高考数学理二轮专题复习典型例题在线：专题30数形结合的思想方法.ppt

1、1,数形结合的思想方法,2,著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象，是数学大厦深处的两块基石数形结合就是通过这两者之间的对应和转化来解决问题的“数”与“形”在一定的条件下可以相互转化在一维空间，实数与数轴上的点建立了一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立了一一对应关系，进而使函数的解析式与函数的图象，方程与曲线建立了一一对应关系；在三维空间，空间向量的引入又为用代数方法研究空间点线面关系提供了可能这种用代数方法研究图形性质，借助图形性质研究数量关系的思想方法就是数形结合思想,3,

2、数形结合是一种重要的数学思想方法，它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形为手段，数为目的，如应用函数的图象来直观说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数为手段，形为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；三是正确确定参数的取值范围,4,1构造途径 (

3、1)利用“两点间的距离,5,6,点评：本题如果直接对原式进行变形，是有一定运算量的，效率也不高，但将式子转化为这种点与点距离公式之后，它的几何意义就凸现出来了，利用数形结合的方法，把代数问题转化为几何问题,7,2)利用“直线的斜率,例2 实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，求 的取值范围,解析： 由根的分布，可写出a、b所满足的条件，并作出示意图；另外，由 的形式，可联想斜率公式，利用解析几何的办法加以求解,8,解析：因方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，故函数f(x)=x2+ax+2b的图象与x轴的交点的

4、横坐标分别在区间(0,1)及(1,2)内，于是,即,点(a，b)所表示的平面区域为如图的ABC的内部，其中，A(3,1)为直线a+2b+1=0与直线a+b+2=0的交点，B(2,0)为直线a+b+2=0与直线b=0的交点， C(1,0)为直线a+2b+1=0与直线b=0的交点,9,由于 表示连结点(a，b)和点D(1,2)的斜 率，由图易知,点评：对于方程根的分布问题，常利用数形结合法，从对称轴的方程、最值、开口方向、特殊点的函数值等方面进行考虑；对于求比例形式的问题，常常可联想直线的斜率利用数形结合的方法进行求解,10,3)利用“点到直线的距离,解析：将函数表达式变形得,的几何意义表示半圆,

5、x2+y2=1（0y1）上的点P到直线x y+2=0的距离 从而由图易得 的最小值为 1从而所求函数的最小值为 2,11,4)利用“函数图象,12,因为g(x)为偶函数且g(3)=0，故g(3)=0,从而F(3)=F(3)=0. 作出满足条件F(x)的示意图如图所示， 由图易知，F(x)0的解集为 (，3)(0,3,点评：为什么奇函数的图象在原点两侧的单调性相同，这就是我们成竹在胸，“胸”中有图：对奇函数的图象特征烂熟于心；为什么在图中标了三个特殊点：两个非F(x)图象中的点，一个F(x)图象中的点即原点：这就是我们对奇函数性质了如指掌,13,奇函数若在原点处有定义，则奇函数的图象一定过原点当

6、我们作出了满足全部条件的函数F(x)的图象后，不等式F(x)0的解集已经跃然图上了这就是图形的直观作用！借助于图形，省却了繁琐的推理与计算，取而代之的是一幅赏心悦目的优美图案与简洁明快的解答,14,5)利用“单位圆,证明：在平面直角坐标系中，点A(cos ，sin )与点B(cos ，sin )是直线l：ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点，如图,15,又因单位圆的圆心到直线l的距离,由平面几何知识知,所以 ， 命题得证,16,6)利用“正余弦定理”构图,17,点评：本题中，根据数形结合思想，实现了由三角式向三角形边角关系式的转换，使运算大为简捷,18,分析 原题中只须求出xy+2y

7、z+3xz的整体值，无须求出想x,y,z的单个值，可联想利用余弦定理构造三角形，利用三角形的面积及余弦定理直接求值,19,20,21,点评：视x、 y、z为三条边，进而将所求值xy+2yz+3xz转化为三角形的面积，并联用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，实现快速解题,22,7)利用“平行线间的距离,23,24,点评：对形如等式ab+cd=k，可以视为点(a，c)在直线bx+dy=k上，或根据证题需要视为点(a，d)在直线bx+cy=k上,25,2.应用方面列举,1)函数的图象与性质,例9 方程x34x2+4xlog2x=0的实根个数为_,分析：解方程求根是不切实际的，画图是一条重 要的途

8、径,26,27,是函数图象的极大值点，其函数图象如图所示 又在图中作出函数y2=log2x的图象，显然两图象有2个不同交点，故原方程有2个不同的实根,28,点评：这是一道典型的应用数形结合来解决问题的综合型小题，将三次函数图象模型与对数函数图象糅合在一起，要求学生掌握三次函数的极值，极值点，最值，单调区间的求法及函数图象的画法，更要注意在同一坐标系中两图象的位置关系,29,2)三角函数的图象与性质,分析：有些学生不加分析地盲目利用同角三角函数间的关系与公式，进行运算与推理，往往造成较高的错误率，而如果借助三角函数图象，以形助数，则不仅会正确得出答案，而且过程简洁直观,30,3)与解方程、解不等

9、式有关的问题,31,分析： (1)函数f(x)是区间-1,1上的增函数，这个条件怎样使用？有两条思路可走：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数的性质这里我们不妨用第二种方法,32,33,34,35,36,点评： 本题是一道较难的解不等式问题，但两问的求解都借助了图形的直观，进而很简捷地得到了问题的解答与结论其中，第(1)问，用的是二次函数的图象的对称轴的位置与函数的单调区间的关系而得到的；第(2)问，先是利用了主元思想，视m2+tm-2中t为变量，m为常量，进而得出函数h(t)=mt+(m2-2)，t-1,1的图象为一条线段的直观结论，后利用它写出了m所满足的条件组，并最终求得了m的取值范围,37,4)解析几何中的有关问题,分析：本题具有明显的几何意义，那数形结合法便是一个常规的方法了,38,39,画