高中新课程数学(苏教)二轮复习热点《专题二90分解答题大冲关与评分细则》》(热点命题探究,含解析)

1、专题二90分解答题大冲关与评分细则【专题定位】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，分值占90分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇)、解析几何(或与平面向量交汇)从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，在

2、高考数学备考中认真分析这些解题特点及时总结出来，这样有针对性的进行复习训练，能达到事半功倍的效果【应对策略】解答题是高考数学试卷的重头戏，占整个试卷分数的半壁江山，考生在解答解答题时，应注意正确运用解题技巧(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分(2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略对此可以采取以下策略：缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤

3、，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题

4、思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展顺向推有困难就逆推，直接证有困难就间接证【示例】 (2012苏锡常镇调研测试)如图，在四边形ABCD中，已知AB13，AC10，AD5，CD，50.(1)求cosBAC的值；(2)求sinCAD的值；(3)求BAD的面积解题突破(1)根据数量积的定义式的变形式求；(2)在ACD中，利用余弦定理求cosCAD，再利用平方关系求解；(3

5、)利用两角和公式求BAD的正弦值，代入三角形面积公式求解解(1)因为|cosBAC，所以cosBAC.(2分)(2)在ADC中，AC10，AD5，CD，由余弦定理，得cosCAD.(4分)因为CAD(0，)，所以sinCAD .(6分)(3)由(1)知，cosBAC.因为BAC(0，)，所以sinBAC .(8分)从而sinBADsin(BACCAD) sinBACcosCADcosBACsinCAD .(11分)所以SBADABADsinBAD13528.(14分)评分细则(1)没有写cosBAC直接计算的，扣1分.,(2)不交代CAD的范围的，扣1分；,(3)不交代BAC范围的，扣1分.【

6、突破训练】 (2012苏锡常镇调研测试(一)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m，n，且mn.(1)求角C的大小；(2)若a22b2c2，求tan A的值解(1)mn，mn0.则2cos22sin2C0.(2分)(阅卷说明：无中间分)C(0，)，cos0，sin C0.cossin C(4分)(阅卷说明：得到2cos2Ccos C10也得2分)则sin.(6分)又，.则C.(8分)(阅卷说明：以上有一处写范围不扣分，否则扣1分)(2)C，由余弦定理，得c2a2b2ab.又a22b2c2，a22b2a2b2ab.则a3b.(10分)由正弦定理，得sin A3sin B(11分)

7、C，sin A3sin.(12分)即sin A3cos A(13分)cos A0上式不成立，即cos A0，tan A3.(14分)(阅卷说明：结果正确不扣分)【抢分秘诀】1解决三角函数图象问题，主要从函数图象上的点入手，抓住函数图象上的关键点，而对于作图问题往往利用函数在一个周期内的五点确定函数图象的形状，识图问题需要利用关键点确定解析式中参数的取值，而图象的伸缩、平移变换也可以利用关键点帮助准确记忆相关规律2解决三角函数的最值与范围问题，要从三角函数的性质入手，常常转化为两类问题求解：一是通过化简、变换及换元转化为正弦、余弦函数的最值与范围问题求解；二是通过换元分解为基本初等函数和正弦、余

8、弦函数的最值、三角函数的有界性和基本初等函数的单调性问题解决3解决三角函数的化简、求值与证明问题的基本思路是：第一，观察角与角之间的关系，注意角的变形应用，角的变换是三角函数变换的核心；第二，看函数名称之间的关系，通常是统一为正弦、余弦函数的形式；第三，观察代数式的结构特点，对于三角公式要记忆准确，应用公式要认真分析，合理转化，避免盲目性4解三角形或多边形问题均以三角形为载体，其解题过程的实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，解题要从三角形的边角关系入手，依据题设条件合理设计解题程序，灵活进行边角之间的互化【示例】 (2012南师大附中阶段检测)如图，四棱椎P ABCD的底面为矩形，

9、且AB，BC1，E，F分别为AB，PC中点(1)求证：EF平面PAD；(2)若平面PAC平面ABCD，求证：平面PAC平面PDE.解题突破(1)由E，F分别为AB，PC中点取PD的中点M，再证四边形AEMF是平行四边形(2)在矩形ABCD中，根据ABBC，可得，从而可证DAECDA.再证明DEAC，根据面面垂直的性质和判定可得平面PAC平面PDE.证明(1)法一取线段PD的中点M，连接FM，AM.因为F为PC的中点，所以FMCD，且FMCD.因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EACD，且EACD.所以FMEA，且FMEA.所以四边形AEFM为平行四边形所以EFAM.(5分)又AM平

10、面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.(7分)法二连接CE并延长交DA的延长线于N，连接PN.因为四边形ABCD为矩形，所以ADBC，所以BCEANE，CBENAE.又AEEB，所以CEBNEA，所以CENE.又F为PC的中点，所以EFNP.(5分)又NP平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.(7分)法三取CD的中点Q，连接FQ，EQ.在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AEDQ，且AEDQ.所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQAD.又AD平面PAD，EQ平面PAD，所以EQ平面PAD.(2分)因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQPD.又PD平面PAD，FQ平面P

11、AD，所以FQ平面PAD.又FQ，EQ平面EQF，FQEQQ，所以平面EQF平面PAD.(5分)因为EF平面EQF，所以EF平面PAD.(7分)(2)设AC，DE相交于G.在矩形ABCD中，因为ABBC，E为AB的中点所以.又DAECDA，所以DAECDA，所以ADEDCA.又ADECDEADC90，所以DCACDE90.由DGC的内角和为180，得DGC90.即DEAC.(9分)因为平面PAC平面ABCD因为DE平面ABCD，所以DE平面PAC，(12分)又DE平面PDE，所以平面PAC平面PDE.(14分)评分细则(1)第一问，方法1和2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行

12、，一律扣2分；方法3，直接由线线平行面面平行，扣3分；(2)第二问，不用平面几何知识证明DEAC，扣2分.【突破训练】 (2012南师附中统测)如图，在四棱锥P ABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC6，BD6，E是PB上任意一点(1)求证：ACDE；(2)当AEC面积的最小值是9时，求证：EC平面PAB.(1)证明连接BD，设AC与BD相交于点F.因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.(4分)又因为PD平面ABCD，AC平面PDB，E为PB上任意一点，DE平面PBD，所以ACDE.(7分)(2)解连ED.由(1)知AC平面PDB，EF平面PBD，所以ACEF.SACEAC

13、EF，在ACE面积最小时，EF最小，则EFPB.SACE6EF9，解得EF3，(10分)由PBEF且PBAC得PB平面AEC，则PBEC，又由EFAFFC3得ECAE，而PBAEE，故EC平面PAB.(14分)【抢分秘诀】 (1)在解答中，遵循先证明后计算的原则注重考查立体问题平面化，面面问题，线面化再线线化的化归过程(2)根据题目的条件画出图形，注意图形的合理性、美观性和直观性有些性质的判定和长度的计算及点的位置的确定，往往需借助图形的直观性而估算一个大概，而且有利于经过计算或论证得到的最后的结果的验证(3)要注意立体几何语言的表达方法，要简明扼要、清楚明白、符合逻辑的进行表述，要以课本上的

14、表述为示范，尽快地掌握要领各个命题的因果关系要明明白白，计算过程清晰明了，保证无误重视立体几何语言的严谨性、科学性和简捷性，往往思路正确，而表述有误，因此失分真是太可惜！ (4)立体几何的概念、公理、定理、计算公式等，应牢固掌握，同时尽可能多的掌握一些重要结论因为这些知识都是学习立体几何的基本工具，它是思维浓缩的精华内容，是规律的总结，也是进行推理、论证和计算的基础【例1】 (2012南京高三调研)经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km的水果批发市场据测算，J型卡车满载行驶时，每100 km所消耗的燃油量u(单位：L)与速度v(单位：km/h)，的关系近似地满足u除

15、燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元已知燃油价格为每升(L)7.5元(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y表示成速度v的函数关系式；(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？解题突破由u是关于v的分段函数，得y也是关于v的分段函数，求出各段函数的最小值，再比较大小，而求函数最值的方法可以有函数图象法、单调性法、导数法等，其中导数法是求函数最值的一种相当重要的方法解(1)由题意，当0v50时，y7.5u30030300690，当v50时，y7.5u30030300600，所以y(8分)(2)当0v50时，y690是单调减函数，故v50时，y取

16、得最小值ymin6903 150；当v50时，y600(v50)由y0，得v100当50v100时，y0，函数y600单调递减所以当v100时，y取得最小值ymin6002 400由于3 1502 400，所以当v100时，y取得最小值答当卡车以100 km/h的速度驶时，运送这车水果的费用最少(16分)评分细则(1)第一问，有一段求解错误的，扣4分；(2)第二问，有一段函数最值求解错误的，扣2分；没有将两个最小值比较的，扣2分，不写答案的，扣1分.【例2】 (2012南通市数学学科基地密卷(一)，18)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并

17、且与天花板的距离(即OB)为2 m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3.点C为OB上一点(不包含端点O、B)，同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等。设细绳的总长为y.(1)设CA1O(rad)，将y表示成的函数关系式；(2)请你设计，当角正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长解(1)在RtCOA1中，CA1，CO2tan ，(2分)y3CA1CB322tan 2.(7分)(2)y22，令y0，则sin ，(12分)当sin 时，y0；sin 时，y0，ysin 在上是增函数当角满足sin 时，y最小，最小为42；此时B

18、C m(16分)【突破训练】 (2012启东中学一模)如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中的ABCD)的围墙，且要求中间用围墙EF隔开，使得图中ABEF为矩形，EFDC为正方形，设ABx米，已知围墙(包括EF)的修建费用均为800元/米设围墙(包括EF)的修建总费用为y元(1)求出y关于x的函数解析式；(2)当x为何值时，围墙(包括EF)的修建总费用y最小？并且求出y的最小值解(1)设ADt米，则由题意得xt600，且tx，故tx，可得0x10，(4分)则y800(3x2t)8002 400，所以y关于x的函数解析式为y2 400(0x10)(8分)(2)y2 4002

19、4002 96 000，当且仅当x，即x20时等号成立故当x为20米时，y最小y的最小值为96 000元(14分)解题突破将实际问题转化为数学问题，利用基本不等式求解最值【抢分秘诀】1常见的应用题：(1)函数与导数模型；(2)三角函数模型；(3)函数与不等式模型；(4)数列模型2解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意；(2)设置变量，建立函数关系；(3)应用函数知识或数学方法解决问题；(4)检验，作答【示例】 已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点，MF1F2的面积为4，ABF2的周长

20、为8.(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1，PF2都相切若存在，求出点P的坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由解题突破(1)MF1F2的面积为4，ABF2的周长为8，确立a，b，求椭圆方程(2)圆Q与直线PF1，PF2都相切，根据平面几何的知识，可知，PQ为F1PF2的角平分线，由角平分线的性质可得PF1PF231，从而求出PF1，再建立方程求P的坐标进一步求圆的方程解(1)由题意设椭圆的方程为1(ab0)，4a8，b2c4，(2分)bc2，a2，(4分)所以，所求的椭圆方程为1.(6分)(2)假设存在椭圆上的点P

21、及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1，PF2都相切；设圆Q的半径为r，点P(x0，y0)，因为圆Q与直线PF1，PF2都相切，所以，PQ为F1PF2的角平分线，PF1QF1，QF13，PF13，(8分)解得x02，y0；(10分)当P(2，)时，直线PF1的方程为：x2y20，则Q到直线PF1的距离1；(14分)所以存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1，PF2都相切，点P(2，)，圆的方程为：(x1)2y21.(16分)评分细则(1)由条件建立a，b，c关系并求其值得4分；(2)写出椭圆的方程得2分，若错则不得分；(3)求出PF1得2分；(4)求出x02，y0r(2

22、)，得2分；(5)确定P(2，r(2)得2分，写出圆的方程得2分.【突破训练】 (2012盐城一模)已知半椭圆1(y0)和半圆x2y2b2(y0)组成曲线C，其中ab0；如图，半椭圆1(y0)内切于矩形ABCD，且CD交y轴于点G，点P是半圆x2y2b2(y0)上异于A、B的任意一点，当点P位于点M时，AGP的面积最大(1)求曲线C的方程；(2)连PC，PD交AB分别于点E，F，求证：；AE2BF2为定值解(1)已知点M在半圆x2y2b2(y0)上，所以22b2，又b0，所以b1，(2分)当半圆x2y2b2(y0)在点P处的切线与直线AG平行时，点P到直线AG的距离最大，此时AGP的面积取得最

23、大值，故半圆x2y2b2(y0)在点M处的切线与直线AG平行，所以OMAG，(3分)又kOM，所以kAG，又b1，所以a，(4分)所以曲线C的方程为x21(y0)或x2y21(y0)(6分)(2)由(1)知点C(1，)，点D(1，)，设P(x0，y0)，则有直线PC的方程为y(x1)，(7分)令y0，得xE1，所以AE2；(9分)直线PD的方程为y(x1)，(10分)令y0，得xF1，所以BF2；(12分)则AE2BF2228，(13分)又由xy1，得x1y，代入上式得8884所以AE2BF2为定值(16分)【抢分秘诀】 (1)解析几何，首先必须要保证计算正确因为解析几何都是环环相扣的，如果数

24、值出现错误，后面的问题就白做了，还浪费时间(2)看到题目不要着急，仔细挑拣出已知条件，按题目深浅大致区分第一问和以后几问要用到的条件一些问题要通过画图才能看见隐含条件(例如交点、域和一些特别的几何图形等)，继而找到思路，同时数形结合至关重要，要把平面几何知识与解析几何知识结合起来，使解题更加直观、简捷(3)解题步骤不能太过臃肿，非得分点多写了也不加分，多出的步骤有漏洞(如符号错误等)还会扣分但如果简略的步骤过多，一些得分步骤被你省略了，也会扣分的(4)思路清晰，书写有条理也是得分关键【示例】 (徐州市20112012学年度高三第一次质量检测20)设数列an的前n项和为Sn，已知Sn1pSnq(

25、p，q为常数，nN*)，a12，a21，a3q3p.(1)求p，q的值；(2)求数列an的通项公式；(3)是否存在正整数m，n，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m，n)；若不存在，说明理由解题突破根据条件建立方程组求解(1)；将前n项和转化为通项，再利用等比数列的通项公式求解(2)；利用等比数列的前n项求和公式化简不等式，根据不等式的结构特点利用正整数的条件解不等式解(1)由题意，知即解之得(4分)(2)由(1)知，Sn1Sn2，当n2时，SnSn12，得，an1an(n2)，(6分)又a2a1，所以an1an(nN*)，所以an是首项为2，公比为的等比数列，所以an.(8分)(

26、3)由(2)得，Sn4，由，得，即，(10分)即，因为2m10，所以2n(4m)2，所以m4，且22n(4m)2m14，(*)，因为mN*，所以m1或2或3.(12分)当m1时，由(*)得，22n38，所以n1；当m2时，由(*)得，22n212，所以n1或2；当m3时，由(*)得，22n20，所以n2或3或4，综上，存在符合条件的所有有序实数对(m，n)为：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(16分)评分细则(1)列式正确，计算错误的，扣2分.(2)没有验证“a2f(1,2)a1”的，扣2分；(3)讨论不全的，少一个扣1分，直到扣完为止.【突破训练】 (2

27、012启东中学一模)已知数列xn和yn的通项公式分别是xnan和yn(a1)nb(nN*)(1)当a3，b5时，试问x2，x4分别是数列yn中的第几项？记cnx，若ck是数列yn中的第m项(k，mN*)，试问ck1是数列yn中的第几项？请说明理由；(2)对给定自然数a2，试问是否存在b1,2，使得数列xn和yn有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列zn；若不存在，说明理由解(1)由条件可得xn3n，yn4n5.令x29ym4m5，得m1，故x2是数列yn中的第1项令x481yk4k5，得k19，故x4是数列yn中的第19项(2分)由题意知，cn32n，由ck为数列yn中的第m项，

28、则有32k4m5，那么ck132(k1)932k9(4m5)36m454(9m10)5，因9m10N*，所以ck1是数列yn中的第9m10项(8分)(2)设在1,2上存在实数b使得数列xn和yn有公共项，即存在正整数s，t使as(a1)tb，t，因自然数a2，s，t为正整数，asb能被a1整除当s1时，tN*.当s2n(nN*)时，当b1时，1(a)(a)2(a)2n1(a1)1a2a4a2n2N*，即asb能被a1整除此时数列xn和yn有公共项组成的数列zn，通项公式为zn22n(nN*)显然，当b2时，N*，即asb不能被a1整除当s2n1(nN*)时，t，若a2，则a2nN*，又a与a1

29、互质，故此时tN*.若a2，要a2nN*，则要b2，此时a2na2n1，由知，a2n1能被a1整除，故tN*，即asb能被a1整除当且仅当ba2时，asb能被a1整除此时数列xn和yn有公共项组成的数列zn，通项公式为zn22n1(nN*)综上所述，存在b1,2，使得数列xn和yn有公共项组成的数列zn，且当b1时，数列zna2n(nN*)；当ba2时，数列zn22n1(nN*)(16分)【抢分秘诀】1求解数列的通项公式时，应该先根据已知条件确定数列的性质，然后通过条件的灵活变形构造或者直接转化为等差、等比数列的通项公式问题进行求解，所以要熟练掌握等差、等比数列的定义及其性质，才能简化运算过程

30、2数列求和问题的关键是数列通项公式的求解，数列求和的方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将其转化为等差、等比数列的求和问题进行求解【示例】 (2012南京、盐城三模)已知函数f(x)x3ax2a2x2，aR.(1)若a0时，试求函数yf(x)的单调递减区间；(2)若a0，且曲线yf(x)在点A、B(A、B不重合)处切线的交点位于直线x2上，证明：A、B两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x1、x2、x30,1，总存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边长的三角形试求正实数a的取值范围解题突破利用导数求单调区间；根据导数的几何意义结合基本不等式以算代证；利用导数研究函数单调性、极值

31、情况，根据三角形三边长的关系建立不等式组求解解(1)函数f(x)的导函数f(x)3x22axa23(xa).因为a0，由f(x)0，解得xa.所以函数yf(x)的单调递减区间为.(3分)(2)当a0时，f(x)x32.设在点A(x1，x2)，B(x2，x2)处的切线交于直线x2上一点P(2，t)因为y3x2，所以曲线yf(x)在点A处的切线斜率为k3x，所以，在点A处的切线方程为y(x2)3x(xx1)因为切线过点P，所以t(x2)3x(2x1)，即2x6x(t2)0.同理可得x6x(t2)0.(5分)两式相减得2(xx)6(xx)0.即(x1x2)(xx1x2x)3(x1x2)(x1x2)0.因为x1x20，所以xx1x2x3(x1x2)0.即(x1x2)2x1x23(x1x2)0.(7分)因为x1x22，且x1x2，所以x1x22从而上式可以化为(x1x2)223(x1x2)0，即(x1x2)(x1x24)0.解得0x1x24，即A，B两点的横坐标之和小于4.(9分)(3)由题设知，f(0)f(1)f(1)，即22(a2a3)