微积分数列的极限

1、第二节 数列的极限,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1、割圆术,播放,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 边形的面积,2、截丈问题,一尺之棰，日截其半，万世不竭,二、数列的定义,例如,注意,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整数下标函数,三、数列的极限,2,0,数列(1)(2)(3)有一个共性,1,当n无限增大时, 与常数 a无限接近,尽管接近的方式不同,数列极限的描述性定义,或,我们研究数列就是研究它在自变量 的动态变化过程中， 能否渐趋稳定，或是说，能否无限的接近某一定数 ？如果能， 就叫 的极限

2、,问题,无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 给出数列极限的精确的定义呢,能否给出数列（3）收敛的描述性的定义,记作,或,此时称该数列（3）的极限为1,讨论数列（3,如果数列没有极限,就说数列是发散的,注意,几何解释,其中,在平面上,数列极限的定义未给出求极限的方法,例1,证,所以,注意,例2,证,所以,说明: 常数列的极限等于同一常数,小结,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N,例3,证,例4,证,四、数列极限的性质,1.有界性,例如,有界,无界,定理1 收敛的数列必定有界,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件,推论 无界数列必定发散,2.唯一性

3、,定理2 每个收敛的数列只有一个极限,证,由定义,故收敛数列极限唯一,例5,证,由定义,区间长度为1,不可能同时位于长度为1的区间内,反证法,证,对,取,推论,若数列从某项起,用反证法证明,3.保号性,数列,的任一子数列,4.子列的极限,证: 设数列,是数列,的任一子数列,若,则,当,时, 有,现取正整数 K , 使,于是当,时, 有,从而有,由此证明,证: 数列,小结,重点:数列极限的定义，收敛数列的性质,难点:数列极限定义的理解，证明数列的极限,主要内容：数列及数列极限的定义,几何意义,收敛数列的性质:有界性、唯一性、保号性、子数列极限,思考题,1. 如何判断极限不存在,方法1. 找一个趋

4、于的子数列,方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列,方法3,本次课到此结束,再见,1、割圆术,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,刘徽,一、概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1、割圆术,刘徽,一、概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1、割圆术,刘徽,一、概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1、割圆术,刘徽,一、概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1、割圆术,刘徽,一、概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1、割圆术,刘徽,一、概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失