高考数学大二轮总复习 增分策略 专题四 数列 推理与证明 第2讲 数列的求和问题

1、第2讲 数列的求和问题,专题四数列、推理与证明,高考真题体验,热点分类突破,高考押题精练,栏目索引,高考真题体验,1,2,1.(2015福建)在等差数列an中，a24，a4a715. (1)求数列an的通项公式； 解设等差数列an的公差为d,所以ana1(n1)dn2,1,2,2)设bn n，求b1b2b3b10的值. 解由(1)可得bn2nn， 所以b1b2b3b10 (21)(222)(233)(21010) (22223210)(12310,1,2,2.(2014课标全国)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根. (1)求an的通项公式； 解方程x25x60的两根为2

2、,3， 由题意得a22，a43. 设数列an的公差为d，则a4a22d,1,2,1,2,两式相减得,考情考向分析,高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想,热点一分组转化求和,热点分类突破,有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并,例1等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列,1)求数列an的通项公式； 解当a13时，不合题意； 当a12时，当且仅当a

3、26，a318时，符合题意； 当a110时，不合题意. 因此a12，a26，a318，所以公比q3. 故an23n1 (nN*,2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn. 解因为bnan(1)nln an 23n1(1)nln(23n1) 23n1(1)nln 2(n1)ln 3 23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3， 所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3,当n为偶数时,当n为奇数时,思维升华,在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要

4、分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式,跟踪演练1在等差数列an中，a3a4a584，a973. (1)求数列an的通项公式； 解因为an是一个等差数列， 所以a3a4a53a484，所以a428. 设数列an的公差为d， 则5da9a4732845，故d9. 由a4a13d得28a139，即a11， 所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*,2)对任意mN*，将数列an中落入区间(9m,92m) 内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.

5、解对mN*，若9man92m，则9m89n92m8， 因此9m11n92m1， 故得bm92m19m1. 于是Smb1b2b3bm (99392m1)(199m1,热点二错位相减法求和,错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列,例2已知数列an的前n项和为Sn，且有a12,3Sn5anan13Sn1(n2). (1)求数列an的通项公式； 解3Sn3Sn15anan1(n2,又a12,2)若bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Tn. 解bn(2n1)22n， Tn121320521(2n1)22n

6、,Tn12(2n3)22n,思维升华,1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列； (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数. (3)为保证结果正确，可对得到的和取n1,2进行验证,跟踪演练2设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn12Snn1(nN*)， (1)求数列an的通项公式； 解Sn12Snn1，当n2时，Sn2Sn1n， an12an1，an112(an1,又S22S12，a1S11,当n1时，式也成立,an12n，即an2n1(nN*,解an2n1,热点三裂项相消法求和,1

7、)求Sn的表达式,得2SnSn1SnSn10，由于Sn0,思维升华,1)裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式，使之符合裂项相消的条件,思维升华,2)常化的裂项公式,99,解析a11，an1ann1， a2a12，a3a23，anan1n,高考押题精练,1,2,押题依据数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是考试大纲中明确提出的知识点，年年在考,年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循,1,2,答案

8、1,1,2,2.已知数列an的前n项和Sn满足Sna(Snan1)(a为常数，且a0)，且4a3是a1与2a2的等差中项. (1)求an的通项公式,押题依据错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用an，Sn的关系求an，也是高考出题的常见形式,1,2,解(1)当n1时，S1a(S1a11)， 所以a1a， 当n2时，Sna(Snan1)， Sn1a(Sn1an11)，,故an是首项a1a，公比等于a的等比数列， 所以anaan1an. 故a2a2，a3a3,1,2,由4a3是a1与2a2的等差中项，可得8a3a12a2， 即8a3a2a2， 因为a0，整理得8a22a10， 即(2a1)(4a1)0,1,