高考数学一轮复习北师大版三角恒等变换与解三角形学案

1、名校名 推荐第 2 讲小题考法 三角恒等变换与解三角形一、主干知识要记牢1 两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin()sin cos cos sin cos() cos cos ?sin sin tan() tan tan 1?tan tan 辅助角公式：asin bcos a2 b2sin( )(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 2sin cos cos 2 cos2 sin2 2cos2 11 2sin221 cos 221 cos 2降幂公式： sin， cos22 tan 2 2tan 2 1tan 2 正弦定理a bc 2r(2r 为 abc 外接圆的

2、直径 )sin asin bsin c变形： a 2rsin a， b 2rsin b， c 2rsin c；abcsin a2r， sin b2r， sin c2r；a bc sin a sin b sin c3 余弦定理222a b c 2bccos a，222b a c 2accos b，222c a b 2abcos c222222推论： cos ab c aa c b，cos b，2bc2aca2 b2 c2cos c2ab4 三角形面积公式1b 60名校名 推荐 111s abc2bcsin a2acsin b2absin c二、二级结论要用好1在 abc 中， tan a tan

3、 b tan c tan atan btan c2 abc 中，内角a，b， c 成等差数列的充要条件是3 abc 为正三角形的充要条件是a， b， c 成等差数列，且 a， b， c 成等比数列4 sabc abc(r 为 abc 外接圆半径 )4r三、易错易混要明了1对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调的函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是0， 2 ，选正、余弦皆可；若角的范围是(0， )， 选余弦较好；若角的范围是 ，2 ，选正弦较好22利用正弦定理解三角形时，注意解的个数，可能有一解、 两解或无解 在 abc 中，ab? sin asin b考点一三角

4、恒等变换与求值1 三角恒等变换的策略(1)常值代换：特别是 “ 1的”代换， 1 sin2 cos2 tan 45等(2)项的拆分与角的配凑：如22222sin2cos (sincos ) cos ， ( ) 等(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦2 解决条件求值问题的关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示(3) 求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小1 (2018 邵阳模拟 )若角

5、 的终边经过点 ( 1,2)，则 sin 4 (c)2名校名 推荐31010a 10b1010310c 10d 10由题得 sin 222 1 11解析 12 2255 5， cos 12 2255 5，所以 sin sin 2 cos 2221210，故选 c422 5 5 2 5 5 2102 (2018 延安一模 )已知 sin 3cos( )sin( )，则 sin cos cos2的值为2( c )12a 5b535c5d5解析 sin 2 3cos( ) cos 3cos 2cos sin()，2sin cos cos2tan 13，故选 c tan 2，则 sin cos cos

6、 2225sin cos tan 13(2018 湖北联考 )已知 3 4，且1 cos 1 cos 6，则 (d )22210 1137 47a 3或 3b 12或1213 1519 23c 4或d 6或643 解析 3 4，2 2 2， cos 0， sin 0，221 cos 1cos 22 622cos 2sin 2 cos2 sin22cos 242， 3 cos 242 ， 2k或 2kk. z ，2462465即 4k或 4k， k z ，6619 23 3 4， 或，故选 d 663名校名 推荐考点二利用正、余弦定理解三角形解三角形问题的求解策略已知条件解题思路两角 a，b 与

7、一边 a由 a b c 及a b c，可先求出角 c 及 b，再求出sin asin bsin cc两边 b，c 及其夹角由 a2 b2 c2 2bccos a，先求出 a，再求出角 b， ca三边 a， b， c由余弦定理可求出角 a， b， c由正弦定理a b可求出另一边b 的对角 b，由 c (a两边 a，b 及其中一sin asin baca b 求角边的对角 a可求出 c，而通过b)可求出角 c，再由 sin asin csin asin bb 时，可能有一解或两解或无解的情况1(2018 坊二模潍 )在 abc 中，a，b，c 分别是角a，b，c 的对边，且 2sin c sin

8、b sin bacos b，则 a (c)a 6b 42c3d3解析 2sin c sin b acos b，sin bbcos a由正弦定理可得2c bacos b，bbcos a即 abcos b (2c b)bcos a由余弦定理可得a2 c2 b2b2 c2 a2ab(2c b) b，2ac2bc整理可得 bc b2 c2 a2.cos ab2 c2 a21， a(0 ，)， a.故选 c2bc232 (2018 武汉一模 )在 abc 中， ab 1， bc2，则角 c 的取值范围是 ( a ) a 0， 6b 4，2 c，d6，6 224名校名 推荐解析abbc11sin a，所以

9、 sin c sin a，所以 0 sin c ，因 ab bc，c 必定为锐角，sin c22故 c 0， 6 3 (2018 郴州二模 )在锐角 abc 中，角 a、 b、 c 的对边分别为a、 b、 c，若 ( a2 b2c2)tan c ab，则角 c 的值 6解析222a2 b2 c21，即 cos c在 abc 中，由 (a b c )tan cab，整理得2ab2tan ccos c， cos c1 5abc为锐角三0， sin c ， c 为 abc 内角， c 或，因为2sin c266角形， c ，故答案为 66考点三正、余弦定理的实际应用解三角形实际问题的常见类型及解题思

10、路(1) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形， 先解已知条件的三角形， 然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程 (组 )，解方程 (组 )得出所要求的解1如图，小明同学在山顶a 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在 a 处测得公路上 b，c 两点的俯角分别为 30，45，且 bac 135.若山高 ad 100 m，汽车从 b 点到 c 点历时 14 s，则这辆汽车的速度约为 _22.6_m/s(精确到 0

11、.1， 2 1.414，5 2.236)解析 因为小明在 a 处测得公路上 b，c 两点的俯角分别为30，45，所以 bad 60，cad 45.设这辆汽车的速度为 v m/s，则 bc 14v在 rtadb 中， abad 100 200cosbadcos 60在 rtadc 中， ac ad 100 100 2cos cadcos 45在 abc 中，由余弦定理，得5名校名 推荐bc2 ac2 ab2 2acabcos bac ，即 (14v)2 (100 2)2 2002 2 100 2200 cos 135 ，所以 v50 10 22.6，7所以这辆汽车的速度约为 22.6 m/s2如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过 420 s 后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为 _2_650_m (取 2 1.4，3 1.7)解析如图，作cd 垂直于 ab 交 ab 的延长线于点d，由题意知 a 15，