《数学史教程》PPT课件.ppt

1、数学史教程,主 讲 人 孙利,李文林,第八章 代数学的新生-01,形如 (n5)的代数方程能否通过只对方程的系数作加减,乘除和求正整数次方根等运算的公式得到,意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔丹(15011576年)问到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔丹公式(或称卡当公式)。 一般的四次方程被意大利的费拉里(15221560年)解出,拉格朗日在代数方程解法中有历史性贡献在论文“关于方程的代数解法的思考” (Rflexions sur le resolution algbrique desequations，全集， pp 2

2、05421)中，把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因三次方程有一个二次辅助方程，其解为三次方程根的函数，在根的置换下只有两个值；四次方程的辅助方程的解则在根的置换下只有三个不同值，因而辅助方程为三次方程拉格朗日称辅助方程的解为原方程根的预解函数(是有理函数)他继续寻找5次方程的预解函数，希望这个函数是低于5次的方程的解，但没有成功尽管如此，拉格朗日的想法已蕴含着置换群概念，而且使预解(有理)函数值不变的置换构成子群，子群的阶是原置换群阶的因子因而拉格朗日是群论的先驱他的思想为后来的NH阿贝尔(Abel)和 E伽罗瓦(Galo

3、is)采用并发展，终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题,阿贝尔奖，2001年挪威政府宣布创设阿贝尔奖。以纪念他诞生200周年。对数学领域中的杰出工作授以阿贝尔奖。奖金为600万挪威克朗，现在约合80万美元,阿贝尔关于椭圆函数的研究,椭圆函数论成为19世纪数学研究中最有成效的研究课题,阿贝尔的那篇论文关于非常广泛的一类超越函数的一般性质的论文是数学史上重要的工作,挪威天才数学家 Niels Henrik Abel (18021829,阿贝尔试图解决困扰了数学界几百年的五次方程问题，不久便认为得到了答案。霍姆伯厄（阿贝尔的中学教师）将阿贝尔的研究手稿寄给丹麦当时最著名的数学家达

4、根。达根教授看不出阿贝尔的论证有甚么错误的地方，但他知道这个许多大数学家都解决不出的问题不会这么简单的解决出来，给了阿贝尔一些可贵的忠告，希望他再仔细演算自己的推导过程。就在同时，阿贝尔也发现了自己推理中的缺陷。这次失败给他一个非常有益的打击，把他推上了正确的途径，使他怀疑一个代数解是否可能。十九岁时他终于证明了五次方程不可解,1822年6月，阿贝尔靠着霍姆伯厄和其他教授们的帮助，在克里斯蒂安尼亚大学念完了必须的课程，那时大学和城里人人都知道他是一个了不起的数学天才。可他的父亲已于两年前去世，家里一贫如洗，没钱继续从事数学研究。他的老师和朋友们也很穷，无法再拿出更多的钱资助他去当时世界数学的中

5、心巴黎深造,1823年夏，教天文学的拉斯穆辛教授给阿贝尔一笔钱去哥本哈根见达根，希望他能在外面见识和扩大眼界。从丹麦回来后阿贝尔重新考虑一元五次方程解的问题，总算正确解决了这个几百年来的难题：即五次方程不存在代数解。后来数学上把这个结果称为阿贝尔-鲁芬尼定理。阿贝尔认为这结果很重要，便自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论文。因为贫穷，为了减少印刷费，他把结果紧缩成只有六页的小册子。 阿贝尔满怀信心地把这小册子寄给外国的数学家，包括德国被称为数学王子的高斯，希望能得到一些反应。可惜文章太简洁了，没有人能看懂。高斯收到这小册子时觉得不可能用这么短的篇幅证明这个世界著名的问题-连他还没法子解决的问题，于

6、是连拿起刀来裁开书页来看内容也懒得做，就把它扔在书堆里了,埃尔米特(1822-1901年)在评价阿贝尔时写到,他产生的丰富的思想可以使数学家忙碌500年,伽罗华 （variste Galois， 18111832,法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论奠定了基础,伽罗华通过改进数学大师拉格朗日的思想，即设法绕过拉氏预解式，但又从拉格朗日那里继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来的思想，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。 这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的

7、伽罗华域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗华群。伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时，这方程是根式可解的,1829年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。他在一封信中写道：“今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗华的工作报告但因病在家，我很遗憾未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会议，讨论已指明的议题。”然而，第二周当柯西向科学院宣读他

8、自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作，这是一个非常微妙的“事故,1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。就这样，伽罗华递交的两次数学论文都被遗失了,他的论文手稿过了十四年后，也就是1846年，才由法国数学家刘维尔领悟到这些演算中迸发出的天才思想，他花了几个月的时间试图解释它的意义。刘维尔最后将这些论文编辑发表在他的极有影响的纯粹与应用数学杂志上，并向数学界推荐。1870年法国数学家约当根据伽罗华的思想，写了论置换与代数方程一书，在这本

9、书里伽罗华的思想得到了进一步的阐述,伽罗华最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗华理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具-群论。它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。 伽罗华非常彻底地把全部代数方程可解性问题，转化或归结为置换群及其子群结构分析的问题。这是伽罗华工作中的第一个“突破”，他犹如划破黑夜长空的一颗瞬间即逝的流星，开创了置换群论的研究，确立了代数方程的可解性理论，即后来称为的“伽罗

10、华理论”，从而彻底解决了一般方程的根式解难题,1852年意大利数学家贝蒂(1823-1892)发表文章,全面介绍伽罗瓦理论. 法国数学家约当(1838-1922)在1870年(伽罗瓦已去世38年)第一次系统阐述伽罗瓦利用群的概念,把方程的特性归结为群的特性,从而得出五次和五次以上方程有根号解的充要条件,彻底解决了方程论中这个重要问题,刘维尔,1836年，刘维尔与斯图姆共同给出了关于代数方程虚根数目的柯西定理的证明；次年，他又用不同于阿贝尔的方法，解决了二元代数方程组的消元问题。这些都被JA塞雷(Serret)收入了他编写的高等代数教程(Cours dAlgbre superieure)第4版(

11、1877)，得以在法国的学校中广泛传播,为了发表伽罗瓦的著作，刘维尔从1843到1846年对其手稿进行了彻底的研究。在他为伽罗瓦的著作发表所写的导言中，对伽罗瓦的工作给予了高度评价。他还邀请包括塞雷在内的一些朋友，参加关于伽罗瓦工作的系列演讲。因此，刘维尔间接地推动了近世代数学和群论的发展,从1856年开始，刘维尔放弃了在其他方面几乎所有的数学研究，而把精力投入到数论领域。10年间，他在纯粹与应用数学杂志上发表了18篇系列注记和近200篇短篇注记，前者未加证明地给出了许多一般公式，为解析数论的形成奠定了基础，后者则个别地讨论了素数性质和整数表示为二次型的方法等特殊问题,法国数学家约当(1838

12、-1922)在1870年(伽罗瓦已去世38年)第一次系统阐述伽罗瓦利用群的概念,把方程的特性归结为群的特性,从而得出五次和五次以上方程有根号解的充要条件,彻底解决了方程论中这个重要问题,数学史教程,主 讲 人 孙利,李文林,第八章 代数学的新生-02,1750年克莱姆（Cramer,17021752）在他的线性代数分析导言（Introduction d lanalyse des lignes courbes algebriques）中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的Cramer克莱姆法则,1764年，Bezout把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含个未知量的个齐

13、次线性方程，Bezout证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。范德蒙德(A.T.Vandermonde,17351796)是第一个对行列式理论进行系统的阐述（即把行列式理论与线性方程组求解相分离）的人,1772年，拉普拉斯在对积分和世界体系的探讨中，证明了范德蒙德的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，用行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。1841年，德国数学家雅可比（C.G.Jacobi,18041851）总结并提出了行列式的最系统的理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西，他大大发展了行列式的理论。柯西于1812年给出了现代意

14、义下的行列式这个词，并且在1815年引入了把元素排成方阵并采用双重足标的记法，而1841年凯莱则引入了两条竖线，到此为止标准的行列式已经出现了,1815年柯西给出了行列式乘法： | | |=| |，其中| |、| |表示行列式，其中，并给出了行列式第一个系统的处理。1825年，舍尔克(H.F.Scherk，17981885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等,哈密顿与四元数,哈密顿（William RoWan Hamilton 1805-1865）英国数学家、物理学家。 14岁时学会了12种欧洲语言。13

15、岁对数学发生兴趣，只用几年时间，自学了A.-c.克莱罗、牛顿和P.-S.拉普拉斯等人的几部经典著作。 把形如t十xi十yj十zk的数叫“四元数,定义这样两个有序实数四元数组（a,b,c,d),(e,f,g,h)为相等的，当且仅当a=e,b=f,c=g,d=h.又用记号l,i,j,k分别表示（1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1).但是如何规定其运算法则呢？如果按照普通代数的四则运算法则进行，政府就难以建立起来。如果独辟蹊径，又该从何下手呢？哈密尔顿发现将四无数组的加法和乘法的定义如下：(a,b,c,d)+(e,f,g,h)=(a+e,b+f,c+g,d+h

16、);(a,b,c,d)*(e,f,g,h)=(ae-bf-cg-dh,af+be+ch-dg,ag+ce+df-bh,ah+bg+de-cf,格拉斯曼:德国数学家，语言学家 ，社会活动家 。 他建立了格拉斯曼代数和格拉斯曼流形的结构，以及在现代分析和微分几何中占据重要地位的外微分形式的计算，此外 ，还发展了一种“代数乘法”的运算，从而产生了现在称为多项式环的结构,格拉斯曼首次提出了多维欧几里得空间的系统理论1844年他在线性扩张论中引入欧几里得n维空间概念，研究了点、直线、平面和两点间的距离，并推广到n维空间，研究了抽象几何空间中的n阶曲线，发展了莱布尼兹把代表几何实体的符号按一定规则来处理的

17、代数思想 线性扩张论所论述的几何分析，是一个介于解析几何与综合几何的边缘领域几何分析的所有体系具有共同特点，它们的基本成分是有向线段的几何加法，并且借助于复数的平面几何描述在线性扩张论中格拉斯曼融合坐标、向量及复数等概念于n维空间，大胆地开拓了数学的新领域,向量空间”概念在以前数学家的论著中是不够明确的，格拉斯曼第一个明白地解释了“n维向量空间”的概念，他把n维向量空间的向量和与积用纯几何方法来定义，发展了通用的向量演算法 格拉斯曼与WR哈密顿(Hamilton)同时分别建立了超复数，格拉斯曼还引入了超复数的两类乘法(内积和外积)，从而建立了一种有n个分量的超复数几何学，所以他是复抽象几何学的

18、奠基人 由于坐标选择带有任意性，可能使问题复杂化人们希望把几何学和物理学上确实重要的部分，与由坐标的选择额外产生的部分分开，于是便产生了张量概念用张量来描述的物理定律和几何定理所得到的结果，在任何坐标系下都具有不变的形式,布尔代数,布尔-英国数学家和逻辑学家1947年逻辑的数学分析1854年思维规律研究.德国数学家施勒德(1841-1902年)逻辑代数讲义 布尔代数上的运算被称为AND(与)、OR(或)和NOT(非)。代数结构要是布尔代数，这些运算的行为就必须和两元素的布尔代数一样(这两个元素是TRUE(真)和FALSE(假)。亦称逻辑代数.布尔(Boole，G.)为研究思维规律(逻辑学)于1

19、847年提出的数学工具.布尔代数是指代数系统B=B，,它包含集合B连同在其上定义的两个二元运算+，和一个一元运算，布尔代数具有下列性质：对B中任意元素a，b，c，有: 1.a+b=b+a，ab=ba ； 2.a(b+c)=ab+ac，a+(bc)=(a+b)(a+c). 3.a+0=a，a1=a. 4.a+a=1，aa=0. 布尔代数也可简记为B=B，+，.在不致混淆的情况下，也将集合B称作布尔代数.布尔代数B的集合B称为布尔集，亦称布尔代数的论域或定义域，它是代数B所研究对象的全体.一般要求布尔集至少有两个不同的元素0和1，而且其元素对三种运算+， 都封闭，因此并非任何集合都能成为布尔集.在

20、有限集合的情形，布尔集的元素个数只能是2n，n=0，1，2，二元运算+称为布尔加法，布尔和，布尔并，布尔析取等;二元运算称为布尔乘法，布尔积，布尔交，布尔合取等;一元运算 称为布尔补，布尔否定，布尔代数的余运算等,布尔代数的运算符号也有别种记法，如，-;，?等.由于只含一个元的布尔代数实用价值不大，通常假定01，称0为布尔代数的零元素或最小元，称1为布尔代数的单位元素或最大元.布尔代数通常用亨廷顿公理系统来定义，但也有用比恩公理系统或具有0与1的有补分配格等来定义的,高斯 C.F. Gauss,17771855,德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。他有数学王子的美誉，并被誉为历史

21、上最伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名,历史贡献-高斯分布,18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。 在高斯19岁时，仅用没有刻度的尺子与圆规便构造出了正17边形（阿基米德与牛顿均未画出）。并为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充,三角形全等定理 高斯在计算的谷神星轨迹时总结了复数的应用，并且严格证明了每一个n阶的代数方程必有n

22、个复数解。在他的第一本著名的著作数论中，作出了二次互反律的证明，成为数论继续发展的重要基础。 在这部著作的第一章，导出了三角形全等定理的概念,经典著作 1799年：关于代数基本定理的博士论文 (Doktorarbeit uber den Fundamentalsatz der Algebra) 1801年：算术研究 (Disquisitiones Arithmeticae) 1809年：天体运动论 (Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium) 1827年：曲面的一般研究 (Disquisi

23、tiones generales circa superficies curvas) 1843-1844年：高等大地测量学理论（上） (Untersuchungen uber Gegenstande der Hoheren Geodasie, Teil 1) 1846-1847年：高等大地测量学理论（下） (Untersuchungen uber Gegenstande der Hoheren Geodasie, Teil 2,数学上的成就,高斯发明了最小二乘法原理。高斯的数论研究总结在算术研究（1801）中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典

24、着作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径,高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。 他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了着名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。1828年高斯出版了关于曲面的一般研究，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。 高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作还有地磁概念和论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律等,代数数论 高斯出版了名著算术研究，开辟了数论研究的新时

25、代，他自己立即成为第一流的数学家，-同余理论， 代数数的引进， 作为丢番图分析的指导思想的型的理论,算术研究是现代数论的开始,也确定了现代数论的研究方向;二次互反律-至少8个证明.确立复数的思想方法-几何解释 同余方程x2a(modp) p为素数,(a,p)=1,在代数数论方面作成了重要贡献;在1844-1847年见创立了理想数理论; 戴德金把库默尔的工作系统化并推广到一般的代数数,创立了现代代数数的理论,库默尔（Kummer，Ernst Eduard，1810-1893）德国数学家,二次互反律,凯莱和矩阵代数 凯莱(1821-1895年) 1858年矩阵论的研究报告中，对矩阵的性质和运算作了

26、系统的论述,定义了矩阵的相等,零矩阵,单位矩阵两矩阵的和数乘矩阵,两矩阵的积,矩阵的逆和共轭矩阵. 1878年弗罗伯尼给出哈密顿-凯莱定理的证明,正式定义了1854年由埃尔米特引入的正交矩阵,1879年给出矩阵的秩的概念,凯莱（18211895）Cayley，Arthur 英国纯粹数学的近代学派带头人,凯莱最主要的贡献是与J.J.西尔维斯特一起 ，创立了代数型的理论，共同奠定了关于代数不变量理论的基础。他是矩阵论的创立者,凯莱和矩阵代数 凯莱(1821-1895年) 1858年矩阵论的研究报告中，对矩阵的性质和运算作了系统的论述,定义了矩阵的相等,零矩阵,单位矩阵两矩阵的和数乘矩阵,两矩阵的积

27、,矩阵的逆和共轭矩阵,1878年弗罗伯尼给出哈密顿-凯莱定理的证明,正式定义了1854年由埃尔米特引入的正交矩阵,1879年给出矩阵的秩的概念,1854年和1878年，埃尔米特(Charles Hermite，18221901)、弗罗伯尼(F.G.Frobenius，18491917)分别给出了正交矩阵的定义：矩阵 是正交的，如果它等于它的转置矩阵 的逆，即。弗罗伯尼证明了正交矩阵总能写成 或者 的形式 ，其中 为对称矩阵， 为反对称矩阵，为单位矩阵。从柯西开始，人们就开始讨论相似矩阵和相似行列式。如果存在一个可逆 矩阵使得 ，则称矩阵与相似。相应地，人们也这样定义了相似矩阵。 1879年，弗罗伯尼利用行列式引进了矩阵的秩的概念。一个 矩阵的秩为r，当且仅当它至少有一个r阶子式的行列式不为零，而所有高于r阶的子式的行列式都为零。矩阵的秩有一系列性质：秩(AB)min(秩(A)，秩(B)，等等,凯莱、西尔维斯特建立了线性变换的理论。凯莱就是从两个相继线性变换的效应表示给出了矩阵的乘法定义。他们把一个矩阵看作一线性变换，从而利用线性变换处理了矩阵的相似、等价、合同等关系。后来线性变换又被应用于研究数论、射影几何，取得了巨大的成就,埃尔米特（Charles Hermite，18221901） 法国数学家。巴黎综合工科学校毕业。曾任法兰西学院、巴黎高等师范学校、巴黎大