《数值计算方法》试题集及答案(1-6)2

1、计算方法期中复习试题、填空题: 1、已知f(1)0, f(2) 12 f(3) 3 ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得31 f(x)dx _答案：2.367, 0.25,用三点式求得f (1)2、f(1)1，f(2) 2，f(3) 1，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为答案：-1,1 1L2(x) -(x 2)(x 3) 2(x 1)(x 3)尹 1)(x 2)3、近似值x* 0.231关于真值x 0.229有(2 )位有效数字;4、设f(x)可微,求方程x f(x)的牛顿迭代格式是()；Xn f(Xn)xn 1xn答案1 f (xn)35、对 f(x) x x j差

2、商 f0,1,2,3(1), f0,1,2,3,4(0)；&计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；7、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分 n次后的误差限为8已知f(1)= 2, f(2) = 3, 4) = 5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15 )；11、两点式咼斯型求积公式111.31310f(x)dx (0f(x)dx 丁(17?)f(17T),代数精12、度为(5 )；为了使计算达式改写为y 10(310(44(x 1)26(x 1)3的乘除法次数尽量地少,为了减少舍入误差，应将表达式应将该表.2001 一 1999 改写为 .2

3、001“ 1999313、用二分法求方程f(x) x x 1 0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为 0.5, 1，进行两步后根的所在区间为0.5, 0.75。114、计算积分0.5Xdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268 .用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为 3。15、设 f(0) 0, f(1) 16, f (2)46,则 l1(x)l1(x)x(x 2)_， f (x)的二次牛顿16、插值多项式为N2(x)16x 7x(x 1)。求积公式bf(x)dxanAkf(xk)k 0的代数精度以(高斯型)求积

4、公式为最高，具有(2n 1)次代数精度。17、18已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求 设 f (1)=1，f(2)=2，f (3)=0，用三点式求 f (1)51f(x)dx(12 )。(2.5 )。19、如果用二分法求方程10)次。S(x)20、已知3x1 32(X 1) a(x 1) b(x 1)2a=()，b= (3)，c=(0 x 1c 1 x 3是三次样条函数，则1 )。nlk(x)nXklj(Xk)、，k 0(1 )k 0(Aj)，当 n 2 时n(X：(x x2)(x xn 1)(x xn)，Rn (x) f(x)(B)严()R(x)5 1)

5、!(C) f(x,x0,x1,x2.,xn)(x)(x x1)(x x2)(xxn 1)(x xn),(D)Rn(x) f (x) Pn(x)f (n 气)(n 1)!n 1 (x)12、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足(A)，则它的解数列xnn=0,1,2,定收敛到方程f(x)=0的根。(A)f(x)f(x) 0(B)f(x)f(x) 0(C)f(x)f(x) 0(D) f (x) f (x) 013、为求方程x3x2仁0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )2x(A),迭代公式：Xk 1x 11 2 Xkx(B

6、)1丄,迭代公式:xk 1x3(C)x1 x2,迭代公式:xk 1(12、1/3Xk)x31 x2,迭代公式：Xk 1(D)2Xkf(x)dxXk114、在牛顿-柯特斯求积公式:n(b a)Ci(n)i 0公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当( 使用。f (Xi )(n)中，当系数Ci是负值时, )时的牛顿-柯特斯求积公式不(1) n 8，(2) n 7，(3) n 10，(4) n 6,23、有下列数表X00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是()。(1) 二次；(2)三次； (3)四次；(4)五次15、取V 1732计算x G-3

7、1)4，下列方法中哪种最好?1616(B)(4 2.3)2 ；(C)(42.3)2 (D) ( 3 1)4 o3 X0X232(x 1) a(x 2)b 2X4是三次样条函数，则a,b的值为)(A) 28 16、3 ；S(x)26、已知( )(A)6, 6;(B)6 , 8;(C)8, 6;(D)8, &16、由下列数表进行Newt on插值，所确定的插值多项式的最高次数是()Xi11.522.533.5f (Xi )-10.52.5：5.08.011.5(D) 2(A)5 ；Ob17、形如度为(A)9 ；1&计算(B)4 ;f (x)dx A1 f (x1)(C) 3 ；A?f(X2)Asf

8、(X3)的高斯(Gauss)型求积公式的代数精Xk(A)_(B) 7 ；计算3的Newton迭代格式为Xk _31 T x(B)XkXk2(C) 5 ；(32Xk ； (C)Xk(D) 3Xk1 1Xk ； (D)XkXk319、用二分法求方程 则对分次数至少为(A)10;(B)12;4x2)100在区间1,2内的实根，要求误差限为Xko1 1032(C)8；(D)9。20、设 h(x)是以 xk k(k(A) x ;( B) k ;33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式,Q1丄,9)为节点的Lagrange插值基函数，则 i ；9kli(k)k 0(A)5;(B)4;(C)6;(D)3 o3

9、X0x 2S(x)321、已知2( x 1)a(x 2)b 2x 4是三次样条函数，则a,b的值为()(A)6, 6;(B)6, 8;(C)8,6;(D)8, &35、已知方程x3 2x 50在x2附近有根，下列迭代格式中在X02不收敛的是( )(C) 至少具有(D) 1 o)次代数精度Xk 1(B)2玄35Xk ；(C)Xk 1 xkxk5 ；(D)2x； 53x2 2koX0I1234f(x)143-5确定的唯一插值多项式的次数为()(A) xk 13 2xk 5 22、由下列数据(C)1 ；(D)3 o(A) 4;(B)2;23、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为（）（A）8

10、;（B）9;（C）10;（D）11。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）1、 已知观察值（Xi，yi）（i 012， ，m）,用最小二乘法求n次拟合多项式Pn（X）时,Pn（x）的次数n可以任意取。（）2X2、 用1- 2近似表示cosx产生舍入误差。（）（X X0 ）（ X X2 ）3、 （x1 Xo）（X1 X2）表示在节点X1的二次（拉格朗日）插值基函数。（）4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。11、求A、B使求积公式1f（X）dXAf( 1)1f(1) Bf( ?)1f(2)的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求21 dx1

11、 X（保留四位小数）。( )3 112 535、矩阵A=1 25具有严格对角占优四、计算题：1求积公式为1f（x）dx2A2B21f22ABA23得f(1)f(1)8f(右B2)1f(2)当f（x） x2 3时，公式显然精确成立；当f(X)4_X时，左=5，1右=3。所以代数精度为32 i t 2 x 3 以dx1 19 131 8 1C91/230.692862、已知Xi1345f (Xi)265497140分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f（x）的三次插值多项式P3（x），并求f（2）的近似值（保留四位小数）L(X)2(x 3)(x 4)(x 5)6(x 1)(x 4)(x 5)答案：3

12、(1 3)(1 4)(1 5)(3 1)(3 4)(3 5)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表为Xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-1014Pa(x)N3(x)2 2(x 1) (x 1)( x 3) (x 1)(x 3)( x 4)4f (2)P3(2)5.55、已知Xi-2-1012f (Xi)42135求f（x）的二次拟合曲线P2（x），并求f （0）的近似值答案：解：iXiyi2Xi3Xi4 XiXi yi2Xi yi0-244-816-8161-121-1P 1P -22 :2010000

13、031311r 1r 334254816102001510034341如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值答案：解：应选三个节点，使误差M 3|R2(X)| 寸 I 3(X)1尽量小，即应使丨3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点O.5。6。7最好，实际计算结果sinO .63891 0.596274,且Sin 0.63891 0.59627415a10a21510a13正规方程组为10a34a241ao107331010,a21114P2(X)1073x1011 2X14P2(x)11x7f (0)P2(0)6、已知si

14、nx区间0.4, 0.8的函数表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.7173610 |(0.638910.5)(0.638919 0.6)(0.638910.7)7、构造求解方程e 10x 2 0的根的迭代格式Xn 1 (Xn), n 0,1,2,讨论其收敛性，并将根求出来,|Xn 1Xn |10答案：解：令f(x)且 f (x) ex 10f(x) 0变形为则当x (0,1)时故迭代格式ex 10x 2, f (0)2 0,f (1) 10 e 00对x (，)，故f(x)0在(0,1)内有唯一实根(2(x)ex)I (x)le1

15、0.将方程收敛。取x00.5，计算结果列表如下:n0123Xn0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567X0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 0086 *且满足 |x7 x6 | 0.000 000 95 10 所以 x 0.090525 00810、已知下列实验数据Xi1.361.952.16f(Xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据1解：当0x6 1.27844 1.27847 1.278(k 0,1,2,)15、用牛顿（切线）法求解

16、: 02 3L 丿的近似值。取xo=1.7,计算三次，保留五位小数。 2解：、.3是f（x） x 3 0的正根,f（x） 2x，牛顿迭代公式为xn 3Xn 1 Xn2Xn ，即Xn 1Xn 322Xn(n 0,1,2,)取xo=1.7,列表如下:n123Xn1.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2, f (1)=3，f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1, 5)的近似值, 取五位小数。L(X)2& 1)& 2)3 &1)(x2)4 (x1)(x1)解：(1 1)( 1 2)(11)(12)(21)(21)2 34-(x1)(x 2)-(x1)(x

17、 2)-(x1)(x 1)3 231f(1.5) L2(1.5)0.04167241eXe , f (x) e , 0dx17、 n=3,用复合梯形公式求。已 的近似值(取四位小数)，并求误差估计。x 1 时,| f (x)| e|R| |exT3I12 321080.0250.05Xi19253038yi19.032.349.073.3至少有两位有效数字。20、（8分）用最小二乘法求形如y a bx2的经验公式拟合以下数据:解：span1, x2At1192解方程组1 1 1252312382At AC At y19.032.3 49.073.3其中AT A433913391 3529603

18、ATy173.6179980.7C解得：0.92555770.0501025 所以0.9255577，b 0.050102521、（ 15 分）用 n项估计其误差。用 值。8的复化梯形公式n 8的复化梯形公式（或复化1 X”0e dX时，试用余（或复化 Simpson公式）计算Simpson公式）计算出该积分的近似屮f()|RT【f|解：T(8)-f(a)11120.00130276872f(Xk) f (b)k 11 2 (0.8824969 160.77880080.606530660.53526140.472366550.41686207) 0.367879470.6329434322、

19、（ 15分）方程x x0在x 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）x x 1对应迭代格式Xnx x33 Xn3Xn1 ； （2）x1。判断迭代格式在X。式计算解：（1）1对应迭代格式xn 1x 1.5附近的根，精确到小数点后第三位。（x）尹 1）311对应迭代格式Xn，1: ；（ 3）5的收敛性，选一种收敛格（W 0.18 1，故收敛;25、数值积分公式形如1xf(x)dx S(x) Af(O)1Oxf(x)dx S(x)，并估计误差23A解：将f(x) 1,x,x ,x分布代入公式得：20,BH3W) f(x 构造Hermite插值多项式Hx)满足 出化)f (xj i 0,1

20、其中x(4)() -X2(X 1)24!30D1200,X1则有:xH3(x)dx S(x)f(x) H3(x)R(x)10xf (x) S(x)dx(4)()4!(x 1)2dx(4)()4! 60(4)()3(x 4!f(4)()14401)2dx(x)1(2)：1丄X(1.5)|0.17 1，故收敛；(3)(x)3x25(1.5)3 1.5故发散。选择(1):X。1.5 x11.3572 x21.3309 X31.3259 x 1.3249? ? ? ?x51.32476 x61.32472Bf(1) Cf (0) Df (1)试确定参数A, B,C,D使公式代数精度尽量高；(2)设f(

21、x) C40,1，推导余项公式R(x)27、( 10分)已知数值积分公式为:hf(x)dx 2f(0) f(h)2 h f (0)(h)，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数解：f(x)1显然精确成立；hh2h.2 f (X)x时，0XdX2h0hh 11.h 2 .h皿2 22hh3_ .丄f(x)2x dx-0h h 02 hX时，032212 -7f(x)3h 3x3dxh4h s-0h3h203h2X时，04212h 4 ,h5h rc1 . 2rh5f(x)4x4dx0h4h 04h3.7X时，0521所以，其代数精确度为328、(8分)已知求 a(

22、a 0)的迭代公式为:Xk 1 扣k9)xkx00 k0,1,2证明：对一切 k 1,2,Xk- a，且序列Xk是单调递减的，从而迭代过程收敛。Xk 1 (Xk旦）12 k a k0,1,2证明：2xk2Xk故对一切k1,2,Xk一 a。xk 11a、1 一(1 2 )(11)1又xk2Xk2所以Xk1 Xk，即序列Xk是单调递减有下界，从而29、（9分）数值求积公式3f(x)dx 2f(1) f(2)是否为插值型求积公式？为什么?迭代过程收敛f（1）芦其代数精度是多少?3p(x)dx3f (1)f(2)02。其代数精度为1。30、(6分）写出求方程4xcos X1在区间0,1的根的收敛的迭代

23、公式，并证明其收敛性。XnXn丄1cos xn（6分）4，n=0,1,2，11彳X4sin x-14对任意的初值X。,1,迭代公式都收敛。解：是。因为f（x）在基点1、2处的插值多项式为P(x)x 21 2f(2)31、（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555的近似值，并利用余项估用Newton插值方法：差分表:1001211441011120.04761900.0434783-0.0000941136Rf115100 115 121 115 1443

24、!1 35100 2156 29 0.00163683x852I32、（10分）用复化Simpson公式计算积分1 sin x0 xdX的近似值，要求误差限为Si4f - f 120.94614588S22f04f4f0.94608693S215S20.39310-5S20.94608693sin x或利用余项:3!5!7!9!x2x47 2!9 4!(4) xa2880n42880 5n40.510 5n 2 丨S20.5 1033、（10分）用Gauss列主元消去法解方程组:X14X22x3243X1X25X3342x16x2X3273.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12.66670.0000 5.3333 -2.3333 4.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.3333 4.33