静电场部分习题分析与解答

1、第八章 部分习题分析与解答,8-5 若电荷均匀地分布在长为L的细棒上,求证: (1)在棒的延长线,且离棒中心为r处的电场强度为 (2)在棒的垂直平分线上,离棒为r的电场强度为,解答,1)在带电棒上取一线元dx,其电荷为 dq=Qdx/L,它在P点的电场强度大小为,方向沿X轴正方向,因带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同,则,电场强度的方向沿x轴正方向,2) 电荷元 dq=Qdx/L在P点的电场强度大小为,E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零,故,点P的电场强度大小为,因为 统一积分变量,则,方向沿y轴的正方向,当棒长 时,P点的电场强度为,此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同,8-7

2、 一半径为R的半球壳,均匀地带有电荷,电荷面密度为,求球心处电场强度的大小,解答,将半球壳分割为一组平行的细圆环,从教材第8-3节的例1可以看出,所有细圆环在轴线上O处的电场强度方向都相同,将所有的带电圆环的电场强度积分,即可求得球心O处的电场强度,分析,由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同,利用几何关系 统一积分变量,有,积分得,分析,8-8用电场强度叠加原理求证:无限大均匀带电板外一点的电场强度大小为 (提示:把无限大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线,然后进行积分叠加,证1,如图所示,在带电板上取同心细圆环为微元,由于带电平面上同心圆环在点P激发的电场强度dE的方向均相同,因而

3、P处的电场强度为,电场强度E的方向为带电平板外法线方向,证2,如图所示,取无限长带电细线为微元,各微元在点P激发的电场强度dE在oxy平面内且对x轴对称,因此,电场在y轴和z轴方向上的分量之和,即Ey、Ex均为零，则点P的电场强度应为,积分得,电场强度E的方向为带电平板外法线方向,8-11如图8-11所示,电荷 分别均匀分布在两个半径为R的半细圆环上，求：（1）带电圆环偶极矩的大小和方向；（2）等效正、负电荷中心的位置,解答,1）将圆环沿y轴方向分割为一组相互平行的元电偶极子，每一元电偶极子带电,则带电圆环的电偶极矩为,2）等效正负电荷中心间距为,根据对称性正、负电荷中心在y轴上，所以其坐标分

4、别为（0,2R/）和（0，-2R/,也可借助几何中心的定义，得,即正、负电荷中心分别在y轴上距中心O为 处,8-13边长为a 的立方体如图所示,其表面分别平等于xy、yz和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点，现将立方体置于电场强度 的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量,解答,由题意知E与oxy面平行，所以对任何与oxy面平行的立方体表面，电场强度通量为零，即 ，而,考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有,同理有,整个立方体表面的电场强度通量为,解答,取与带电球体同心的球面为高斯面，因电荷分布和电场分布为球对称 ，球面上各点电场

5、强度的大小为常量，且方向垂直于球面。由高斯定理,当 时,当 时,8-16一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度,分析,若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度 ）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和,解答,由教材中第8-4节例4可知，在带电平面附近,为沿平面外法线的单位矢量;圆盘激发的电场为,距离圆孔较远处xr则,8-17如图所示，在电荷体密度为的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向

6、空腔球心O的矢量用 表示，试证明球形空腔中任一点的电场强度为,分析,证,均匀带电球体内部一点的电场强度，由高斯定理可得,所以,利用几何关系 ，上式可改写为,8-19一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长度的电荷为，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为r处的电场强度,解答,因电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢方向。取同轴圆柱面为高斯面，由高斯定理得,因为 所以,解得,解答,8-20一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2，求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距离r的连续函数？试分析,因电荷

7、呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，取半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理得,当rR1时，该高斯面内无电荷， 故,当R1rR2 时，高斯面内电荷 故,当R2rR3 时，高斯面内电荷为Q1 ，故,当rR3 时，高斯面内电荷为Q1 + Q2 ，故,电场强度方向均沿径矢方向,各区域的电场强度分布曲线如图所示,在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r=R3带电球面，电场强度的跃变量,这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性。实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场，如球壳的厚度变小，E的变化就变陡，

8、最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变,8-22如图所示，有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且Q1=Q3=Q，求在固定Q1、 Q3的情况下，将 Q2 从点O移到无穷远处外力所作的功,解答,由题意Q1所受合力为零,故得,因Q1=Q3=Q,外力作的功W应等于电场力作功的负值即W=-W,根据电场力作功与电势差的关系有,V0为Q1Q2在点O产生的电势（取无穷远处的电势为零,将Q2从点O推到无穷远处的过程中，外力作的功为,8-24水分子的电偶极矩P的大小为6.2010-30Cm,求在下述情况下,距离分子为r= 5.0010-9m处的电势. (1)=0o;

9、(2) =45o ;(3) =90o , 为r与p之间的夹角,解答,由点电荷电势的叠加,1)若=0o,2)若=45o,3)若=90o,8-25如图所示,有一薄金属环,其内外半径分别为R1和R2,圆环均匀带电,电荷面密度为.(1)计算通过环心垂直于环面的轴线上一点的电势;(2)若有一质子沿轴线从无限远处射向带正电的圆环,要使质子能穿过圆环,它的初速度至少应为多少,解答,1)在环上割取半径为r、宽度为dr的带电细圆环，其所带电荷为,它在轴线上产生的电势为,薄金属环的电势等于这些同心圆环电势的叠加,2）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心处的动能 ，开始时质子的初速度应满足,即,上式表明质子欲穿过环

10、心，其速率不能小于,8-26两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2。求各区域电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少,1)由高斯定理可求得电场分布,由电势 可求得各区域的电势分布,当rR1时,有,当R1rR2时,有,当rR2时,有,2)两个球面间的电势差为,1)由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内,即rR1,则,若该点位于两个球面之间,即R1rR2,则,若该点位于两个球面之外,即rR2,则,2)两个球面间的电势差为,8-27半径为R的无限长带电细棒,其内部的电荷均匀分布,电荷的体密度为现取棒表面为零电势,求空间电势分布并画出分布曲线,解答,无限

11、长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称,其电场和电势的分布也呈轴对称.取高度为 、半径为 且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理,当 时,得,取棒表面为零电势，空间电势的分布有,当 时,当 时,电势V随空间位置r的分布曲线为,8-28一圆盘半径R=3.00 10-2m,圆盘均匀带电,电荷面密度=2.0010-5C m-2.(1)求轴线上的电势分布;(2)根据电场强度与电势梯度的关系求电场分布;(3)计算离盘心30.0cm处的电势和电场强度,分析,利用与题8-25类似的方法，将积分限改为0到R，即可求得带电圆盘在轴线上的电势分布，再根据电场强度与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布,解答,1）轴线上任一点P的电势为,2）轴线上任一点电场强度为,电场强度方向沿x轴方向,当xR时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为,依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式，有,由此可见，当xR时，可以忽略圆盘的几何形状，而将带电的圆盘当作点电荷来处理。本题中作这样的近似处理，E和V的误差分别不超过0.3%和0.8%，这已足以满足一般的测量精度,8-32在oxy面上倒扣着半径为R的半球面,半球面上电荷均匀分布,电荷面密度为 ,A点坐标为(0,R/2),B点的坐标为(3R/2,0)求电势差UAB,分析,其中 是带电球表面的电势， 是带电球面在