数学建模～问题前期分析

1、数学建模 -问题前期分析,数学模型(E.A.Bendar 定义)： 关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构,数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁,怎样构架这座桥梁,现 实 世 界,数 学 世 界,建立数学模型,推理演绎求解,翻译为实际解答,实际解答：如对现实对象的分析、预报、 决策、控制等结果,始于现实世界并终于现实世界,求解数学模型,实际问题分析,建立数学模型,提交论文与报告,模型与模型解的分析及检验,数学建模的各阶段工作,问题的前期分析 包括： 明确问题、分析条件、分析数据等,为什么问题前期分析至关重要,数学建模问题往往含混不清,可能的原因有,提出问题的人未能清楚地表述问题

2、,不同领域的人交流出现故障,各领域的应用者提出问题时,未给出恰当 的条件,对问题进行充分的前期分析以前,过早着手解决问题,往往会陷入一些意想不到的陷阱,或者偏离解决问题的方向,未能准确理解问题,不应过早进入细节,掌握问题分析方法,数学建模过程是一种创新过程，在思考方法和思维方式有自身特点,数学创新思维,等等,类比思维,归纳思维,逆向思维,发散思维,猜测思维,一、问题分析的方法,掌握几类方法：问题解决法、思想表达法、创造发明法,方法的共同特点： 不轻易否定别人的意见， 怀疑一般常识， 努力发现别人尚未察觉的事物等,几种（个体和集体的）创造性思维方法,对于创造能力的培养不可或缺,一、打开思路的方法

3、,面对新问题，应尽量打开自己的思路,发散性思维和猜测思维是创造性思维方式的重要组成部分,1. 不要轻易沿一条思路深入，不要轻易做出结论,2. 尽量多一些想法，多一些猜测,思考、思考、再思考,帮助展开思路的方法,关键词联想法,提问题法,1.提问题法 借助于一系列问题来展开思路,面临难题, 束手无策时通过提出一系列问题来导出一些想法或一个好的方案,如,l) 这个问题和什么问题相类似,2) 假如变动问题的某些条件将会怎样,4) 重新组合又会怎样,3) 将问题分解成若干部分再考虑会怎样,为进一步打开思路可提以下问题,5) 我们还可以做什么工作,6)有无需要进一步完善的内容,7) 可否换一种数学工具来解

4、决此问题,针对问题和初始方案可以先设计出类似的 问题清单，然后反复展开,例1 穿越公路问题,在一个由交通灯控制车辆通行的十字路口，问绿灯亮的15秒期间有多少辆车通过交通灯下,这个问题太笼统含混，因为红绿灯控制交通 的方式可能非常复杂，有哪些问题值得我们 去思考的呢,1. 交通灯左转弯，右转弯如何执行,当车辆较少时可能没有多少要通过路口 的车辆,3. 车辆较多时可能等在后排的司机在下一 一次红灯亮起的时候仍然没有通过路口,4. 有多少条车道,为了明确问题，这里研究红灯时有较长车队等候经过口。并作如下假设,1、十字路口没有阻塞。 2、所有车辆笔直穿越路口。 3、所有车长5米，从禁止状况启动。 4、

5、每辆车间距2米,问题分析：城市里大多数车以15米/秒的速度行驶，假定所有车从禁止匀加速到15米/秒。而大部分汽车厂商宣称可以在10秒内由禁止加速到25米/秒左右，则加速度为2.5米/秒，保守取一班车加速度为2米/秒。则一辆汽车通过路口的关系式为,2,2,接下来考虑整个车队：假定前一辆车启动后，下一辆车延迟1秒启动。则可以得到各个车辆在各个时间的行驶状况。例如五辆车行驶4秒,一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种措施促进销售，比如不惜血本大做广告等等.他们都希望对这种新产品的推销速度做到心中有数,厂家用于组织生产，商家便于安排进货,例2 电饭煲销售问题,怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭煲)

6、推销速度，并由此分析出一些有用的结果以指导生产,问题分析：产品刚出现时，人们对此一无所知，有部分人使用后感到很方便，向亲朋好友宣传。设 时刻已售出的电饭煲数量为 ，且每一售出的电饭煲在单位时间内平均吸引 个顾客，即满足微分方程,若已知 时， ，则其解为,若进一步分析 时， 显然与事实不符,问题分析：设需求量的上界为M，则尚未使用的人数为 ，销售速度与 和 的乘积成正比，比例系数为 ，则有,想一想 此问题与我们遇到的哪一个建模问题 相类似,分析 Logistic人口模型，t 时刻的人口数为,t0,改写为,数学分析,1. 若 r0，则S0，随着 ,则,2. 若 r0，讨论Logistic曲线特征,

7、N(t) 是单调上升函数,K是使得人口净增长率 r(K)=0 的人口数，可理解为该地区能容纳的人口上限,人口不会无限增长，存在一个转折时间点t0 ，过此点以后增长速度会减缓,1) 一般每户只需用12只电饭煲就足够,一个地区的需求量是有限的,电饭煲的销售情况类似于人口增长情况,可 利用类比方法建立模型,Logistic模型特点：初期高速增长，过一个特 定时间点后增长速度减缓，且有上界控制,对原问题的分析,2) 初期在广告之类推销作用下销售速度较快,商品趋于饱和时销售速度会减缓,记x(t)为t 时刻已售出的电饭煲总数,市场的饱和量(最大需求量)为M,利用Logistic模型,来描述电饭煲的销售速度

8、变化情况,实际情况与Logistic销售曲线十分吻合,思考 请考虑现实中哪些变量的变化可用 Logistic模型进行描述,现代化都市里大楼林立,这些拔地而起的摩天大楼安全性不容忽视,我们经常耳闻目睹大楼内发生意外情况,造成令人震惊的人员伤亡和财产损失. 大楼内居住人员的安全保障在于无论发生什么情况,都能使人员有组织,有秩序地进行疏散撤离,一座大楼的管委会想进行一次紧急疏散 人员的演习,例3 “地震”事件的反思,问题分析 演习之前需要考虑许多方面,如大楼内的设施、人员的分布情况、撤离路线的设计、撤离的步骤等等，这是一个较庞大的系统工程,应考虑将此问题分解成为若干个子问题，如,一个房间内人员的撤离

9、,一个通道的撤离,一层楼人员的撤离,最后，将各个子问题重新组合起来,上面的叙述太笼统，无法建立模型。因为我们不知道大楼面积有多大，楼层数和出口数为多少等等。但是一个熟练的建模人员善于简化那些看起来很复杂的问题，而且通常从较简单的情况入手所得到的结果有助于整个问题的解决,我们不如考虑一所学校的教学楼。其中一楼教室如下图所示,问题分析：先考虑一个房间内的疏散情形。人与人之间的距离为 米，人员疏散时的速度为 米/秒，第一个到达门口所用时间为 。则人链的长度为 米。整个撤离时间为,两间房子的疏散情况怎么样,仔细考虑觉得有些欠缺，即没有考虑不同房间人员在走廊上的冲突问题，为了避免混乱，规定走廊只能允许一

10、列队伍通过，在第一个房间人员疏散过程中第二个房间的人员需要等待，以此类推,第一条人链链尾到达门口所需时间,第二条人链链头到达第一间门口所需时间,所以当 时，第二个房间的人员需要等待,则两个房间全体人员疏散所需时间为,2.关键词联想法 一种有效的发散思维方式,主要步骤如下,1) 抓住问题或方案的关键词,不受任何约束地进行联想,2)把联想到的内容用关键词的方式登记在卡片上,进一步激发产生新的想法,进一步想出新的主意,3) 再把积攒的卡片相互搭配,形成解决问题 的初步思路与步骤,在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行.区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记

11、录其数据,以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘,记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞,则应,例4 飞行管理问题,请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数 学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算 (方向角误差不超过0.01度).要求飞机飞行方 向角调整的幅度尽量小.记录数据为： 试根据实际应用背景对你的模型进行评价 与推广,计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞.现假定条件如下：,对问题仔细阅读, 首先抓住题目中的关键词“管理”进行联想,抓住诸如“碰撞”、“调整”、“避免碰撞”、 “立即”、“判断”等等词语,联系解决问题的方

12、案,不加约束继续联想，再将关键词搭配起来,立即 判断,碰撞,条件,实时,算法,避免 碰撞,调整 方向角,实时,幅度尽量小,相对,距离,优化问题,优化算法,优化调整方案,问题的初步理解和想法,飞行管理问题是优化问题,在调整方向角的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及算法的实时性,二、整体把握问题的方法,有两种把握住问题的全貌的有效方法,1) 层次结构法,2) 问题分解法,有专著介绍,问题分解法是一种简单而有效的把握问题整体的方法,将问题分解为“三要素”的三个部分,问题分解三要素,初态,目标态,过程,觉察到的现在状态(目前“有什么”，如条件、数据等,觉察到的希望目标(想要什么、 希望达到什么等,

13、能在“初态”和“目标态”之间发生 作用的行动(能做什么,例5 常见数学题目模式,已知,求（证,解题,初态,目标态,过程,教师的主要教学目标,解决实际问题时，分析出问题的初态和 目标态很困难,未清晰地描述出问题的“初态”和“目标态” 之前，过早地进入解决问题的阶段，会条件不 清、目标不明,尽量拓展思路的基础上, 再进行充分分析 得到的问题分解结果,例6飞行管理问题,初态：现有飞机的飞行状态（数据）与碰撞条件,过程：建立碰撞的判别准则，优化管理方案及相应算法,目标态：实时调整，避免碰撞,气象观察站调整问题,某地区内有12个气象观察站（位置如图), 有10年各观察站的年降水量数据.为了节省 开支，想

14、要适当减少气象站,问题：减少哪些观察站可以使得到的降水量的信息量仍然足够大,如何利用熵的概念解决此问题，给出解决问 题的思路,1. 问题分析,首先找出问题中的关键词，进行联想,减少 站数,删除 原则,保持 信息量,各站 关系,降水 数据,足够大,衡量 指标,衡量 指标,熵,降水数据,2. 问题的分解,初态：12个气象站的年降水数据,无日或月的降水数据，也无地理、气候等其 它条件.,目标态：减少气象站数，并保持降水量足够大的信息量,过程：（将做的事情,1) 信息量的衡量（用熵,2) 给出删除气象站的条件及原则,3) 建立保持足够信息量的判别条件,解决问题的 惟一出发点,1) 确定各气象站的年降水

15、量,的概率分布，并计算各个气象站降水量的熵值,2) 分析判断各站年降水量(两两之间或多个变量间)是否存在相关关系(线性的或非线性的)，并据此保留其中熵值较大的气象站,随机变量,另一种方法：用聚类分析法进行聚类,3.解决问题的思路,可由降水数据分析各个气象站的相似性，如同为干旱、湿润地区等.,1) 设定一个阈值，保留所有熵值大于阈值 的气象站,2) 使保留气象站的信息量总和占原信息量 总和的一定比例,可考虑各种判别条件，如,3) 建立保持足够信息量的判别条件,注：阈值或比例值均需背景知识和经验来确定,仍保留降水量的信息量较大的站,三、问题前期分析,1. 条件及数据分析,设置好问题的目标态, 着手

16、工作还需要做 以下工作,1. 收集必要的资料和数据,2. 分析现有的数据和条件,使问题进一步 明确化,我国淡水资源有限.节约用水人人有责,洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣机已非常普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水漂洗脱水加水漂洗脱水加水漂洗脱水(称“加水漂洗脱水”为运行一轮,例7 节水洗衣机问题,请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少.选用合理的数据进行运算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果出评价,衣服的洗净效果指标(包括污物和残留洗涤剂,不同质地衣物的脱水率或

17、衣物的含水量C,洗衣机的最高水位H、最低水位L,各类污物(泥土、油腻等)和洗涤剂在水中的溶解特性,怎样收集数据和资料,分析：题目中没有一个数据,但问题却需要比 较多的数据及条件,如,可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、 通过试验来得到,收集数据应列入工作计划，并注意,1. 向有关人员调查情况应事先设计好问题,2. 事先确定所需资料清单、资料来源、收集方式,有条理的收集计划可以为后期的工作 创造良好的条件,对收集到的或者现有的资料和数据要做 仔细分析，使问题进一步明确,为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度,一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下

18、，追求最大产量或最佳效益,例3.3.3 最优捕鱼策略,考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分 4个年龄组，称1龄鱼，4龄鱼,各年龄组每 条鱼的平均重量（单位：g）分别为5.07、11.55、17.86、22.99，各个年龄组的鱼的自然死亡率均为0.8(1/年),这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105个,3 龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为,1.221011/（1.221011+n,渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期 前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕 捞能力(如渔船数、下网次数等)固定不变,这 时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正 比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用 13mm 网眼的拉网,这种网只能捕3龄鱼和4龄 鱼，其两个强度系数之比为0.42 : 1.渔业上称 这种方式为固定努力捕捞,建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每 年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变), 并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总 重量,渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏.已知承包时