2018高考真题(理)分类汇编直线与圆圆锥曲线(教师版)

1、2018高考真题分类汇编一一直线与圆、圆锥曲线1. （2018北京 理）在平面直角坐标系中，记 距离，当B, m变化时，d的最大值为（A） 1（C） 31.Cd为点P (cos , sin到直线xmy 2=0的)(B) 2(D) 42. （2018北京理）已知椭圆2 2 2XyxM :右务=1(a b 0)，双曲线N:：abm2-禺=1 若双曲线 n的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ;双曲线 N的离心率为 2. . 3 -1 23. （2018全国I理）设抛物线 C: y2=4x的焦点为F,过点（, 0）且斜率为-的直线与C33交

2、于M, N两点，贝U FM FN =（C.3. D4. （2018全国I理）已知双曲线 C:-y2=1,O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、2若厶OMN为直角三角形，则|MN|=（）C. 2 3x4. B2 2X y5. （2018全国II理）双曲线-2（a 0,b 0）的离心率为3，则其渐近线方程为（a b5.A6. （2018全国II理）已知Fi ,2 2X yF2是椭圆C：孑1（a b 0）的左、右焦点，左顶点，点P在过A且斜率为卡的直线上，吋2为等腰三角形,2击2卩=120，则 C的离心率为（）21A.-B .321C. 一36. D7. （2018

3、全国III理）直线x y 0分别与x轴，y轴交于A , B两点，点P在圆x -2 2 - y2 =2上，贝U ABP面积的取值范围是（）A. 2,61B . 1.4, 81C |2 , 3 2D . 2 2 , 3 2 7.Ab2=1 ( a 0 , b 0 )的左，右焦点,2小 x8. （2018全国III理）设F1 , F2是双曲线C：二 a坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为 P .若PF1二6|OP，则C的离心率为C.38.C2 29. (2018江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 笃-笃=1(a 0,b . 0)的右焦点a bF(c,0)到一条渐近线的距离为fc，则其

4、离心率的值是.9.210. (2018江苏)在平面直角坐标系 xOy中，A为直线l:y =2x上在第一象限内的点，B(5,0),T t以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D .若AB CD =0，则点A的横坐标为.10.3211. (2018浙江)双曲线 -y.X 2 12. (2018浙江)已知点 P(0, 1)，椭圆 +y=m(m1)上两点A, B满足AP =2 PB，则当 m=时，点B横坐标的绝对值最大.12.5=1的焦点坐标是()3A. (- 2 , 0), ( .2 , 0)B. (-2, 0), (2, 0)C. (0, - 2), (0,2)D. (0, -2), (0, 2)1

5、1.B13. （2018天津 理）已知双曲线2y2 =1(a0, b 0)的离心率为b2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A, B两点.设A, B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d,和d2，且 a d2 =6 ,则双曲线的方程为（)2 22 22 22 2x y 彳(A)1x y .(B)1x y (C)1x y .(D)14 12124399313. C2214. （2018上海）双曲线一一-y =1的渐近线方程为 14. y= 工215. （2018上海）设P是椭圆;I=1上的动点，贝U P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A . 2：打B . 2 .；C . 2 口D . 4.

6、 :15. C16. （2018北京 理）（本小题满分14分） 已知抛物线C: y2 =2px经过点P （1 , 2）.过点Q （0, 1）的直线I与抛物线C有两个不同的交点A, B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N .(1) 求直线I的斜率的取值范围；(2) 设o为原点，Q認SO, 晶二jQO，求证：丄二 为定值.九 R216. 【解析】(1)因为抛物线y =2px经过点P (1, 2), 所以4=2p,解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线I的斜率存在且不为 0,设直线I的方程为y=kx+1 (k工0.-2由 y X 得 k2x2(2k-4)x 1=0 .y =k

7、x 1依题意厶=(2k-4)2-4 k2 1 0，解得 k0 或 0k1 .又PA, PB与y轴相交，故直线I不过点(1, -2).从而k乂3.所以直线I斜率的取值范围是(-s,-3)U( -3, 0)U( 0, 1).(2)设 A(X1, y1), B (x2, y2)由()知 X|+x2 = 2k 4k2X1X2直线PA的方程为y 一2二匚2 (x -1). X -1令x=0,得点M的纵坐标为yM =二也-2 = kX1 12 .同理得点N的纵坐标为yN二一1 2 .uuir uuu uuu , uuu由 QM= QO , QN =QO 得 =1-y”，-1所以1 !1 L- 1 - y”

8、1 - yNX1 -1. X2 -1(k -1)X1(k -1)X2k -12x1X2 (X1 X2)2 2k - 42 2k k1k2=2 .17. (2018全国I理)(本小题满分12分)2设椭圆C :-y2 =1的右焦点为F，过F的直线|与c交于代B两点，点M的坐标为2(2,0).(1 )当I与x轴垂直时，求直线 AM的方程；A的坐标为(1,(2)设O为坐标原点，证明： OMA = OMB17. 【解析】(1)由已知得F(1,0) , |的方程为x=1.由已知可得，点(1,2).所以am的方程为y x - 2或y 2x-、22 2 2(2)当I与x轴重合时， OMA =/OMB =0 .

9、当I与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以 OMA =/OMB .当I与x轴不重合也不垂直时，设I的方程为y =k(x-1)(k =0)，A(%, y,),B(x2,y2),则为：、2,x22，直线MA，MB的斜率之和为kMA kMB = 亠 捲 一2x2 -2由 二kx1- k, y kx2- k 得 kMAkMB二2曲23k(x1xg)4k .任-2)(X2 -2)2将 y =k(x -1)代入 y2 -1 得(2k2 1)x2 -4k2x 2k2 -2=0.2所以,x-ix2 二4k22k21,X1 X2 2k2 22k2 1则 2kx-|x2 -3k(xx2) 4k =3334k

10、4k -12k 8k 4k2k2 十 1从而kMA - kMB =0，故MA, MB的倾斜角互补，所以 OMA =/OMB .综上，.OMA =/OMB .18. (2018全国II理)(本小题满分12分)2设抛物线C: y =4x的焦点为F，过F且斜率为k(k 0)的直线l与C交于a， B两点,| AB | =8 .(1 )求丨的方程；(2)求过点A , B且与C的准线相切的圆的方程.18.解析】(1)由题意得F(1,0) , i的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x)月仇，y?),丄y =k(x -1),2 22222k2 4由 2得 k2x2-(2k24)xk2=0 . =16k16

11、0 ,故x1x 一厂y = 4xk4k2 +4所以 | AB |=| AF | | BF (x1 1) (X2 1)k24k2 +4由题设知2 4 =8，解得k=T (舍去)，k=1 因此I的方程为y=x-1.k2（2）由（1 ）得AB的中点坐标为（3, 2），所以AB的垂直平分线方程为 y - 2 = -（X - 3）,即y - -x.设所求圆的圆心坐标为（x0,y0），则或X0 二11,y0 = -6.y0 = -xo 5,(Xo 1)2 川7 1)2 16.解得 yo =22因此所求圆的方程为 (x-3)2 (y-2)2 =16或(x_11)2 (y 6)2 =144.19. （2018

12、全国III理）（本小题满分12分）2 2已知斜率为k的直线I与椭圆C: -1交于A , B两点，线段AB的中点为43M 1, m m 0 .1（1）证明：k ：(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且 乍P +F? +F5 = 0 证明：岸A , FP , 7B成等差数列，并求该数列的公差. x12 y12x22 y2219【解析】(1)设 A(Xi,yJ,B(X2, y2)，则1=1,2-1.4343两式相减，并由上匸上二k得生空乜眨0.X x?43由题设知宁=1,卷j,3 31是k.，由题设得0 ： m ，故k .4m22(2)由题意得 f(1,o)，设 P(X3,y3)，则(xa-1,y

13、a) (% -1,yJ 化 -1小)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(为x2) =1,y3- -(% *y2)-2m：0.又点3 33P在C上，所以m ，从而P(1,) , | FP |.4 22Xg|FA |=仏-1)2r2 = xn3(4) = 2今.同理 |FB i= 2 _ 2所以I |FB|=4 一如 X2)=3.故2|FPF|FA| |FB|，即| FA|,| FP|,| FB|成等差数列设该数列的公差为 d,|= 1 J(xb0）的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为a b坐标为（b,0），且FB AB =6返.（1 ）求椭圆的方程;（2）设直线I: y=kx（k

14、0）与椭圆在第一象限的交点为P,且I与直线AB交于点Q.PQAQ =&2s“ ZAOQ（O为原点），求k的值.4C2522220.【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知有厂9，又由a =b心可得2a=3b .由已知可得,FB =a , AB =寸2b，由 FB| |AB=6、一 2，可得 ab=6，从而 a=3, b=2 .2 2所以，椭圆的方程为 -y 194（n ）设点 P的坐标为（Xi, yi），点 Q的坐标为（X2, y2）.由已知有yiy20，故PQ sin AOQ 二 yiy?.又因为 AQsinyOAB，而/OAB= n，故 AQ2y . 由；Q 二乎sin .AOQ，可得 5

15、y1=9y2.=.易知直线AB的方程为x+y-=0，由方9k24y = kx,由方程组乂 _消去x,可得yh+T=1，y =kx,2k程组lx+y2=0消去X，可得2=由 5yi=9y2，可得 5 ( k+1) = 3 9k24，两边平111111方，整理得56k 50k亠11二0,解得k ，或k所以，k的值为；或就2282 28直线I与椭圆C交于A,B两点.若 OAB的面积为乙6，求直线I的方程.721. 【解析】（1）因为椭圆C的焦点为F . 3,0）,F2（.3,0）,2 2可设椭圆C的方程为 笃再=1（a b 0）.又点在椭圆C上,a b2所以a2 4b22 , 2 a -b =3,，

16、解得a2二4,因此，椭圆b2=1,2C的方程为y2 =1 .4因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为X2 y2 =3 .(2设直线 l 与圆 O 相切于 P(x0,y0)(x0 0, y0 0)，则 x/y。2 =3 ,所以直线I的方程为Xx3y 0 (x -x) y，即 y 0 x .由yoyoyo-2X 2 y =1,4yxyo3消去y，得(4xo2 y2)x2 24xx 36 4y。2 =0 . (*) 因为直线I与椭圆C有且只有一个公共点, 所以,:.=(_24x)2 -4(4x2 yo2)(36 -4y。2) =48yo2(x。2 -2) =0 .因为x），yo 0，所以x = 2,

17、 yo =1 .因此，点P的坐标为（ 2,1）.因为三角形OAB的面积为等，所以珅竽，从而AB =芋.设 A(Xi,yJ,B(X2,y2),由(* )得 Xi,2 =24xo 二 48 yo (Xo -2)2 22(4xoyo )2 2 2222Xo、48yo (xo 2)所以 AB =(x -X2)(% -y2)=(1 -r)p - 亍.yo(4x)+yo )2因为 Xo2-yo2=3，所以 AB2爭二32，即2xo4-45x/ loo =o ,(Xo +1)49解得 沟2 =5(沟2 = 2o舍去)，则y2 =丄，因此P的坐标为(亠o,-.2 2 2 2综上，直线I的方程为y =T5x 3

18、2 .（第18题22. （2018浙江）（本小题15分）A, B满如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线 C: y2=4x上存在不同的两点PB的中点均在C 上.（1）设AB中点为M，证明:PM垂直于y轴;（2）若P是半椭圆2x2+ y =1（x 2 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点F( 2,0),直线l：x=t，曲线r：y整理得 3x2- 20x+12=0,解得：x=8x( 0x W, y%). I与x轴交于点A、与r交于点B. P、Q分别是曲线 r与线段AB上的动点.(1 )用t表示点B到点F的距离；(2) 设t=3, |FQ|=2，线段OQ的中点在直线 FP上，求 AQP的面积；(3) 设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形 FPEQ,使得点E在r上？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由.23.【解析】(1)方法一：由题意可知：设B (t, 2*2t),则|BF|=J(t_2护住t=t+2 ,|BF|=t+=t+2, |BF|=t+2 ; |BF|=t+2 ;方法二：由题意可知：设B (t , 2 It