概率与数理统计知识

1、开锁次数的数学期望和方差例 有n把看上去样子相同的钥匙， 其中只有一把能把大门上的锁打开.用它们去试开门上的锁.设抽取钥匙是相互独立且等可能的.每把钥匙试开后不能放回.求试开次数的数学期望和方差.分析：求P(二k)时，由题知前k -1次没打开，恰第k次打开不过,般我们应从简单的地方入手，如=1,2,3，发现规律后，推广到一般.解：的可能取值为1, 2,n.P( “)丄n1 1P( =2) =(1)nn -1P( =3) =(1-丄)(1nn1 n亡)n2n -1 n1 n11 1 n -21-1)1n -k 2 n -k -1n -1nn 2 n 3n -1 n 2;所以的分布列为:111 1

2、E =123n n n nnn 12 1n 1 2 1D=(1_ 门)(2_ c )2 n2 n_ n 1-2 ；n 十 121n 十 121(3_)2(k _)22 n2 n12knPnn1n丄nn)(n )2 n21 2 2 2 2(123n ) (n 1)(1 2 3n 一1 1n(n 1)2 n(n 1)2 丨 n2 -1I-n(n +1)(2n+1)- w 丿 + 丿= - n 624 一 12说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般, 方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的 关键.次品个数的期望例某批数量较

3、大的商品的次品率是5%,从中任意地连续取出10件，为所含次品的个数，求E .分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是0.05, 可能取值是：0, 1,2,，10. 10次抽取看成10次独立重复试验，所以抽到次品数服从二项分布，由公式E =np可得解.解：由题， B 10,0.05，所以-10 0.05 =0.5 .说明：随机变量的概率分布，是求其数学期望的关键因此，入手时，决定取哪些值及其相应的概率，是重要的突破点.此题 P(二k)二C：(0.05)k (1 - 0.05)10上，应觉察 到这是 B 10,0.05 .根据分布列求期望和方差例 设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，

4、求q值，并求E、D .-101P121 - 2q2 q分析：根据分布列的两个性质，先确定 q的值，当分布列确定时，E、D 只须按定义代公式即可.解：离散型随机变量的分布满足(1) P -0,i =1,2,3,(2) p +P2 +P3 + =1.1 2-十1 _2q +q =1,2所以有0兰12q 1, 解得q2 故的分布列为-101P1v2 -122二E g=（_1）疋1十0述（时吃一1）十1疋（3 _*迈；22丿-1 3 一 2 =1 一 . 2.2 21 f 3、d =i （iV2）2汉 +（1应）2yj21）+口（1 V2）2汉-42 I2 ：2 -1.小结：解题时不能忽视条件PCkJ

5、Pj时，0乞Pi乞1, i=1,2，否则取了 q 1的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算.产品中次品数分布列与期望值例一批产品共100件，其中有10件是次品，为了检验其质量，从中以随机的方式选取5件，求在抽取的这5件产品中次品数分布列与期望值，并说明5件中有3件以上（包括3件）为次品的概率.（精确到0. 001）分析：根据题意确定随机变量及其取值，对于次品在3件以上的概率是3,4,5三种情况的和.解：抽取的次品数是一个随机变量，设为，显然可以取从0到5的6个整数.抽样中，如果恰巧有k个（k =0,1,2,3,4,5）次品，则其概率为P( =k)=Ck5 -k10 C905100按照这

6、个公式计算，并要求精确到 0. 001，则有P ( =0)=0.583, P( =1)=0.340, P( =2)=0.070,P (=3) =0.07, P( =4)=0, P( =5)=0.故的分布列为012345P0.5830.3400.0700.00700E =0 0.583 1 0.340 2 0.070 3 0.0074 0 5 0 =0.501.由分布列可知，P (_ 3) =0.0070 0,P ( _3) =0.007.这就是说，所抽取的5件品中3件以上为次品的可能性很小，只有7%.评定两保护区的管理水平例 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大

7、致相等而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：0123P0.30.30.20.2乙保护区:分析：一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件的次数的均值，即 数学期望；二是要看发生违规事件次数的波动情况，即方差值的大小.(当然，亦可计算其标准差，同样说明道理.)解：甲保护区的违规次数的数学期望和方差为：E 0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2 =1.3;DlpO-lS)2 0.3 (1 -1.3)2 0.3 (2 -1.3)2 0.2 (3-1.3)2 0.2 =1.21;乙保护区的违规次数2的数学期望和方差为：E 2 =0 0.1 1 0.

8、5 2 0.4 =1.3;U222D (0 -1.3)0.1 (1-1.3)0.5 (2 -1.3)0.4 = 0.41;因为E E 2,D 1 D 2,所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动.(标准差二1 = . D 1 =1.1,二2二 D 264这两个值在科学计算器上容易获得，显然，二)说明：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够的，比如：两个随机变量的均值相等了(即数学期望值相等)，这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周期变化，即计算其方差(或是标准差)方差大说明随

9、机变量取值分散性大；方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定.射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差例 某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数的分布列，并求出 的期望E 与方差D(保留两位小数)分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解.解：该组练习耗用的子弹数为随机变量，可以取值为1, 2, 3, 4, 5.=1,表示一发即中，故概率为P C： =1) =0.8;=2,表示第一

10、发未中，第二发命中，故P (=2)=(1-0.8) 0.8 =0.2 0.8 = 0.16;=3, 表示第一、二发未中，第三发命中，故P( =3)=(1 -0.8)2 0.8 =0.22 0.8 =0.032;=4,表示第一、二、三发未中，第四发命中，故P(4) =(1-0.8)3 0.8 = 0.23 0.8 =0.0064=5,表示第五发命中，故44P( =5)=(1-0.8) 1=0.2 =0.0016.因此，的分布列为12345p0.80.160.0320.00640.0016E =1 0.8 2 0.163 0.0324 0.00645 0.0016-0.8 0.32 0.096 0

11、.0256 0.008 =1.25,D : (1-1.25)20.8 (21.25)20.16(3 1.25)2 0.032(4 _1.25)20.0064(5 _1.25)20.0016= 0.05 0.09 0.098 0.0484 0.0225 =0.31.说明：解决这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值，然后再根据概率的知识求解对应的概率.准备礼品的个数例某寻呼台共有客户来领取假设任一客户去领奖的概率为 若能使每一位领奖人都得到礼品3000人，若寻呼台准备了4 %.问：寻呼台能否向每寻呼台至少应准备多少礼品？100份小礼品，邀请客户在指定时间位顾客都发出奖邀请？分析：可能来多少人，是

12、一个随机变量反映平均来领奖人数，即能说明是否可行.解：设来领奖的人P(二 k) =c300(0.04)k (1 -0.04)30000上而显然是服从二项分布的，用数学期望来数 F： =k,(k =0,1,2,，3000), 所 以可见 B 30000,0.04 ，所以，E 3000 0.04 =120 (人)100 (人).答：不能，寻呼台至少应准备120份礼品.说明：“能”与“不能”是实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题数字期望反映了随机变量取值的平均水平.用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值因此，要想到用期望来解决这一问题.调查学生如何进行 简单随机抽样例

13、、某校有学生1200人，为了调查某种情况打算抽取一个样本容量为50的样本，问此样本若采用简单随机抽样将如何获得？分析：简单随机抽样分两种：抽签法和随机数表法.尽管此题的总体中的个体数不一定算“较少”，但依题意其操作过程却是保障等概率的.解：法一：首先，把该校学生都编上号码：0001, 0002 , 0003,，1200.如用抽签法，则作1200个形状、大小相同的号签(号签可以用小球、卡片、纸条等制作)，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取 50次，就得到一个容量为 50的样本.法二：首先，把该校学生都编上号码：0001, 0002 , 0003，1

14、200如用随机数表法，则可在数表上随机选定一个起始位置(例如，随意投一针，针尖所指数字可作起始位置)假如起始位置是表中的第 5行第9列的数字6，从6开始向右连续取数字，以4个数为一组，碰到右边线时向下错一行向左继续取，所得数字如下：6438, 5482, 4622 , 3162, 4309, 9006 , 1844, 3253, 2383 , 0130, 3046, 1943 , 6248 , 3469 , 0253 , 7887 , 3239 , 7371 , 28 的，3445 , 9493 , 4977 , 2261 , 8442 ,所取录的4位数字如果小于或等于 1200 ,则对应此号

15、的学生就是被抽取的个体；如果 所取录的4位数字大于1200而小于或等于2400,则减去1200剩余数即是被抽取的号码； 如果大于2400而小于3600，则减去2 400；依些类推如果遇到相同的号码，则只留第一 次取录的数字，其余的舍去经过这样处理，被抽取的学生所对应的号码分别是：0438, 0682, 1022, 0762, 0709, 0606, 0644, 0853, 1183, 0130, 0646, 0743, 0248 , 1069, 0253, 0687, 0839, 0171 , 0445, 1045, 1093 , 0177, 1061 , 0042，一直取 够50人为止.说明

16、：规范的，不带主观意向的随机抽样，才能保证公平性、客观性、准确性和可信性.故 此，抽样的过程，也反映科学的工作态度和求实的工作作风.判断抽牌方法是否为简单随机抽样例人们打桥牌时，将洗好的扑克牌（52张）随机确定一张为起始牌，这时，开始按次 序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本.问这种抽样方法是否 为简单随机抽样？分析：简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取.而这里只是随机确定了起始张，这时其他各张虽然是逐张起牌的，其实各张在谁手里已被确定，所以，不是简单随机抽样， 据其等距起牌的特点，应将其定位在系统抽样.解：是简单随机抽样，是系统抽样.说明：逐张随机抽取与逐张起

17、牌不是一回事，其实抓住其“等距”的特点不难发现，属 于哪类抽样.判断是不是系统抽样例下列抽样中不是系统抽样的是（）A从标有1 - 15号的15个球中，任选3个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点i，以后i05,i010 （超过15则从1再数起）号入样B. 工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分 钟抽一件产品进行检验C. 搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定调 查人数为止D. 电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下 来座谈分析：本题考查系统抽样的有关概念，系统抽样适用于个体较多但均衡的总体.判

18、断 是否为系统抽样（简单随机抽样和分层抽样也是这样），应首先看是否在抽样前知道总体是由什么构成的，抽样的方法能否保证每个个体按事先规定的概率入样（即等可能抽样），再看是否将总体分成几个均衡的部分，每个部分中进行简单随机抽样.解：C .不是系统抽样，因事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定 的概率入样.答案是C说明：抽样方法的实质是：抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等，并且抽样前对总 体的构成必须心中有数，比如起码知道总体中个体有多少.用系统抽样调查工人到单位的时间例某单位共有在岗职工人数为 624人，为了调查工人上班时，从离开家到来到单位的 路上平均所用时间，决定抽取 10%的工

19、人调查这一情况，如何采用系统抽样方法完成这一 抽样？分析：总体中的每个个体， 都必须等和能地入样，为了实现“等距”入样，且又等概率，因此，应先剔除，再“分段”，后定起始化解：首先，将在岗的工人 624人，用随机方式编号(如按出生年月日顺思维诊断序)，624000, 001, 002，623。第二步，由题知，应抽取 62人的样本，因为不是整数，所62以应从总体中剔除 4个，(剔除方法用随机数表法，随机定一起始数，向右取三位数如起始数为附表1中第8行，第19列数，则为1.向右取三位数为199,即编号199被剔除，若 三位数恰大于623或是已被剔除之数，则重新定起始数，反复下去，直到剔除4人为止)将

20、余下的620人，按编号顺序补齐 000, 001, 002，619分成62个段，每段10人，在第 一段000，001，002，009这十个编号中，随机定一起始号，则编号为所抽取的样本.说明：采用系统抽样，是为减少工作量，提高其可操作性，减少人为的导向和误差.过 程同样马虎不得.选择方法调查学生消费情况例 某校有在校高中生共 1600人，其中高一学生 520人，高二学生500人，高三学生 580.如果想通过抽查其中的 80人，来调查学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，问应当采用怎样的抽样方法？高三学生中应抽查多少人？分析：各部分之间有差别，是分层

21、抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样，是灵活自 主的，可系统抽样；可简单抽样.由于本题只问采用何种抽样方法，而不必答出如何抽样的 过程.解：因为不同年级的学生消费情况有明显的差别，所以应采用分层抽样.由于520 : 500： 580 = 26： 25： 29,于是将80分成26： 25： 29的三部分，设三部分各 抽个体数分别为 26x, 25x, 26x.由：得，故高三年级中应抽查29 X 1 = 29人.说明：答其所问，这是审题时应注意的问题，个别同学习惯一目十行地读题，往往容易 漏掉其关键，而造成失误.借助于标准正态分布表求值例 设服从N (0,1)，求下列各式的值：(1) P 2.35

22、);(2) P(c1.24);(3)1.54).分析：因为用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值.但由于表中只列出x0 -0,P： x0) =(冷)的情形，故需要转化成小于非负值x0的概率，公式: N（f2），则由J N（0,1）知:,其后再转化为非负标：(-x) J-G(x);P(a ：b) =G(b)-G(a);和 P( _ 冷)=1 - P( ： x。)有其用武之地.解：(1) P( _ 2.35) _P( ： 2.35) /门(2.35)二仁 0.9906 = 0.0094;(2) P( ： 1.24) =：( 1.24) =1G(1.24) =1 0.8925 =

23、0.1075;(3) P(円 v 1.54) = P( 1.54 c 1.54)=(1.54)(1.54)=(1.54) -1 一：(1.54) =26(1.54) -1 =0.8764.说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便.相反其简捷的效果更突出了核心内容.左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用.求服从一般正态分布的概率例 设服从N(1.5,22)试求：(1) P( : 3.5);(2) P( :：: -4);(3) P( _2);(4) P:卜 3).分析：首先，应将一般正态分布N (1.5,2)转化成标准正态分布，利用结论：若（3）（2）P（ _2）=1_P（ ：2）=1_门=1 （0.25） =0.4013;I 2丿准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果.3.5 一1.5 ：（1） =0.8413;_4 _1 54=门（-2.75） =1 - 门（2.75） =0.0030;2P（n：3） =P（ ：2） =1 _门I 2丿-3-1.5、I 99%，所以这批材料符合所提要求.说明：“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”.转化“小于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表.公共汽车门的高度例若公共汽车门的高度是按照保证成年男