三角函数与平面向量的综合应用

1、.三角函数与平面向量的综合应用【要点梳理】1 三角恒等变换(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围2 三角函数的性质(1)研究三角函数的性质，一般要化为yAsin(x)的形式，其特征：一角、一次、一函数(2)在讨论yAsin(x)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设tx，yAsin t，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的3 解三角形解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合

2、起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现4 平面向量平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性【自我检测】1 已知角终边上一点P(4,3)，则的值为_2 已知f(x)sin(x)cos(x)的一条对称轴为y轴，且(0，)，则_.3. 如图所示的是函数f(x)Asin(x)B(A0，0，|)图象的一部分，则f(x)的解析式为_4 (2012四川改

3、编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连接EC、ED，则sinCED_.5. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，ADAB，AD1，BC2，AB3，P是BC上的一个动点，当取得最小值时，tanDPA的值为_【题型深度剖析】题型一三角恒等变换例1设0,00)的最小正周期为2，并且当x时，f(x)max2.(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由题型三三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例3已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b

4、，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围思维启迪：(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值(2)在ABC中，求出A的范围，再求f(A)的取值范围探究提高(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响【训练3】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且lg alg blg cos Blg cos A0.(1)判断ABC的形状；(2)设向量m(2a，b)，n(a，3b)，且mn，(mn)(nm)14，求a，b，c的值【高

5、考中的平面向量、三角函数客观题】典例1：(5分)(2012山东)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0 C1 D1考点分析本题考查三角函数的性质，考查整体思想和数形结合思想解题策略根据整体思想，找出角x的范围，再根据图象求函数的最值解后反思(1)函数yAsin(x)可看作由函数yAsin t和tx构成的复合函数(2)复合函数的值域即为外层函数的值域，可以通过图象观察得到典例2：(5分)(2012天津)在ABC中，A90，AB1，AC2.设点P，Q满足，(1)，R.若2，则等于 ()A. B. C. D2考点分析本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积和运算求解能力解题策略

6、根据平面向量基本定理，将题中的向量，分别用向量，表示出来，再进行数量积计算解后反思(1)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题求解的基础；(2)本题在求解过程中利用了方程思想【感悟提高】方法与技巧1研究三角函数的图象、性质一定要化成yAsin(x)B的形式，然后利用数形结合思想求解2三角函数与向量的综合问题，一般情况下向量知识作为一个载体，可以先通过计算转化为三角函数问题再进行求解失误与防范1三角函数式的变换要熟练公式，注意角的范围；2向量计算时要注意向量夹角的大小，不要混同于直线的夹角或三角形的内角【专项训练1】1 (2012大纲全国)ABC中，AB边的高为CD，若a，b，

7、ab0，|a|1，|b|2，则等于()A.ab B.ab C.ab D.ab2 已知向量a(2，sin x)，b(cos2x,2cos x)，则函数f(x)ab的最小正周期是()A. B C2 D43 已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(，1)，n(cos A，sin A)若mn，且acos Bbcos Acsin C，则角A，B的大小分别为()A.， B.， C.， D.，4 已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos ，sin )，则向量与向量的夹角的取值范围是 ()A. B. C. D.5 (2012北京)在ABC中，若a3，b，A，则C的大小为_6 在直角坐

8、标系xOy中，已知点A(1,2)，B(2cos x，2cos 2x)，C(cos x,1)，其中x0，若，则x的值为_7 已知函数f(x)sin xcos x，且f(x)2f(x)，f(x)是f(x)的导函数，则_.8 (10分)已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值；(2)若1，求的值9 (12分)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsin A.(1)求B的大小；(2)求cos Asin C的取值范围【专项训练2】1 (2012江西)已知f(x)sin2，若af(lg 5)，bf，则()Aab0 Ba

9、b0 Cab1 Dab12 已知a，b(1，)，则|atb| (tR)的最小值等于()A1 B. C. D.3在ABC中，3，ABC的面积SABC，则与夹角的取值范围是 A. B. C. D.4 (2011安徽)已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数f(x)对xR恒成立，且ff()，则f(x)的单调递增区间是_5若0，0且a1)，试讨论函数的奇 偶性、单调性三角函数与平面向量的综合应用【要点梳理】1 三角恒等变换(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系(3)注意公

10、式应用的条件、三角函数的符号、角的范围2 三角函数的性质(1)研究三角函数的性质，一般要化为yAsin(x)的形式，其特征：一角、一次、一函数(2)在讨论yAsin(x)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设tx，yAsin t，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的3 解三角形解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现4 平面向量平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法平面向量

11、数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性【自我检测】1 已知角终边上一点P(4,3)，则的值为_答案解析tan .根据三角函数的定义得tan .所以.2 已知f(x)sin(x)cos(x)的一条对称轴为y轴，且(0，)，则_.答案解析f(x)sin(x)cos(x)2sin，由k (kZ)及(0，)，可得.3. 如图所示的是函数f(x)Asin(x)B(A0，0，|)图象的一部分，则f(x)的解析式为_答案f(x)2sin1解析由于最大值和最小值之差等于4，故A2，B1.由于22sin 1，且|，得.由图象知()2k (k

12、Z)，得2k(kZ)又2，01.函数f(x)的解析式是f(x)2sin1.4 (2012四川改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连接EC、ED，则sinCED_.答案解析方法一应用两角差的正弦公式求解由题意知，在RtADE中，AED45，在RtBCE中，BE2，BC1，CE，则sinCEB，cosCEB.而CED45CEB，sinCEDsin(45CEB)(cosCEBsinCEB).方法二利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解由题意得ED，EC.在EDC中，由余弦定理得cosCED，又0CED，sinCED.5. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，ADAB，AD1

13、，BC2，AB3，P是BC上的一个动点，当取得最小值时，tanDPA的值为_答案解析如图，以A为原点，建立平面直角坐标系xAy，则A(0,0)，B(3，0)，C(3,2)，D(0,1)，设CPD，BPA，P(3，y) (0y2)(3,1y)，(3，y)，y2y92，当y时，取得最小值，此时P，易知|，.在ABP中，tan 6，tanDPAtan().【题型深度剖析】题型一三角恒等变换例1设，sin，求的值思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系解方法一由，得0.由于，故0,0，yf(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)(1)求f(x)的

14、最小正周期及的值；(2)若点R的坐标为(1,0)，PRQ，求A的值思维启迪：三角函数图象的确定，可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程来解决解(1)由题意得T6.因为P(1，A)在yAsin(x)的图象上，所以sin()1.又因为00，所以A.探究提高本题确定的值时，一定要考虑的范围；在三角形中利用余弦定理求A是本题的难点【训练2】已知函数f(x)Asin xBcos x(A，B，是常数，0)的最小正周期为2，并且当x时，f(x)max2.(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由解(1)因为f(x)sin(x

15、)，由它的最小正周期为2，知2，又因为当x时，f(x)max2，知2k (kZ)，2k (kZ)，所以f(x)2sin2sin.故f(x)的解析式为f(x)2sin.(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令xk (kZ)，解得xk，由k，解得k，又kZ，知k5，由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴，其方程为x.题型三三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例3已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围思维启迪：(1

16、)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值(2)在ABC中，求出A的范围，再求f(A)的取值范围解(1)mnsin cos cos2sin sin，mn1，sin.cos12sin2，coscos.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin(BC)ABC，sin(BC)sin A0.cos B，0B，B.0A.，sin.又f(x)sin.f(A)sin.故函数f(A)的取值范围是.探究提高(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，

17、通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响【训练3】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且lg alg blg cos Blg cos A0.(1)判断ABC的形状；(2)设向量m(2a，b)，n(a，3b)，且mn，(mn)(nm)14，求a，b，c的值解(1)因为lg alg blg cos Blg cos A0，所以1，所以sin 2Asin 2B且ab.因为A，B(0，)且AB，所以2A2B，即AB且AB.所以ABC是非等腰的直角三角形(2)由mn，得mn0.所以2a23b20.由(

18、mn)(nm)14，得n2m214，所以a29b24a2b214，即3a28b214.联立，解得a，b2.所以c.故所求的a，b，c的值分别为，2，.【高考中的平面向量、三角函数客观题】典例1：(5分)(2012山东)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0 C1 D1考点分析本题考查三角函数的性质，考查整体思想和数形结合思想解题策略根据整体思想，找出角x的范围，再根据图象求函数的最值解析由题意.画出y2sin x的图象如图，知，当x时，ymin.当x时，ymax2.故ymaxymin2.答案A解后反思(1)函数yAsin(x)可看作由函数yAsin t和tx构成的复合函数

19、(2)复合函数的值域即为外层函数的值域，可以通过图象观察得到典例2：(5分)(2012天津)在ABC中，A90，AB1，AC2.设点P，Q满足，(1)，R.若2，则等于 ()A. B. C. D2考点分析本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积和运算求解能力解题策略根据平面向量基本定理，将题中的向量，分别用向量，表示出来，再进行数量积计算解析(1)，(1)224(1)342，即.答案B解后反思(1)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题求解的基础；(2)本题在求解过程中利用了方程思想【感悟提高】方法与技巧1研究三角函数的图象、性质一定要化成yAsin(x)B的形式，然后利用数

20、形结合思想求解2三角函数与向量的综合问题，一般情况下向量知识作为一个载体，可以先通过计算转化为三角函数问题再进行求解失误与防范1三角函数式的变换要熟练公式，注意角的范围2向量计算时要注意向量夹角的大小，不要混同于直线的夹角或三角形的内角【专项训练1】1 (2012大纲全国)ABC中，AB边的高为CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则等于()A.ab B.ab C.ab D.ab答案D解析利用向量的三角形法则求解如图，ab0，ab，ACB90，AB.又CDAB，AC2ADAB，AD.(ab)ab.2 已知向量a(2，sin x)，b(cos2x,2cos x)，则函数f(x)ab的最小正

21、周期是()A. B C2 D4答案B解析f(x)2cos2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x1sin，T.3 已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(，1)，n(cos A，sin A)若mn，且acos Bbcos Acsin C，则角A，B的大小分别为()A.， B.， C.， D.，答案C解析由mn得mn0，即cos Asin A0，即2cos0，Ab，B.CAB.6 在直角坐标系xOy中，已知点A(1,2)，B(2cos x，2cos 2x)，C(cos x,1)，其中x0，若，则x的值为_答案或解析因为(2cos x1，2cos 2x2)，(cos

22、x,1)，所以(2cos x1)cos x(2cos 2x2)12cos2xcos x0，可得cos x0或cos x，所以x的值为或.7 已知函数f(x)sin xcos x，且f(x)2f(x)，f(x)是f(x)的导函数，则_.答案解析由题意知，f(x)cos xsin x，由f(x)2f(x)，得cos xsin x2(sin xcos x)，得tan x3，所以.三、解答题(共22分)8 (10分)已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值；(2)若1，求的值解(1)(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，2(c

23、os 3)2sin2106cos ，2cos2(sin 3)2106sin ，由|，可得22，即106cos 106sin ，得sin cos .又，.(2)由1，得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sin cos .又2sin cos .由式两边分别平方，得12sin cos ，2sin cos .9 (12分)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsin A.(1)求B的大小；(2)求cos Asin C的取值范围解(1)由a2bsin A，根据正弦定理得sin A2sin Bsin A，所以sin B，由ABC为锐角三角形可得B.(2)由(1)可知ACB，故CA.故cos Asin Ccos Asincos Asincos Acos Asin