计数原理(排列组合)

1、.类型一：分类记数原理1某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（ ）A.5 B.6 C.7 D.8【变式1】三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?【变式2】在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?【变式3】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。【变式4】在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当

2、钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?类型二：分步记数原理2（1）四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？ （2）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种？解析：（1）共有444=64种不同结果. （2）共有3333=81种不同结果.【变式1】从1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_个，其中不同的偶函数共有_个.（用数字作答）【答案】18，6； 【变式2】从集合1，2，3，10中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?【答案】32；类型三：解排列

3、（组合）数形式的方程3一条铁路原有m个车站，为适应客运需要，新增加n（n1，nN*）个车站，因而增加了58种车票（起点站与终点站相同的车票视为相同的车票），问原来这条铁路有几个车站?现在又有几个车站? 解析：由题设，即.（1）若n=1，则2m1+n=58，m=29；（2）若n=2，则2m1+n=29，m=14；（3）若n=58，则2m1+n=1，m=28，不合题意，舍去.（4）若n=29，则2m1+n=2，m=13，不合题意，舍去；所以原有14个车站，现有16个车站；或者原有29个车站，现有30个车站.【变式1】解方程：（1）；（2）.类型四：排列组合常见问题及基本方法1明确任务，分析是分类还

4、是分步，是排列还是组合4从1、2、3、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，求这样的不同等差数列有多少个。解析：设a，b，c成等差，则2b=a+c，可知b由a，c决定，又2b是偶数，a，c同奇或同偶，即从1，3，5，19或2，4，6，20这十个数中选出两个数进行排列，就可确定等差数列，因而不同等差数列有 (个) 5用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。【变式1】从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有_。(A)240 (B)180

5、(C)120 (D)60【答案】(一)从6双中选出一双同色的手套，有种方法； (二)从剩下的十只手套中任选一只，有种方法； (三)从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种方法； (四)由于选取与顺序无关，因而(二)(三)中的选法重复一次；因而共【变式2】身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为 .【答案】每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法， 因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列， 从而有。2特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑6六人站成一排，求(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数(2)

6、甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数解析：(1)先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。第一类：乙在排头，有种站法；第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法 共种站法。(2)第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法；第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法；第三类：甲不在排尾，乙在排头，有种方法；第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法；共种。举一反三：【变式1】对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？【答案】本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，

7、 因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。 第一步：第五次测试的次品有种可能；第二步：前四次有一件正品有种可能； 第三步：前四次有种可能； 共有种可能。3捆绑与插空7共8人排成一队(1)甲乙必须相邻 ；(2)甲乙不相邻； (3)甲乙必须相邻且与丙不相邻 ；(4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻 ；(5)甲乙不相邻 ，丙丁不相邻 4间接计数法8从10人中选4人参加一个会议，其中甲、乙、丙三人中至少有1人参加的与会方法有多少种？ 解析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。 方法一：排除法从10人中任选4人参加会议的方法有种,其中甲、乙、丙都不参加会议的方法有种，故甲、乙、丙三人中至少1人参加会

8、议的方法共有（种）。方法二：分类法甲、乙、丙三人中至少有1人参加会议可分为三类： 三人中只有1人参加会议，只有二人参加会议、三人都参加会议三类情况，而每一类中情况还需分步，先取三人中参加会议的人，再从其余7人中取参加会议的人选，因此甲、乙、丙三人中至少1人参加会议的方法共有（种）。举一反三：【变式1】正方体8个顶点中取出4个，可组成多少四面体？【答案】所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，共5挡板法910个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？ 解析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板， 则每一种放置方式就相

9、当于一种分配方式。因而共【变式】15个相同的球，放入标有1，2，3，4的四个盒子内，求分别满足下列条件的放法种数：(1)每个盒子放入的球数不小于盒子的号码；(2)15个球随意放入四个盒，使得每个盒子不空。【答案】(1)先在2号盒子放入1球，在3号盒子放入2球，在4号盒子放入3球，共用去6个球， 还剩下9个球，相同的球，可以用挡板法，在8个空中插入3块挡板，共有；(2)6顺序问题10六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法？如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢？ 解析：（1）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有；（2）先考虑六人全排列

10、；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序位站， 由于三人所占位置相同的情况下，共有种变化， 【变式1】5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法？【答案】男生从左至右按从高到矮的顺序，有 若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法，同理也有3024种，综上，有6048种。【变式2】有4名男生、5名女生，全体排成一行，甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定，有多少种不同的排法?【答案】共有种排法.7排列组合综合应用11从0，1，2，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数？ 解析：先选后排。另外还要考虑特殊元素0的选取。（1）两个选出的偶数含0，则有种；（2）两个选出的偶数字不含0，则有种，因而共 【变式1】电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法？【答案】（1）先