导数在研究函数中的

1、1.3.1函数的单调性与导数,在（ ，0）和（0, ）上分别是减函数。 但在定义域上不是减函数,在（ ，1）上是减函数，在（1, ）上是增函数,在( ,)上是增函数,概念回顾,画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间,单调性的概念,对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时，都有 f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数,首页,2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数,对于函数yf(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的

2、单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间,y,1.在x1的左边函数图像的单调性如何,新课引入,首页,2.在x1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为 (锐角/钝角)?他的斜率有什么特征,3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论,4.在x1的右边时，同时回答上述问题,定理： 一般地，函数yf（x）在某个区间内可导： 如果恒有 f(x)0，则 f（x） 是增函数。 如果恒有 f(x)0，则f（x） 是减函数。 如果恒有 f(x)=0，则f（x） 是常数,例1.确定函数 在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数,解: (1)求函数的定义域 函数f (x)的定义域是( ,2）求函数的导数,3）令 以及 求

3、自变量x的取值范围，也即函数的单调区间,令2x40,解得x2 x(2,)时， 是增函数 令2x40,解得x2 x(-,2)时， 是减函数,确定函数 ，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数,解：函数f(x)的定义域是( ,令6x212x0,解得x2或x0 当x (2,)时，f(x)是增函数； 当x (，0)时，f(x)也是增函数 令6x212x0,解得,0x2 当x (0,2)时，f(x)是减函数,首页,知识点,定理： 一般地，函数yf（x）在某个区间内可导： 如果恒有 ，则 f(x)在是增函数。 如果恒有 ，则 f(x)是减函数。 如果恒有 ，则 f(x)是常数,步骤： （1）求函数的定义域

4、（2）求函数的导数 （3）令f(x)0以及f(x)0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间,f(x)0,f(x)0,f(x)0,练习:判断下列函数的单调性,1)f(x)=x3+3x; (2)f(x)=sinx-x,x(0,); (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; (4)f(x)=ex-x,1.3.2 函数的极值与导数,问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间 变化的函数 的图象,单调递增,单调递减,归纳: 函数 在点 处 ,在 的附近, 当 时,函数h(t)单调递增， ; 当 时,函数h(t)单调递减,探究,3）在点 附近, 的导数的符号有什么规律,1）函数 在点 的函数值与这些

5、点附近的 函数值有什么关系,2）函数 在点 的导数值是多少,图一,问题,探究,图一,极大值f(b,点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值,点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值,极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值,极小值f(a,思考：极大值一定大于极小值吗,1）如图是函数 的图象,试找出函数 的 极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点,2）如果把函数图象改为导函数 的图象,随堂练习,答,1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函 数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y

6、=f(x)的极小值点,2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x) 的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点,下面分两种情况讨论: （1）当 ，即x2,或x-2时,2）当 ，即-2 x2时,例4：求函数 的极值,解,当x变化时， 的变化情况如下表,当x=-2时, f(x)的极大值为,令,解得x=2,或x=-2,当x=2时, f(x)的极小值为,2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ， 那么 是极小值,归纳：求函数y=f(x)极值的方法是,1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ， 那么 是极大值,解方程 ，当 时,练习： 1、下列结论中正确的是（ ）。 A、导数为零的点一定是极值

7、点。 B、如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么 f(x0)是极大值。 、极大值一定大于极小值,B,巩固练习,1、求函数 的极值,思考：已知函数 在 处取得极值。 （1）求函数 的解析式 （2）求函数 的单调区间,课堂小结,一、方法: (1)确定函数的定义域 (2)求导数f(x) (3)求方程f(x) =0的全部解 (4)检查f(x)在f(x) =0的根左.右两边值的符号,如果左正右负 (或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值 二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极 值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题,今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极

8、值,1.3.3函数的最大(小)值与导数,最值是相对函数定义域整体而言的,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,注意,温故知新,唯一,最大值一定比最小值大,两者都有可能,y=f(x,o,y,x,y=f(x,x1,x2,x4,如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连 续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值,所有极值连同端点函数值进行比较， 最大的为最大值，最小的为最小值,探究新知,x3,典型例题,1、求出所有导数为0的点,2、计算,3、比较确定最值,在闭区间上求函数最值时，必须确定函数的极大值和极小值吗,动手试试,求下列函数在给定区间上的最大值与最小值,典型例题,反思：本题属于逆向探究题型； 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论,拓展提高,我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么