数字信号处理程佩青第三版课件

1、数字信号处理程佩青第三版,1,程佩青第三版课件,数字信号处理程佩青第三版,2,第一章 离散时间信号与系统,数字信号处理程佩青第三版,3,学习目标,掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。 掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。 理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。 了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程,数字信号处理程佩青第三版,4,1.1 离散时间信号序列,信号是传递信息的函数。针对信号的自变量和函数值的取值，可分为三种信号： （1）

2、连续时间信号 -自变量取连续值，而函数值可连续可离散。当函数值是连续的，又常称模拟信号，如语音信号、电视信号等。 （2）离散时间信号 -自变量取离散值，而函数值连续。 （3）数字信号 -自变量和函数值均取离散值。它是信号幅度离散化了的离散时间信号,数字信号处理程佩青第三版,5,离散时间信号是对模拟信号 xa(t) 进行等间隔采样获得的，采样间隔为T，得到,一、离散时间信号序列的概念,数字信号处理程佩青第三版,6,这里 n 取整数。对于不同的 n 值，xa(nT) 是一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信号。注意，这里的n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即,离散时

3、间信号的表示方法：公式表示法、图形表示法、集合符号表示法，如,数字信号处理程佩青第三版,7,二、常用序列,1. 单位抽样序列(n,数字信号处理程佩青第三版,8,2. 单位阶跃序列u(n,数字信号处理程佩青第三版,9,n)与u(n)之间的关系,令n-k=m，有,数字信号处理程佩青第三版,10,3. 矩形序列RN(n,N为矩形序列的长度,数字信号处理程佩青第三版,11,4. 实指数序列,a为实数,a-1或-1a0,序列的幅值摆动,数字信号处理程佩青第三版,12,5. 正弦序列,式中，为数字域频率，单位为弧度,如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么,为模拟角频率，单位为弧度/秒。T为信号

4、的采样周期，fs为信号的采样频率,数字信号处理程佩青第三版,13,6. 复指数序列,这里为数字域频率，单位为弧度。当 =0时，上式可表示成,上式还可写成,表明复指数序列具有以2为周期的周期性，在以后的研究中，频率域只考虑一个周期就够了,数字信号处理程佩青第三版,14,7. 周期序列,如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立,例,则称x(n)为周期序列，最小周期为N,数字信号处理程佩青第三版,15,一般正弦序列的周期性,设,那么,如果,则,N，k均取整数,式中，A为幅度，0为数字域频率，为初相,数字信号处理程佩青第三版,16,正弦序列的周期性讨论,整数时，则正弦序列有周期，当k=1时，

5、周期为,有理数时，设 =P/Q，要使N=(2/0)k=(P/Q)k为最小正整数，只有k=Q，即N=P 时，所以正弦序列的周期为P,无理数时，则正弦序列无周期。例如,数字信号处理程佩青第三版,17,用单位采样序列来表示任意序列,数字信号处理程佩青第三版,18,三、 序列的运算,1. 序列的加法,同序号的序列值逐项对应相加,数字信号处理程佩青第三版,19,2. 序列的乘法,同序号的序列值逐项对应相乘,数字信号处理程佩青第三版,20,3. 序列的移位,当 n00 时，序列右移 延迟 当 n00 时，序列左移 超前,数字信号处理程佩青第三版,21,4. 序列的翻转,x(-n)是x(n)的翻转序列。x(

6、-n)是以纵轴（n=0）为对称轴将序列x(n)加以翻转,数字信号处理程佩青第三版,22,5. 尺度变换,数字信号处理程佩青第三版,23,6. 累加（等效积分,7. 差分运算 前向差分 后向差分,8. 卷积和,等效为翻褶、移位、相乘和相加四个步骤,数字信号处理程佩青第三版,24,1.2 线性移不变系统,在时域离散系统中，最重要、最常用的是线性时不变系统,系统可定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一变换或运算，并用T表示，即,数字信号处理程佩青第三版,25,1.2.1 线性系统,若系统满足可加性与比例性,则称此系统为离散时间线性系统,其中a、b为任意常数,设,数字信号处理程佩青第三版

7、,26,例,是线性系统,证,所以，此系统是线性系统,数字信号处理程佩青第三版,27,例,所代表的系统不是线性系统,证,但是,所以，此系统不是线性系统,数字信号处理程佩青第三版,28,增量线性系统,对增量线性系统，任意两个输入的差是两个输入差的线性函数,数字信号处理程佩青第三版,29,1.2.2 时不变系统（移不变系统,若,则,n0为任意整数,输入移动任意位（如n0位），其输出也移动这么多位，而幅值却保持不变,数字信号处理程佩青第三版,30,例,证,所以，此系统是时不变系统,数字信号处理程佩青第三版,31,例,证,所以，此系统不是时不变系统,同理，可证明 所代表的系统不是时不变系统,数字信号处理

8、程佩青第三版,32,1.2.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系,一个既满足叠加原理，又满足时不变条件的系统，被称为线性时不变系统(linear shift invariant,LTI)。线性时不变系统可用它的单位抽样响应来表征,单位取样响应，也称单位冲激响应，是指输入为单位冲激序列时系统的输出，一般用h(n)来表示,数字信号处理程佩青第三版,33,根据线性系统的叠加性质,又根据时不变性质,设系统的输入用x(n)表示，而,因此，系统输出为,通常把上式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“*”表示,数字信号处理程佩青第三版,34,线性时不变系统的一个重要特性是它的输入与输出序列之间存在着线

9、性卷积关系,用单位取样响应h(n)来描述系统,数字信号处理程佩青第三版,35,线性卷积的计算,计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n,数字信号处理程佩青第三版,36,例已知x(n)和h(n)分别为,和,a为常数，且1a，试求x(n)和h(n)的线性卷积,计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明

10、,数字信号处理程佩青第三版,37,解参看图，分段考虑如下,1)对于n4，且n-60，即46，且n-64，即64，即n10,数字信号处理程佩青第三版,38,图解说明,数字信号处理程佩青第三版,39,图解说明,数字信号处理程佩青第三版,40,2)在0n4区间上,数字信号处理程佩青第三版,41,3)在4n6区间上,数字信号处理程佩青第三版,42,4)在6n10区间上,数字信号处理程佩青第三版,43,综合以上结果，y(n)可归纳如下,数字信号处理程佩青第三版,44,卷积结果y(n)如图所示,数字信号处理程佩青第三版,45,例,设有一线性时不变系统，其单位取样响应为,解,分段考虑如下,1)对于n0； (

11、2)对于0n N1； (3)对于nN,数字信号处理程佩青第三版,46,2)在0nN 区间上,数字信号处理程佩青第三版,47,3)在nN 区间上,数字信号处理程佩青第三版,48,例,设有一线性时不变系统，其,解,数字信号处理程佩青第三版,49,数字信号处理程佩青第三版,50,对有限长序列相卷，可用竖乘法,注：1. 各点要分别乘、分别加且不跨点进位； 2. 卷和结果的起始序号等于两序列的起始序号之和,数字信号处理程佩青第三版,51,由上面几个例子的讨论可见,设x(n)和h(n)两序列的长度分别是N 和M ，线性卷积后的序列长度为(N + M -1,数字信号处理程佩青第三版,52,线性卷积满足以下运

12、算规律,交换律,数字信号处理程佩青第三版,53,结合律,分配律,数字信号处理程佩青第三版,54,序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身,如果序列与一个移位的单位取样序列(n-n0)进行线性卷积，就相当于将序列本身移位n0,数字信号处理程佩青第三版,55,例,求系统的输出y(n,m(n,解：设级联的第一个系统输出 m(n,数字信号处理程佩青第三版,56,数字信号处理程佩青第三版,57,1.2.4 系统的因果性和稳定性,在系统中，若输出y(n)只取决于n时刻，以及n时刻以前的输入，即,称该系统是因果系统,对于线性时不变系统，具有因果性的充要条件是系统的单位取样响应满足,如,因果系统是指输出的

13、变化不领先于输入的变化的系统,数字信号处理程佩青第三版,58,稳定系统,对一个线性时不变系统来说，系统稳定的充要条件是单位取样响应绝对可和，即,稳定系统是指对于每个有界输入x(n)，都产生有界输出y(n)的系统。即如果|x(n)|M(M为正常数)，有|y(n)|+，则该系统被称为稳定系统,数字信号处理程佩青第三版,59,例,设某线性时不变系统，其单位取样响应为,式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性,解,由于n0时，h(n)=0，故此系统是因果系统,所以 时，此系统是稳定系统,数字信号处理程佩青第三版,60,例,设某线性时不变系统，其单位取样响应为,式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性,

14、解：(1)讨论因果性,由于n0时，h(n)0，故此系统是非因果系统,2)讨论稳定性,所以 时，此系统是稳定系统,数字信号处理程佩青第三版,61,1.3 线性常系数差分方程,一个N 阶线性常系数差分方程用下式表示,连续时间线性时不变系统 线性常系数微分方程,求解差分方程的基本方法有三种,经典法,求齐次解、特解、全解,递推法,求解时需用初始条件启动计算,变换域法,将差分方程变换到Z域进行求解,数字信号处理程佩青第三版,62,例,设差分方程为,求输出序列,设系统参数,设输入为,初始条件为,解,数字信号处理程佩青第三版,63,依次类推,数字信号处理程佩青第三版,64,差分方程表示法的另一优点是可以直接

15、得到系统的结构,数字信号处理程佩青第三版,65,1.4 连续时间信号的抽样,信号经过采样以后，将发生一些什么变化？例如，信号频谱将发生怎样变化； 经过采样后信号内容会不会有丢失； 如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等,数字信号处理程佩青第三版,66,1.4.1 采样,数字信号处理程佩青第三版,67,理想采样,一、理想采样,数字信号处理程佩青第三版,68,定义,单位冲击函数,t,0,(t,1,单位冲击函数有一个重要的性质,采样性,若f(t)为连续函数，则有,将上式推广，可得,t0,(t-t0,数字信号处理程佩青第三版,69,二、频谱的周期延拓,即

16、,即,数字信号处理程佩青第三版,70,由于 是周期函数,可用傅立叶级数表示，即,采样角频率,系数,数字信号处理程佩青第三版,71,数字信号处理程佩青第三版,72,对称性,移频特性,根据,数字信号处理程佩青第三版,73,数字信号处理程佩青第三版,74,采样信号的傅氏变换为,数字信号处理程佩青第三版,75,即,采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，其延拓周期为s,数字信号处理程佩青第三版,76,讨论,数字信号处理程佩青第三版,77,称Nyquist采样率,称折叠频率,称Nyquist范围,采样定理,要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于两倍原信号频谱的最高截止频率s2C,由上面

17、的分析有，频谱发生混叠的原因有两个： 1.采样频率低 2.连续信号的频谱没有被限带,数字信号处理程佩青第三版,78,可选s =(34)C,数字信号处理程佩青第三版,79,频域分析,且在 时,1.4.2 采样的恢复,数字信号处理程佩青第三版,80,时,数字信号处理程佩青第三版,81,时域分析,g(t,时,0,T,数字信号处理程佩青第三版,82,或,称为内插函数,数字信号处理程佩青第三版,83,数字信号处理程佩青第三版,84,采样内插公式,采样内插公式说明：只要满足采样频率高于两倍信号最高截止频率，则整个连续时间信号就可以用它的采样值来完全代表，而不会丢失任何信息,数字信号处理程佩青第三版,85,

18、内插函数,采样的内插恢复,数字信号处理程佩青第三版,86,第二章 z变换和DTFT,数字信号处理程佩青第三版,87,本章主要内容,1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述,数字信号处理程佩青第三版,88,2.1 z变换的定义及收敛域,信号和系统的分析方法有两种： 时域分析方法 变换域分析方法 连续时间信号与系统 LT FT 离散时间信号与系统 ZT FT,数字信号处理程佩青第三版,89,一、ZT的定义,z 是复变量，所在的复平面称为z平面,数字信号处理程佩青第三版,90,二、ZT的收

19、敛域,对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 级数收敛的充要条件是满足绝对可和,数字信号处理程佩青第三版,91,1）有限长序列,数字信号处理程佩青第三版,92,除0和两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外，整个z 平面均收敛,如果n20 ，则收敛域不包括点 如果n10 ，则收敛域不包括0点 如果n10n2，收敛域不包括0 、点,数字信号处理程佩青第三版,93,2）右边序列,因果序列的z变换必在处收敛 在处收敛的z变换， 其序列必为因果序列,数字信号处理程佩青第三版,94,3）左边序列,数字信号处理程佩青第三版,95,4）双边序列,数字信号处理程佩

20、青第三版,96,例1,收敛域应是整个z的闭平面,数字信号处理程佩青第三版,97,例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域,数字信号处理程佩青第三版,98,例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域,数字信号处理程佩青第三版,99,例4：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域,数字信号处理程佩青第三版,100,例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域,数字信号处理程佩青第三版,101,数字信号处理程佩青第三版,102,给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。 X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故： 右边序列的z变换收敛域一定在

21、模最大的有限极点所在圆之外 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内,数字信号处理程佩青第三版,103,2.2 z反变换,实质：求X(z)幂级数展开式 z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法,z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n,数字信号处理程佩青第三版,104,1、围数积分法求解（留数法,若函数X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有,数字信号处理程佩青第三版,105,1、围数积分法求解（留数法,根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即 而 其中围

22、线c是在X(z)的环状 收敛域内环绕原点的一条 反时针方向的闭合单围线,数字信号处理程佩青第三版,106,若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则,利用留数定理求围线积分，令,若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则,单阶极点的留数,数字信号处理程佩青第三版,107,数字信号处理程佩青第三版,108,数字信号处理程佩青第三版,109,数字信号处理程佩青第三版,110,思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何,数字信号处理程佩青第三版,111,2、部分分式展开法求解IZT,常见序列的ZT参见书p.54页的表2-1,若函数X(z) 是

23、z的有理分式，可表示为,利用部分分式的z反变换和可以得到函数X(z) 的z反变换,数字信号处理程佩青第三版,112,数字信号处理程佩青第三版,113,数字信号处理程佩青第三版,114,例2设 利用部分分式法求z反变换,解,数字信号处理程佩青第三版,115,3、幂级数展开法求解（长除法,一般X(z)是有理分式，可利用分子多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到x(n,数字信号处理程佩青第三版,116,根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数 将X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列,数字

24、信号处理程佩青第三版,117,例1,ROC1,长除法示例,解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数,数字信号处理程佩青第三版,118,ROC2,解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数,数字信号处理程佩青第三版,119,解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式,数字信号处理程佩青第三版,120,数字信号处理程佩青第三版,121,数字信号处理程佩青第三版,122,1、线性性,2.3 Z变换的基本性质和定理,R1R2,R,a|R,R,2、序列的移位,3、z域尺度变换 （乘以

25、指数序列,4、 z域求导 （序列线性加权,数字信号处理程佩青第三版,123,Z变换的基本性质（续,5、翻褶序列,1/R,R,6、共轭序列,7、初值定理,8、终值定理,数字信号处理程佩青第三版,124,Z变换的基本性质（续,9、有限项累加特性,ZT的主要性质参见书p.69页的表2-2,10、序列的卷积和,11、序列乘法,12、帕塞瓦定理,数字信号处理程佩青第三版,125,数字信号处理程佩青第三版,126,2.4 序列ZT、连续信号LT和FT的关系,若,连续信号采样后的拉氏变换LT,数字信号处理程佩青第三版,127,抽样序列,当,两变换之间的关系，就是由复变量s平面到复变量z平面的映射，其映射关系

26、为,对比,数字信号处理程佩青第三版,128,进一步讨论这一映射关系,1,数字信号处理程佩青第三版,129,s平面到z平面的 映射是多值映射,数字信号处理程佩青第三版,130,抽样序列在单位圆上的z变换，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换,数字信号处理程佩青第三版,131,数字频率w表示z平面的辐角，它和模拟角频率W的关系为,在以后的讨论中，将用数字频率w来作为z平面上单位圆的参数，即,所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2p,数字信号处理程佩青第三版,132,2.5 离散信号的付氏变换DTFT,一、DTFT的定义,变换对,称为离散时间傅里叶变换（DTFT,

27、数字信号处理程佩青第三版,133,FT存在的充分必要条件是,如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来,数字信号处理程佩青第三版,134,二、比较ZT和DTFT的定义,利用ZT和DTFT的关系可以有ZT计算DTFT,序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆上的值,数字信号处理程佩青第三版,135,例1、计算门序列的DTFT,类似Sa(.)函数,线性相位,解,DTFT,幅频特性,相频特性,数字信号处理程佩青第三版,136,图示说明,数字信号处理程佩青第三版,137,例2、已知 ( ),计算其DTFT,由此可以得到FT的幅频特性和相频特性,数字信号处理

28、程佩青第三版,138,三、FT与DTFT的关系,归一化,利用FT与DTFT关系计算下列序列的 DTFT,例,数字信号处理程佩青第三版,139,解：1,2,3,数字信号处理程佩青第三版,140,2.6 DTFT的一些性质,1、线性性,2、实序列,实偶性,实奇性,3、时移特性,数字信号处理程佩青第三版,141,4、乘以指数序列 （调制性,5、序列线性加权,6、序列翻褶,7、序列共轭,数字信号处理程佩青第三版,142,8、卷积定理： (时域) (频域,DTFT的主要性质参见书p.78页的表2-3,9、帕塞瓦尔定理：(Parseval Theory,频域卷积在一周期内积分,称周期卷积,数字信号处理程佩

29、青第三版,143,下面举例说明DTFT性质的使用。计算下列积分I的值,解：根据,利用时域卷积定理有,上式卷积n=0时就是积分I的值,数字信号处理程佩青第三版,144,2.7 周期性序列的DTFT,1、复指数序列的傅里叶变换,复指数序列ejw0n的傅里叶变换，是以w0为中心，以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2p 思考，DTFTcos(w0n+f)、 DTFTsin(w0n+f,数字信号处理程佩青第三版,145,2、常数序列的傅里叶变换,常数序列的傅里叶变换，是以w=0为中心，以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2p,3、周期为N的抽样序列串的傅里叶变换,周期为N的

30、周期性抽样序列，其傅里叶变换是频率在w=2p/N的整数倍上的一系列冲激函数之和，这些冲激函数的积分面积为2p/N,数字信号处理程佩青第三版,146,4、一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换,数字信号处理程佩青第三版,147,即,周期性序列 （周期为N）的傅里叶变换是一系列冲激函数串，其冲激函数的积分面积等于 乘以 ，而 是x(n) 的一个周期的傅里叶变换X(ejw)在频域中w= 2p/N的整数倍的各抽样点上的抽样值,数字信号处理程佩青第三版,148,e满足0e 2p/N,从w=0之前开始抽样； 在w=2p之间结束抽样； 此区间共有N个抽样值： 0kN-1,数字信号处理程佩青第三版,149,

31、周期序列的DFS正变换和反变换,周期序列的傅里叶级数（DFS,其中,数字信号处理程佩青第三版,150,2.8 Fourier变换的对称性质,共轭对称序列,共轭反对称序列,任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和,其中,定义,数字信号处理程佩青第三版,151,其中,同样，x(n)的Fourier变换 也可分解成,数字信号处理程佩青第三版,152,对称性质,序列 Fourier变换,数字信号处理程佩青第三版,153,实数序列的对称性质,序列 Fourier变换,数字信号处理程佩青第三版,154,实数序列的Fourier变换满足共轭对称性,实部是的偶函数 虚部是的奇函数,幅度是的偶函数 幅角是的奇

32、函数,数字信号处理程佩青第三版,155,2.9 离散系统的系统函数、系统的频率响应,LSI系统的系统函数H(z)： 单位抽样响应h(n)的z变换,其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z,系统的频率响应,单位圆上的系统函数,单位抽样响应h(n)的DTFT,数字信号处理程佩青第三版,156,1、若LSI系统为因果稳定系统,稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆， 即频率响应存在且连续,H(z)须从单位圆到的整个z域内收敛即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内,1）因果,2）稳定,序列h(n)绝对可和，即,而h(n)的z变换的Roc,3）因果稳定：Roc,数字信号处

33、理程佩青第三版,157,数字信号处理程佩青第三版,158,2、系统函数与差分方程,常系数线性差分方程,取z变换,则系统函数,数字信号处理程佩青第三版,159,数字信号处理程佩青第三版,160,数字信号处理程佩青第三版,161,数字信号处理程佩青第三版,162,数字信号处理程佩青第三版,163,3、系统的频率响应的意义,1）LSI系统对复指数序列的稳态响应,数字信号处理程佩青第三版,164,2）LSI系统对正弦序列的稳态响应,输出同频 正弦序列 幅度受频率响应幅度 加权 相位为输入相位与系统相位响应之和,数字信号处理程佩青第三版,165,3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应,其中,微分增量（复

34、指数,数字信号处理程佩青第三版,166,4、频率响应的几何确定法,利用H(z)在z平面上的零极点分布,频率响应,数字信号处理程佩青第三版,167,则频率响应的,令,幅角,幅度,数字信号处理程佩青第三版,168,零点位置影响凹谷点的位置与深度 零点在单位圆上，谷点为零 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零 极点位置影响凸峰的位置和深度 极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷 极点在单位圆外，系统不稳定,数字信号处理程佩青第三版,169,数字信号处理程佩青第三版,170,数字信号处理程佩青第三版,171,数字信号处理程佩青第三版,172,数字信号处理程佩青第三版,173,数字信号处理程佩青第三版,174,5、

35、IIR系统和FIR系统,无限长单位冲激响应（IIR）系统： 单位冲激响应h(n)是无限长序列,有限长单位冲激响应（FIR）系统： 单位冲激响应h(n)是有限长序列,数字信号处理程佩青第三版,175,IIR系统：至少有一个,FIR系统：全部,全极点系统（自回归系统，AR系统） ：分子只有常数项,零极点系统（自回归滑动平均系统，ARMA系统）: 分子不止常数项,收敛域 内无极点，是全零点系统,滑动平均系统，MA系统,数字信号处理程佩青第三版,176,IIR系统：至少有一个,有反馈环路，采用递归型结构,FIR系统：全部,无反馈环路，多采用非递归结构,Homework：P831(1)(2)(3) 3(

36、1) 7 10 14 18,数字信号处理程佩青第三版,177,第三章 离散傅里叶变换,数字信号处理程佩青第三版,178,主要内容,离散傅里叶级数（DFS） 离散傅里叶变换（DFT） 抽样z变换频域抽样理论,数字信号处理程佩青第三版,179,3.1 引言,傅里叶变换的几种形式,连续时间、连续频率傅里叶变换,连续时间、离散频率傅里叶级数,离散时间、连续频率序列的傅里叶变换,离散时间、离散频率离散傅里叶变换,数字信号处理程佩青第三版,180,FT,3.2 傅里叶变换的几种可能形式,数字信号处理程佩青第三版,181,FS,时域周期化，频域离散化,数字信号处理程佩青第三版,182,时域离散化，频域周期化

37、,DTFT,数字信号处理程佩青第三版,183,但是，前三种傅里叶变换对都不适于计算机上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中函数是连续的。 因此，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况,若时域离散并周期化，频域周期化并离散化,数字信号处理程佩青第三版,184,四种傅里叶变换形式的归纳,数字信号处理程佩青第三版,185,3.3 离散傅里叶级数DFS ( Discrete Fourier Series,连续周期信号,周期序列 ( r 为整数, N 为周期,数字信号处理程佩青第三版,186,周期序列的DFS正变换和反变换,其中,数字信号处理程佩青第三版,187,一般性的周期为N的周期性序列的傅里

38、叶变换,数字信号处理程佩青第三版,188,可看作是对 的一个周期 做z变换然后将z变换在z平面单位圆上按等间隔角 抽样得到,数字信号处理程佩青第三版,189,DFS的图示说明,数字信号处理程佩青第三版,190,数字信号处理程佩青第三版,191,数字信号处理程佩青第三版,192,数字信号处理程佩青第三版,193,2、序列的移位,数字信号处理程佩青第三版,194,3、调制特性,数字信号处理程佩青第三版,195,3.4 离散傅里叶级数的性质FS性,1、线性,其中， 为任意常数,若,则,数字信号处理程佩青第三版,196,4、对偶性,证,数字信号处理程佩青第三版,197,5、周期卷积和,若,则,讨论:

39、周期卷积与线性卷积的区别在于：周期卷积求和只在一周期内进行。(注意周期信号的线性卷积不存在,式中的卷积称为周期卷积,数字信号处理程佩青第三版,198,数字信号处理程佩青第三版,199,数字信号处理程佩青第三版,200,数字信号处理程佩青第三版,201,数字信号处理程佩青第三版,202,同样，利用对称性,若,则,数字信号处理程佩青第三版,203,3.5 离散傅里叶变换有限长序列的离散频域表示,在进行DFS分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列 周期序列实际上只有有限个序列值有意义 长度为N的有限长序列可以看成周期为N的周期序列的一个周期（主值序列） 借助DFS变换对，取时域、频域的主值序列可

40、以得到一个新的变换DFT，即有限长序列的离散傅里叶变换,数字信号处理程佩青第三版,204,另外一种写法是,其中 表示对 n 取模N 运算(或模 N的余数,对周期信号而言, 或,数字信号处理程佩青第三版,205,举例：设周期为 N=6。则有周期序列和求余运算： 或 这是因为： (19=36+1) 同理 或 这是因为： (-2=-16+4,同样：X(k)也是一个N点的有限长序列,数字信号处理程佩青第三版,206,有限长序列的DFT定义式,数字信号处理程佩青第三版,207,关于离散傅里叶变换(DFT,序列x(n)在时域是有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)

41、。 n为时域变量，k为频域变量。 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取样,数字信号处理程佩青第三版,208,x(n)的N点DFT是 x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样； x(n)的DTFT在区间0,2上的N点等间隔抽样,数字信号处理程佩青第三版,209,例1、计算 (N=12)的N点DFT. 解,数字信号处理程佩青第三版,210,数字信号处理程佩青第三版,211,数字信号处理程佩青第三版,212,数字信号处理程佩青第三版,2

42、13,N=4点的DFT,数字信号处理程佩青第三版,214,3.6 离散傅里叶变换的性质,1、线性,这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且,若,则,数字信号处理程佩青第三版,215,有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。 时域序列的调制等效于频域的圆周移位,2、圆周移位,数字信号处理程佩青第三版,216,其中 ；同理可证另一公式,证,推论,数字信号处理程佩青第三版,217,从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出： 当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本 好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来

43、 因此取名“循环移位”。 显然，循环移位不同于线性移位,数字信号处理程佩青第三版,218,若,则,证,3、对偶性,数字信号处理程佩青第三版,219,4、圆周共轭对称性,其中,共轭反对称分量,共轭对称分量,任意周期序列,数字信号处理程佩青第三版,220,定义,则任意有限长序列,圆周共轭反对称序列,圆周共轭对称序列,数字信号处理程佩青第三版,221,设N点复数序列,证明,则,数字信号处理程佩青第三版,222,同理可证明,数字信号处理程佩青第三版,223,序列 DFT,共轭对称性,数字信号处理程佩青第三版,224,序列 DFT,实数序列的共轭对称性,纯虚数序列的共轭对称性,数字信号处理程佩青第三版,

44、225,例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT,数字信号处理程佩青第三版,226,数字信号处理程佩青第三版,227,五、Parseval Theory,若令 y(n) = x(n,表明序列时域、频域能量相等,数字信号处理程佩青第三版,228,六、圆周卷积和,圆周卷积A：设,则,实际上，圆周卷积为周期卷积的主值序列。即,圆周卷积B：设,圆周卷积记为,N,N,数字信号处理程佩青第三版,229,圆周卷积过程： 1）补零 2）周期延拓 3）翻褶，取主值序列 4）圆周移位 5）相乘相加,数字信号处理程佩青第三版,230,两个N点序列的N点圆周卷积得到

45、的结果仍为N点序列,m N-m 1 N-1 2 N-2 N-3,讨论1:圆周卷积的物理意义图示说明,数字信号处理程佩青第三版,231,讨论2:圆周卷积与线性卷积,1) 设,有限长(N点,有限长(M点,则线性卷积,有限长(N+M-1,2) 而作长度为L的圆周卷积，即,周期卷积,其中,L,数字信号处理程佩青第三版,232,则,补零,存在交叠现象,这就是利用DFT计算线性卷积的方法和要求，即可以选择长度大于等于线性卷积的两序列长度之和的DFT运算计算线性卷积,数字信号处理程佩青第三版,233,数字信号处理程佩青第三版,234,讨论3:周期卷积、圆周卷积与线性卷积,周期卷积与圆周卷积的差别在于：周期卷

46、积是线性卷积的周期延拓；而圆周卷积是取周期卷积的主值序列。 作圆周卷积 时，应先将两者“补零”至长度为L点的序列后进行圆周卷积。而周期卷积是指两者皆为长度为L点的周期序列(即周期延拓)的。 线性卷积的DFT计算方法要求DFT点数 L=N+M+1,数字信号处理程佩青第三版,235,物理意义不同，周期卷积是周期信号运算与DFS系数运算的关系；圆周卷积是有限序列运算与DFT变换结果运算的关系（后面将说明这是有限序列运算与对应的频谱运算的关系,数字信号处理程佩青第三版,236,七、线性相关与圆周相关,线性相关,自相关函数,数字信号处理程佩青第三版,237,相关函数不满足交换率,数字信号处理程佩青第三版

47、,238,相关函数的z变换,相关函数的频谱,数字信号处理程佩青第三版,239,圆周相关定理,数字信号处理程佩青第三版,240,第四章快速傅里叶变换（FFT,数字信号处理程佩青第三版,241,主要内容,DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-FFT算法 线性卷积的FFT算法,数字信号处理程佩青第三版,242,4.1 引言,FFT: Fast Fourier Transform 1965年，Cooley-Turky 发表文章机器计算傅里叶级数的一种算法，提出FFT算法，解决DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信号处理等。

48、DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms,数字信号处理程佩青第三版,243,典型应用：信号频谱计算、系统分析等,系统分析,频谱分析与功率谱计算,数字信号处理程佩青第三版,244,4.2 直接计算DFT的问题及改进途径,1、 DFT与IDFT,数字信号处理程佩青第三版,245,2、DFT与IDFT运算特点,同理：IDFT运算量与DFT相同,数字信号处理程佩青第三版,246,3、降低DFT运算量的考虑,数字信号处理程佩青第三版,247,FFT算法分类,时间抽选法 DIT: Decimation-In-Time 频率抽选法 DIF: D

49、ecimation-In-Frequency,数字信号处理程佩青第三版,248,4.3 按时间抽取（DIT）的FFT算法,Decimation In Time,1、算法原理 设序列点数 N = 2L，L 为整数。 若不满足，则补零,将序列x(n)按n的奇偶分成两组,N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法,数字信号处理程佩青第三版,249,将N点DFT定义式分解为两个长度为N/2的DFT,记： （1,数字信号处理程佩青第三版,250,再利用周期性求X(k)的后半部分,数字信号处理程佩青第三版,251,将上式表达的运算用一个专用“蝶形”信流图表示,注：a. 上支路为加法，下支路为减法； b.

50、 乘法运算的支路标箭头和系数,数字信号处理程佩青第三版,252,用“蝶形结”表示上面运算的分解,数字信号处理程佩青第三版,253,分解后的运算量,运算量减少了近一半,数字信号处理程佩青第三版,254,进一步分解,由于 ， 仍为偶数，因此，两个 点 DFT又可同样进一步分解为4个 点的DFT,数字信号处理程佩青第三版,255,蝶形”信流图表示,数字信号处理程佩青第三版,256,N点DFT分解为四个N/4点的DFT,数字信号处理程佩青第三版,257,类似的分解一直继续下去，直到分解为最后的两类蝶形运算为止(2点DFT). 如上述N=8=23，N/4=2点中,类似进一步分解,数字信号处理程佩青第三版

51、,258,进一步简化为蝶形流图,因此8点FFT时间抽取方法的信流图如下,数字信号处理程佩青第三版,259,数字信号处理程佩青第三版,260,FFT运算量与运算特点,1 N=2L时，共有L=log2N级运算；每一级有N/2个蝶形结。 2每一级有N个数据中间数据），且每级只用到本级的转入中间数据，适合于迭代运算。 3计算量： 每级N/2次复乘法，N次复加。（每蝶形只乘一次，加减各一次）。共有L*N/2=N/2log2N 次复乘法；复加法L*N=Nlog2N 次。与直接DFT定义式运算量相比(倍数) N2/(Nlog2N) 。当 N大时，此倍数很大,数字信号处理程佩青第三版,261,比较DFT,参考

52、P150 表4-1 图4-6,可以直观看出，当点数N越大时，FFT的优点更突出,数字信号处理程佩青第三版,262,按时间抽取FFT蝶形运算特点,1、关于FFT运算的混序与顺序处理（位倒序处理） 由于输入序列按时间序位的奇偶抽取，故输入序列是混序的，为此需要先进行混序处理。 混序规律： x(n)按n位置进行码位（二进制）倒置规律输入，而非自然排序，即得到混序排列。所以称为位倒序处理。 位倒序实现： （1）DSP实现采用位倒序寻址 （2）通用计算机实现可以有两个方法：一是严格按照位倒序含义进行；二是倒进位的加N/2,数字信号处理程佩青第三版,263,倒位序,数字信号处理程佩青第三版,264,数字信

53、号处理程佩青第三版,265,例计算 ， 。计算 点FFT。用时间抽取输入倒序算法，问倒序前寄存器的数 和倒序后 的数据值,解：倒序前 倒序 倒序为 倒序后,数字信号处理程佩青第三版,266,DIT FFT中最主要的蝶形运算实现,1）参与蝶形运算的两类结点（信号）间“距离”（码地址）与其所处的第几级蝶形有关；第m级的“结距离”为 (即原位计算迭代） （2）每级迭形结构为,数字信号处理程佩青第三版,267,蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成L位二进制数，左移L m位，把右边空出的位置补零，结果为r的二进制数,3） 的确定： 第m级的r取值,数字信号处理程佩青第三版,268,DIT算法的其他形

54、式流图,输入倒位序输出自然序 输入自然序输出倒位序 输入输出均自然序 相同几何形状 输入倒位序输出自然序 输入自然序输出倒位序,参考P154-155,数字信号处理程佩青第三版,269,时间抽取、 输入自然顺序、 输出倒位序的FFT流图,数字信号处理程佩青第三版,270,例 用FFT算法处理一幅NN点的二维图像，如用每秒可做10万次复数乘法的计算机，当N=1024时，问需要多少时间（不考虑加法运算时间）？ 解 当N=1024点时，FFT算法处理一幅二维图像所需复数乘法约为 次，仅为直接计算DFT所需时间的10万分之一。 即原需要3000小时，现在只需要2 分钟,数字信号处理程佩青第三版,271,

55、4.4 按频率抽取（DIF）的FFT算法,与DIT-FFT算法类似分解，但是抽取的是X(k)。即分解X(k)成奇数与偶数序号的两个序列。 设： N = 2L，L 为整数。将X(k)按k的奇偶分组前，先将输入x(n)按n的顺序分成前后两半,Decimation In Frequency,一、算法原理,数字信号处理程佩青第三版,272,数字信号处理程佩青第三版,273,下面讨论,按k的奇偶将X(k)分成两部分,显然,数字信号处理程佩青第三版,274,令,用蝶型结构图表示为,数字信号处理程佩青第三版,275,数字信号处理程佩青第三版,276,N/2仍为偶数，进一步分解：N/2 N/4,数字信号处理程

56、佩青第三版,277,按照以上思路继续分解，即一个N/2的DFT分解成两个N/4点DFT，直到只计算2点的DFT，这就是DIF-FFT算法,数字信号处理程佩青第三版,278,2个1点的DFT蝶形流图,进一步简化为蝶形流图,数字信号处理程佩青第三版,279,数字信号处理程佩青第三版,280,二、按频率抽取FFT蝶形运算特点,1）原位计算,L级蝶形运算，每级N/2个蝶形，每个蝶形结构,m表示第m级迭代，k，j表示数据所在的行数,数字信号处理程佩青第三版,281,2）蝶形运算,对N=2L点FFT，输入自然序，输出倒位序， 两节点距离：2L-m=N / 2m,第m级运算,数字信号处理程佩青第三版,282

57、,蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成L位二进制数，左移m-1位，把右边空出的位置补零，结果为r的二进制数,存储单元,输入序列x(n) : N个存储单元,系数 ：N / 2个存储单元,数字信号处理程佩青第三版,283,三、DIT与DIF的异同,基本蝶形不同,DIT: 先复乘后加减,DIF: 先减后复乘,运算量相同,都可原位运算,DIT和DIF的基本蝶形互为转置,数字信号处理程佩青第三版,284,4.5 IDFT的FFT算法（FFT应用一,一、从定义比较分析,与DFT的比较： 1）、旋转因子WN-kn 的不同； 2）、结果还要乘 1/N,数字信号处理程佩青第三版,285,二、实现算法直接使用

58、FFT程序的算法,直接调用FFT子程序计算IFFT的方法,数字信号处理程佩青第三版,286,4.6 线性调频Z变换（Chirp-Z变换）算法 （FFT应用二,单位圆与非单位圆采样 （a） 沿单位圆采样; (b) 沿AB弧采样,数字信号处理程佩青第三版,287,螺线采样,zk=AW-k k=0, 1, , M-1,数字信号处理程佩青第三版,288,Chirp-Z变换的线性系统表示,由于系统的单位脉冲响应 可以想象为频率随时间(n)呈线性增长的复指数序列。在雷达系统中,这种信号称为线性调频信号（Chirp Signal），因此，这里的变换称为线性调频Z变换,数字信号处理程佩青第三版,289,一、基

59、本算法思路,4.7 线性卷积的FFT算法（FFT应用三,若L点x(n)，M点h(n)， 则直接计算其线性卷积y(n,需运算量,若系统满足线性相位，即,则需运算量,数字信号处理程佩青第三版,290,FFT法：以圆周卷积代替线性卷积,N,总运算量： 次乘法,数字信号处理程佩青第三版,291,比较直接计算和FFT法计算的运算量,讨论,1）当,2）当,数字信号处理程佩青第三版,292,x(n)长度很长时，将x(n)分为L长的若干小的片段，L与M可比拟,1、重叠相加法,则,输出,数字信号处理程佩青第三版,293,其中,可以用圆周卷积计算,选 ，上面圆周卷积可用FFT计算,N,由于yi(n)长度为N，而xi(n)长度L ，必有M-1 点重叠， yi(n)应相加才能构成最后y(n)的,数字信号处理程佩青第三版,294,重叠相加法图形,数字信号处理程佩青第三版,295,数字信号处理程佩青第三版,296,和上面的讨论一样， 用FFT法实现重叠相加法的步骤如下: 计算N点FFT， H(k)=DFTh(n)； 计算N点FFT，Xi(k)=DFTxi(n)； 相乘，Yi(k)=Xi(k)H(k)； 计算N点IFFT，yi(n)=IDFTYi(k)； 将各段yi(n)（包括重叠部分）相加， 。 重叠相加的名称是由于各输出段的重叠部分相加而得名的,数字信号处理程佩青第三版,297