随机变量X,Y）的概率密度或称随机变量X和Y的联合概率密度。例9：二维随机变量设随机变量（X,Y ）具有概率密度f x, y2 2x y x0; y 00其他试求：分布函数F x, y: P x y解：由f x, y2 2x y x 0; y 00其他则 F x, y2 2x y dxdy x 0;y012x 1y x 0;y00 00其他0其他x y2 2x ydydx 23xdx边缘分布定义：对于二维随机变量（X,Y ）,随机变量X和Y各自的分布函数称为二维随机变量（X,Y ）关于X和Y的边缘分布函数，分别记为FX X ;FY y。X设二维随机变

15、量（X,Y ）的概率密度f x, y ;于是 FX x F x,f x, y dydx则X是一个连续型随机变量，其概率密度为 fX x f x, y dy。y同理；FY y F y,f x, y dxdy则X是一个连续型随机变量，其概率密度为 fY y f x, y dx。2x, y |0 X i；x y x上服从均匀分布，求边例10：边缘分布设二维随机变量（X,Y）在区域G 缘概率密度 fx x f x,y dy ； fY y f x, y dx解：经画出G区域，不难得到二维随机变量（ X,Y ）的概率密度:f x, y6 0 x 1;x2 y x0其他所以，fX xf x, y dyx26

16、dy 6dy 6 x x 0 x 1 ox2o0 其他fY y f x, y dxy6dx6dx 6 . y y0 y 10y 00其他条件分布定义：设（X,Y ）的概率密度为f x, y ； fX x，fY y分别为关于X和丫的边缘概率密度，若fY y 0时，我们把FX丫 x|y P Xx|Y4dxfY y称为在Y=y条件下X的条件分布函数记为 Fxy x|其在Y=y条件下X的条件概率密度为fX|Y x | yf X, yfY y同理，在X=x条件下Y的条件分布函数为 FY|X y|x P Yy|xdy ； fx x其在X=x条件下Y的条件概率密度为fY|Xy |xf X, yfx x例ii

17、：条件分布设随机变量X和Y具有概率密度f X, yX22y其他求 fX|Y x | yf x,yfY y解：fY y亠|y|其他1 y 1dx f x, ydx、1 y0fx|Y x| yf x,yfY y|x|1 y2其他定义：设 F x, y ； FX x，Fy y分别为二维随机变量X,Y ）的分布函数及边缘分布函数，若对所有x, y，有P X x, Y yP X x P Y y 即 F x, y FX x FY y 则称随机变量X和Y是相互独立的。例 12 ：两个随机变量的函数分布设 随 机 变 量 X,Y 相 互 独 立 ，其概率密度分别为0 x 1 ， 其他 ，fYy 0 ，求随机变

18、量0 其他Z X Y 的概率密度。解：法一）：利用卷积公式Zzx dx 及 f X x ， fY y的定义知0 x 1 时，卷积公式的被积函数才不等于零。 zx所以，积分得法二）：常规解法x fy zx fy zdxdxz0zz x dx0zxdxz其他由已知有（ X,Y ）的概率密度为 fx, yx fY则随机变量 Z 的分布函数为 F zPZ当Z V 0 时,当Ow z 1 时,ydydx 100所以， F zz1z1 其他PXz11;y 其他f x, y dxdyyz第四章数字特征（数学期望、方差和协方差及相关系数）定义:数学期望反映随机变量X所取数值的集中位置。数学期望的计算：n1.一

19、维随机变量：离散型：E X Xi Pii 1连续型：E X xf xdx函数型：E g xg x f x dx2.二维随机变量：离散型：Enn nXXi PiXi pi 1i 1 j 1nn nE YyjPjXiPjj 1i 1 j 1连续型：E X xfxxdxxf x, y dxdyE Y yf y y dy yf x,y dxdy重要常用性质：EC C (C为常数) E CX CE X E X Y E X E Y E XY E X E Y例13：设 X N ,2，求 E (X)x解：Y N 0,1, E (Y) =0X Y所以；E X E Y定义：方差反映了随机变量 X取值的分散程度，若 X的取值比较集中，则 D X小；若X取值分散，D X大。D XxE X2即方差为函数g x2x E X 的数学期望。方差的计算：D XiXi1E X 2piD XxiE X 2f x dxD X EX2EX 2常用重要性质：DC 0（ C为常数）D CXc2d X D X Y D X D Y 2ExEXyEY若X和Y相互独立，则D X Y D X D Y协方差与相关系数随机变量X和Y相互独立时，协方差：covX,Y Ex EX y E Y E XY E X E Y 0相关系数：xy -C0VX,丫00，如果对任何参数B的任何值，都有P下上 1-，则称随机区间下，上为参数B的置信度