高考数学一轮复习人教A版理第7章第6节空间向量及其运算教案

1、名校名 推荐第六节空间向量及其运算考纲传真 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 .3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示， 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直(对应学生用书第117 页)基础知识填充 1空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相(或平行向量 )平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0

2、)，ab 的充要条件是存在实数 ，使得 ab.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b 不共线，那么向量p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y) ，使 pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a， b， c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组 x， y，z ，使得 p xaybzc，其中， a， b，c 叫做空间的一个基底3两个向量的数量积(1)非零向量 a，b 的数量积 ab |a|b|cosa， b(2)空间向量数量积的运算律：结合律： (a) b(ab)；交换律： ab ba；1名校名 推荐分配律： a(bc)abac.4空间向量的坐标表示及其

3、应用设 a (a1，a2， a3)， b (b1，b2， b3)向量表示数量积ab共线ab(b 0， r )垂直ab0(a0，b0)模|a|夹角a，b(a 0，b0)坐标表示a1b1a2b2 a3b3a1 b1，a2 b2， a3b3a1b1a2b2 a3b30222a1a2 a3 a1b1a2b2 a3b3cos a ,b12 a22a3212b22b32ab 基本能力自测 1(思考辨析 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间中任意两非零向量 a，b 共面 ()(2)对任意两个空间向量a， b，若 ab0，则 a b.()(3)若 ab0，则 a， b是钝角 ()若，

4、，是空间任意四点，则有)(4) ab cdab答案 (1)(2)(3)(4)1 11 1 中，m 为 a 1 12(教材改编 )如图 7-6-1 所示，在平行六面体 abcd-a b c dc与 b1d1 的交点若 ab a，adb，aa1 c，则下列向量中与bm相等的向量是()图 7-6-111a 2a2b c11b 2a 2bc11c 2a2b c2名校名 推荐11d2a2bc 1 111abmbb1b1aa12(adab 2am)c 2(b a)2b c.3若向量 c 垂直于不共线的向量a 和 b， d ab(、r，且 0)，则 ()acdbcdcc 不平行于 d， c 也不垂直于 dd

5、以上三种情况均有可能b 由题意得， c 垂直于由 a， b 确定的平面da b， d 与 a，b 共面cd.4已知 a (2,3,1)， b (4,2，x)，且 ab，则 |b|_.2 6 ab， ab 2 (4) 3 2 1x 0， x2， |b| 4 222 222 6.5已知向量 a (4，2， 4)，b(6，3,2)，则(ab) (a b)的值为 _13( a b) (ab)a2 b2 42 ( 2)2 ( 4)2 62 ( 3)2 22 13.(对应学生用书第118 页)空间向量的线性运算如图 7-6-2 所示，在空间几何体 abcd-a1b1c1d1 中，各面为平行四边形，设 aa

6、1 a， abb，ad c，m， n，p 分别是 aa1，bc，c1d1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：3名校名 推荐图 7-6-2(1)ap；(2)mp nc1.解 (1)因为 p 是 c1d1 的中点， 所以 apaa1a11 d1dp1 aad2d1c11 1ac2ab a c 2b.1 的中点，(2)因为 m 是 aa1 所以 mp maap a1aap2112a a c 2b112a2b c.因为 n 是 bc 的中点，1 则nc1 nccc12bcaa11 12adaa12ca，所以 mp nc1111 2a2bc a2c3132a2b 2c. 规律方法 用基向量表示指

7、定向量的方法1 结合已知向量和所求向量观察图形.4名校名 推荐2将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中 .3利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.跟踪训练 如图 7-6-3 所示，已知空间四边形 oabc，其对角线为 ob，ac，分别为，的中点，点在线段mnoabcgmn 上，且 mg2gn，若 ogxoa yobzoc，则 xyz_.图 7-6-356连接 on，设 oa a， ob b， occ，11 则mn on om2(oboc) 2oa1112b2c2a，1 2ogom mg2oa 3mn121111112a3 2b 2c2a 6a3b3c.111又o

8、gxoayob zoc，所以 x6，y3，z3，1115因此 x y z6336.共线、共面向量定理的应用(1)(2017 佛山模拟 )已知 a (1,0,2)，b(6,21,2)，若 a b，且a 与 b 反向，则 _. 【导学号： 97190246】5名校名 推荐(2)已知 e， f， g，h 分别是空间四边形abcd 的边 ab，bc，cd，da 的中点，用向量方法求证：e，f，g， h 四点共面；bd平面 efgh .(1)5 ab，且 a 与 b 反向，2 (6,21,2)k(1,0,2)，k0.6k 1 ， 21 0，2 2k，2， 3，解得1或122，1当 2，2时， k 2 不

9、合题意，舍去1当 3， 2时， a 与 b 反向1 5因此 32 2. 1 (2) 证明 连接 bg，则egebbgeb2(bcbd) eb bf eh 四点共面efeh，由共面向量定理知 e，f，g， h1 1 1 1 因为 eh ahae 2ad 2ab2(ad ab) 2bd，因为e，h， d， b四点不共线，所以ehbd又 eh? 平面 efgh，bd?平面 efgh.所以 bd平面 efgh. 规律方法 1.证明点共线的方法证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明a，b，c 三点共线，即证6名校名 推荐明 ab，ac共线，亦即证明 abac 0 .2.证明点共面的方法证明点共面

10、问题可转化为证明向量共面问题，如要证明p，a，b，c 四点共面， 证明 pa xpbypc，或对空间任一点o，有 oaobxpbypc，或 opxoa 即可 yobzocx.y z 1跟踪训练 已知 a，b， c 三点不共线，对平面 abc 外的任一点 o，若点 1 m 满足 om 3(oaoboc)(1)判断 ma，mb，mc三个向量是否共面；(2)判断点 m 是否在平面 abc 内解oboc3om，(1)由已知 oaoaom (om ob (om oc)即mabm cm mbmc，ma，mb， mc共面(2)由(1)知 ma， mb，mc共面且过同一点 m .四点 m， a， b， c 共

11、面，从而点 m 在平面 abc 内空间向量数量积的应用如图 7-6-4 所示，已知空间四边形 abcd 的各边和对角线的长都等于a，点 m，n 分别是 ab， cd 的中点图 7-6-4(1)求证： mn ab， mn cd；(2)求异面直线 an 与 cm 所成角的余弦值7名校名 推荐解 (1)证明：设abp，acq，adr .由题意可知， |p|q| |r|a，且 p， q， r 三个向量两两夹角均为60.11 mnanam 2(acad) 2ab12(qrp)， 1mnrab2(qp) p122(qprpp )12222(a cos 60 a cos 60 a ) 0.mn ab，即 m

12、nab同理可证 mn cd的夹角为 .(2)设向量 an与mc11，an2(acad)2(q r)1mcacam q2p， 11anr)q pmc2(q212112 q2qprq2rp12122122 a2acos 60 a cos 60 2a cos 6012a2a2a2a22 a4 2 4 2 .3，又 |an|mc|2a| 33a2an|an|mc|cos2 a 2 acos 2 .mc2cos 3.2向量 an与mc的夹角的余弦值为3，从而异面直线 an 与 cm 所成角的余弦8名校名 推荐2值为 3. 规律方法 1.空间向量数量积计算的两种方法1 基向量法： ab|a|b|cos a

13、， b .2 坐标法：设 a x1，y1， z1 ，b x2，y2， z2 ，则 ab x1x2y1y2z1z2. 2.利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题1 a b? ab 0.2 |a| a2.ab3 cosa， b |a|b|.易错警示： 空间向量的坐标x，y，z 有三个，在进行运算时千万别看串了.跟踪训练 如图 7-6-5，在平行六面体 abcd-a1b1c1d1 中，以顶点 a 为端点的三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60.图 7-6-5(1)求 ac1 的长；(2)求 ac 与 bd1 夹角的余弦值 . 【导学号： 97190247】解 (1)设aba，adb，aa1c，则 |a| |b|c| 1，a，b b， c c，a 60， abbcca12.|ac1|2(a b