初中培优竞赛含详细解析_第15讲_四边形

1、C/2D/171. （2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、四边形、正方形计算、 选择题）如图所示，正方形 ABCD外卜有一点P, P在BC外侧，并夹在平行线 AB与CD之间，若PA = v7, PB= v2, PC=需，贝y PD 的长度为（）分析：过P点作BC的平行线交AB的延长线于F,交DC的延长线于G,那么根据勾股定理则 有PG2 + CG2 = 5 , PF2 + FB2 = 2 , PG2 + DG2 = PD2 , PF2 + AF2=17 .通过两次作差，求 出 PD=2 v5.答案:A.技巧：转移，通过正方形找出中间量，由勾股定理列等式解题易错点：等量

2、之间转化时容易出错.2. （4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、四边形、长度计算、选择题）如图所示，在四边形ABCD中, AB = BC, / ABC = / CDA= 90 ,BE丄AD于E,四边形ABCD的面积为8，贝U BE的长为（）A. 2 B. 3 C./3 D.2解法一：分析：由 C点向 BE作垂线，垂足为 G,vZ CBG# ABG=90，/ CBG# BCG=90 . /-Z ABG= / BCG Z ABC = Z CGB= 90 , AB = BC,/A ABEA BCG 由题意知四边形 EGCD为矩形.设 BE的长为 x, CD为 y，则有（x

3、-y ）x +x y=8, /x =2解法二：分析：延长DC过B作BF丄DC于 F.然后利用三角形全等求证（同解法一）答案：D.技巧：作辅助线构造全等.3. （2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、四边形、选择题）某台球桌为如图所示的长方形 ABCD将一台球从A45角击出，恰好经过 5次撞到B处，则AB: BC的值为（）A. 2B.3C.2:5D.3:5分析：由题意可作图，如右图所示可得AB: BC= 2:5 .答案：C技巧：画图分析.4. （ 2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、多边形、填空题）从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边

4、形分成了 m个小三角形，若4m等于这个凸 n边形对角线条数的9，那么此 n边形的内角和为 .分析：由于m = n - 2，且凸n边形对角线条数为 n（n-3），则有n - 2=4 x7 ,解得n = 6或n = I （舍去），故n = 6.所以此n边形的内角和为（6 - 2） x 180 = 720答案：720 .技巧：直接利用三角形的边角相关公式就可解易错点：n为正整数.在求解过程中注意计算失误5. （ 3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、四边形、矩形、填空题）一个矩形各边的长都是正整数，而且它的面积的数量等于其周长的数量的2倍，这样的矩形有个.分析：设矩形的长和宽

5、分别是 x和y,矩形的面积（量数）是周长（量数）的 2倍，/ xy=4 （x+y）,即 xy-4x-4y=0 ./ xy-4x-4y+16=16 ，即（x-4 ） （y-4 ） =16.不妨设xw y,/ x-4=1 , y-4=16 或者 x-4=2 , y-4=8 或者 x-4=4 , y-4=4 ,/ x=5 时 y=20; x=6 时 y=12; x=8 时,y=8,（ 5, 20）或者（6, 12）或者（8, 8）. 故答案为：3.详解：3个.技巧：列不定方程求解易错点：容易漏解6. （ 2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、四边形、矩形、填空题）如图所示，矩

6、形 ABCD勺对角线相交于点 0, AE平分/ BAD交BC于E, / CAE = 15 ,那么/ B0E= .分析：/ AE 平分/ BAD,： / BAE = / EAD = 45 ./ AEB= 90 - / BAE = 45 AB=BE又/ CAE= 15 , CAD= 30 / 0AB= 60 又 T A0=B0 AOB为正三角形， AB = B0= BE,B0E = / BE0又/ CBD= / CAD= 30 / B0E = / BE0 = 180 -3 = 75 2详解： 75 技巧：根据矩形的对角线相等且互相平分和已知角的度数，可方便解题 易错点：在解题过程中，注意计算过程中

7、不应该的错误三、解答题7、（ 3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、四边形）如图所示，在平行四边形 ABCD中，BE丄AD, BF丄CD,垂足为E, F,A BEF的垂心为H.若DG丄BC,垂足为 G,求证：BH = GF.分析：由于H是厶BEF的垂心，故连接 HB HE HF之后分别与各边垂直，由此可以得到几条边的平行关系，通过证明四边形HFGB是平行四边形就可以得出结论。详解：连结HF.因为日是厶BEF的垂心，所以EH丄BF,又因为BF丄CD，所以EH/DF .而FH丄BE,BE丄AD,所以ED/HF.所以四边形 EDFH是平行四边形，所以 HF/（ ED/

8、BG,所以四边形HFGB是平行四边形，所以 BH = GF.技巧：掌握平行四边形的判定方法和性质是解决本题的关键所在。易错点：在判定平行四边形的时候容易出现步骤不完整等问题。8、（ 3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、四边形）如图所示，在平行四边形 ABCD中，AB = 2, BC= 23,AC= 4，过AC的中点0作EF丄AC, 交AD于E,交BC于F,求EF的长.分析：通过AA BC的三边关系可以得出三角形 ABC为直角三角形，且一个锐角为30,进而得出四边形ABCD为矩形，且四边形 AFCE为菱形，再来求它的对角线EF的长就容易了。详解：因为AB= 2,

9、BC= 2 v3, AC= 4,所以AB2+BC2 = AC2,由此可知厶 AB是直角三角形,四边形ABCD必为矩形.连结AF, CE.因为EF丄AC所以四边形AFCE为菱形，又因为在RtAABC中，/ ACB= 30 ,所以/ ECF= 2 / ACB = 60,所以 EF = AE = CF = AF = 2BF,所以 EF= |bc= 4 v3.技巧：通过三边关系证明三角形为直角三角形的技巧,和利用菱形的性质求对角线技巧都是本题中的关键。易错点：在直角三角形和菱形的判定过程中容易混淆概念、言语不清。9、（ 5、6）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、四边形）如图

10、所示，四边形 EFGH是正方形ABCD勺内接四边形，/ BEG与/ CFH都是锐角.已知EG =3,FH= 4，四边形EFG啲面积为5，求正方形 ABCD勺面积。分析：可以将四边形 EFGH和正方形ABCD分割成对称性的小直角三角形，通过其面积之间及边长之间的等量关系，求出正方形的边长即可得出其面积详解：如下图所示，在正方形 ABCD中，过E, F, G, H分别作对边的垂线，得矩形 PQRT设ABCD勺边长为 a, PQ= b, QR= c.由勾股定理得b = V32 - a2, c = V42-a 2.由 SA AEH = SATEH , SA BEF = SA PEF,SA CFG = SAQFG, SA DGH = SA RGH