信号与系统：第三章傅立叶变换3

1、1,三、 奇异函数的傅里叶变换,1）冲激函数d(t)的频谱 （即d(t)的傅里叶变换,Fd(t,冲激函数d(t)的频谱是常数 1，其频谱密度在 w 区间处处相等，常称其为均匀谱或白色谱,2）d (n)(t) 的傅里叶变换,Fd(t,Fd(n)(t,2,3） 单位直流信号的傅里叶变换,f (t)=1,0,观察逆变换公式,当F(jw) = d(w)时,F(jw) = d(w) =F1/2p,1/2p -d(w,F1=2pd(w,1 /2p d(w,3,Fsgn(t,4） 符号函数的傅里叶变换,借助奇双边指数函数,求极限,4,5）阶跃函数的傅里叶变换,f (t)=u(t,F u(t) = F1/2+

2、 F1/2sgn(t)= pd(w)+j (-1/w,5,要求：掌握典型信号的频谱,当F(jw)为w 的实函数或虚函数时| F(jw) |和j(w)可用一条曲线表示,6,第五节 傅里叶变换的性质,信号的两种描述方法,1）时域描述,2）频域描述（即频谱密度,本节研究在某一域中对信号进行某种运算时在另一域中所引起的效应,1. 线性性质（齐次性和可加性）（常用,若 f 1(t) F1(jw) ，f 2(t) F2(jw,则 a1 f 1(t)+ a2 f 2(t) a1F1(jw)+ a2F2(jw) （证略,例：F u(t) = F1/2+ F1/2sgn(t,pd(w)+j (-1/w,7,2.

3、 奇偶性,1）f (t)为t 的复函数时,则 F f *(t) =F*(jw,F f *(t ) =F*(jw,设 F f (t) =F(jw,F f (-t) =F(-jw,8,2） f (t)为t 的实函数时频谱特性,9,a）Ff (t ) 与Ff (-t )关系(即反折特性,设 f (t,F f (-t,即 若 f (t) F(jw,则 f (-t) F*(jw,例2： 求F e- a|t,e-a|t| = e- at u(t ) +eat u(-t,10,b）f (t)为t 的实偶函数时,当 f (t ) = f *(-t ) = f *(t,则 F (jw) = F*(-jw) =

4、F*(jw,公式,11,c）当f (t)为t 的实奇函数时,当 f (t ) f *(-t ) = f *(t,则 F (jw) F*(-jw) = F*(jw,12,例如,13,2）f (t)为t 的虚函数时频谱特性,f (t )=jg(t) g(t)为实函数,设F jg(t) =F(jw,14,3. 时移特性(常用,若 f (t) F( jw,证明(略,例3： f (t) 如图所示 ，求F f (t),解,15,4. 频(谱搬)移特性(常用,若 f (t ) F( jw,16,17,该特性在通信系统中得到广泛的应用，如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移原理上实现,频移原理（调制原理,

5、f (t )： 调制信号（含信息,可见已调信号y(t)的频谱是把f (t)的频谱F(jw)一分为二分别向左和右搬移w0,s(t )： 载波信号（高频的单一频率,y(t )： 已调信号,18,例5： 已知f (t)=gt(t) ，求F y(t),解,F,19,20,5. 尺度变换,若 f (t) F( jw,当a1时 时域压缩, 频域扩展并幅度变小，Bf 变大(如录音机快录,当0 a 1时 时域扩展, 频域压缩并幅度变大，Bf 变小(如录音机慢录,当 a = -1时 f (-t ) F( -jw） 时间倒置定理,21,22,6. 对称性（互易性,若 f (t) F( jw,则 F( j t ) 2pf (-w,证明,即 F F( j t ) =2pf (-w,例如 Fd(t) =1 F 1 =2pd(-w) =2pd(w,23,例8： F Sa(t),解,24