等差数列的前n项和PPT

1、2.2 等差数列的前n项和,问题提出,有200根相同的圆木料,要把它们堆放成正三角形垛,并使剩余的圆木料尽可能的少,那么将剩余多少根圆木料,根据题意,各层圆木料数比上一层多一根,故其构成等差数列,1,2,3,4,设共摆放了n层,能构成三角形垛的圆木料数为Sn,则,Sn=1+2+3+4+n,问题提出,这是一个等差数列的求和问题.如何计算该等差数列的和呢,高斯在10岁时就巧妙地求出了n=100时的结果,S100=1 +2 +3 +4 +98+99+100,100+99+98+97+3 + 2+ 1,这两个等式上、下对应的和均为101，所以,2S100=101+101+101+101+101+101

2、,因为有100个101，所以,2S100=101100=10100,S100=5050,抽象概括,设Sn是等差数列an的前n项和，即,那么根据等差数列an的通项公式，上式可以写成,再把项的次序反过来，又可以写成,把，等号两边分别相加，得,n个,于是，首项为a1 ，末项为an，项数为n的等差数列的前n项和,这个公式表明:等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半,将,代入式 ，得,特别地，当a1 =1， d =1时，n个连续正整数的和,圆木料问题，即转化为求满足,的最大自然数n,此时，将堆垛19层，剩余10根圆木料,例7：求n个正奇数的和,解: 由等差数列前n项和公式,得,也可用面积图来

3、表示,例8：在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成,最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问: (1)第9圈共有多少块石板? (2)前9圈一共有多少块石板,解(1)设从第1圈到第9圈石板数所在成数列为an ,由题意可知an是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9,由等差数列的通项公式,得第9圈有石板,2)由等差数列前n项和公式,得前9圈一共有石板,答 第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板,例9 在数列an中 , an=2n+3,求这个

4、数列自第100项到第200项之和S的值,解 由于,所以数列an是公差为2的等差数列,此数列自第100项到第200项仍是等差数列.共有101项,所求和为,例10 在新城大道一侧A处,运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗,这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗,并返回A处,植树工人共走了多少路程,解 植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程(单位:m)组成了一个数列,0,20,40,60,380,这是首项为0,公差为20,项数为20的等差数列,其和,答 植树工人共走了3800 m的路程,例11 九江抗洪指挥部接到预报,24时后有一洪峰到达.为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的部队指挥员和九江干群连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆工作24时.但目前只有一辆车投入施工,其余的需从昌九高速公路沿线抽调,每隔20分能有一辆车到达,指挥部最多可调集25辆车,那么在24时内能否构筑成第二道防线,解 从第一辆车投入工作算起,各车工作时间(单位:h)依次为,这是一个等差数列,25辆车可以完成的工作量为,需要完成的工作量为,因此,在24小时内能构筑成第二道防线,1 已知一个数列的前n项和为,解：当,练习,求它的通项公式,它是等差数列吗,当n=1时,1(n=1,2n(n2,数列an中每一项与前