离散型随机变量联合分布列和边际分布列

1、第三章 多维随机变量及其分布,一、多维随机变量及其联合分布列,二、边际分布（边缘分布）列,三、条件分布列,四、小结,第一节 离散型随机变量联合分布和边际分布,一、多维随机变量及其联合分布列,1.定义,实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量,二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W,说明,若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量,

2、2、二维离散型随机变量,2.1. 定义,2.2. 二维离散型随机变量的联合分布列,注,二维随机变量 ( X,Y ) 的联合分布列也可表示为,2.3.联合分布的性质,二、边际（边缘）分布列,1,x1 xi,联合分布列,及边缘分布列,1) 把三个相同的球等可能地放入 1, 2, 3 号盒子中, 记 X , Y 分别为落入 1 号盒 与 2 号盒的 球数，求 ( X , Y ) 的联合 分布律与边缘分布律，即填下表,例1,2) 把 3 个红球和 3 个白球等可能地放入 1, 2, 3 号盒中, 每盒可容球无限, 记 X 与Y 分别为落入 1 号盒的白球数与红球数. 求(X ,Y ) 的联合分布律和边

3、缘分布律，即再填上表,通过这两张表你 能得到什么结论,解 (1) 本题中,其联合分布与边缘分布如下表所示,0,pi,1,p j,见下表,解 (2,pi,1,p j,1) 与(2) 有相同的边缘分布, 但它们的联合分布却不同,联合分布可以唯一地确定边缘分布,边缘分布却不能唯一确定联合分布,例2 某校新选出的学生会 6 名女委员, 文、 理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机 指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分 别为候选人中来自文、理科的人数,解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1和0 , 1 , 2,求(X, Y) 的联合分布律和边缘分布律,由乘法公式,或由古典概型,相

4、仿有,故联合分布律与边缘分布律为,0 1,0 1 2,3/15 6/15 1/15,3/15 2/15 0,pi,p j,1/3,2/3,1,6/15 8/15 1/15,解,且由乘法公式得,例3,X, Y ) 所取的可能值是,解,抽取两支都是绿笔,抽取一支绿笔,一支红 笔,例4 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色 圆珠笔的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别 表示抽出的蓝笔数和红笔数,求 ( X, Y ) 的分布律,故所求分布律为,例5 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X,

5、Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数,X, Y ) 的可能取值为,解,故 ( X , Y ) 的分布律为,例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续取两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律,解,1）有放回摸球情况,PX=0, Y=0,X,Y)的取值有如下四种情况：(0,0), (0,1), (1,0), (1,1,PX=0PY=0,3/53/5=9/25,PX=0, Y=1=PX=0PY=1,3/52/5=6/25,PX=1, Y=0=PX=

6、1PY=0,2/53/5=6/25,PX=1, Y=1=PX=1PY=1,2/52/5=4/25,例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律,所以有放回摸球情况下， (X,Y)的分布律与边缘分布律为,例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律,解,2）不放回摸球情况,PX=0, Y=0,X,Y)的取值有如下四种情况：(0,

7、0), (0,1), (1,0), (1,1,PX=0PY=0|X=0,3/52/4=3/10,PX=0, Y=1=PX=0PY=1|X=0,3/52/4=3/10,PX=1, Y=0=PX=1PY=0|X=1,2/53/4=3/10,PX=1, Y=1=PX=1PY=1|X=1,2/51/4=1/10,例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律,所以不放回摸球情况下， (X,Y)的分布律与边缘分布律为,由上例，在有放回摸球与不放回摸球两种情况下， (X,Y

8、)的边缘分布律完全相同，但(X,Y)的分布律却不相同，这表明(X,Y)的分布律不仅反映了X与Y两个分量的概率分布，而且反映了它们之间的关系。 说明：若两个分量的概率分布完全相同，但分量之间的关系却不相同，则它们的分布律也会不同,由条件概率公式,定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定 的 j,为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布列,若P(Y= yj )0, 则称,自然地引出如下定义,三、条件分布列,条件分布列具有分布列的以下特性,10 P( X= xi |Y= yj )0,同样对于固定的 i, 若P(X= xi)0, 则称,为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布列,即条件分布列也是分布列,例7 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击 到击中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标 所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次 数，试求 X 和 Y 的联合分布列以