第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质（教案）

1、 二轮数学第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质考情分析圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考热点，多以选择、填空考查，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程求法，难度中档偏下.年份卷别考查角度及命题位置2017卷抛物线中弦长最值问题T10双曲线的离心率T15卷双曲线的离心率T9抛物线中弦长问题T16卷双曲线方程求法T5椭圆离心率求法T102016卷抛物线与圆的综合问题T10卷双曲线的定义、离心率问题T11卷直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率T112015卷双曲线简单性质的应用T5结合椭圆的性质求圆的标准方程T14卷双曲线的几何性质T11真题自检1(2016高考全国卷)以抛物线C的顶点为圆心

2、的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2B4C6 D8解析：设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.答案：B2(2016高考全国卷)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B.C. D2解析：法一：作出示意图，如图，离心率e，由正弦定理得e.故选A.法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|.又sinMF

3、2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由双曲线的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e.答案：A3(2016高考全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B.C. D.解析：如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c，0)设E(0，m)，由PFOE，得，则|MF|.又由OEMF，得，则|MF|.由得ac(ac)，即a3c，e.故选A.答案：A 椭圆、双曲线、抛物线

4、的定义及标准方程方法结论1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：2a(2a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系3抛物线方程中p的几何意义为焦点到准线的距离题组突破1(2017河南八市联考)已知点M(3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y22x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是()A.B3C. D2解析：抛物线的准线方程为x，依据抛物线的定义，得|QM|QF|xQ3|，选C.答案：C2(2015高考全国卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C

5、的准线与E的两个交点，则|AB|()A3 B6C9 D12答案：B3(2017广东五校联考)设椭圆E：1(ab0)的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E上在第二象限内的点，直线BO交E于点C.若直线BF平分线段AC，则E的离心率为_解析：设AC的中点为M，连接OM，AB，则OM为ABC的中位线，B，F，M在一条线上，于是OFMAFB，且，即，解得e.答案：4(2017高考全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为yx，即bxay0，圆心

6、A到此渐近线的距离d，因为MAN60，圆的半径为b，所以bsin 60，即，所以e.答案：类题通法1与已知双曲线1共渐近线的双曲线方程可设为：(1)2已知双曲线的一条渐近线ymx(m0)，则要注意判断其焦点位置后，才能说明|m|，还是，从而再利用e 求离心率3等轴双曲线的两渐近线垂直e. 直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系方法结论弦长问题设直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线AB的斜率存在(设为k)，则|AB|x1x2|或|AB|y1y2|(k0)，其中|x1x2|，|y1y2|；若直线AB的斜率不存在，则直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦

7、长典例(1)(2017洛阳模拟)已知抛物线C：x24y的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A，B两点，若230，则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为_解析：法一：依题意得，抛物线的焦点F(0,1)，准线方程是y1，因为2()()0，即20，所以F，A，B三点共线设直线AB：ykx1(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由，得x24(kx1)，即x24kx40，x1x24；又20，因此2x1x20.由解得x2，弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为(y11)(y21)(y1y2)1(xx)11.法二：依题意得，抛物线的焦点F(0,1)，准线方程是y1，因为2()()0，即20，所以F，A

8、，B三点共线不妨设直线AB的倾斜角为，0，|FA|m，点A的纵坐标为y1，则有|FB|2m.分别由点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1，B1，作AMBB1于M，则有|AA1|AF|m，|BB1|FB|2m，|BM|BB1|AA1|m，sin ，|AF|y112|AF|sin ，|AF|，同理|BF|y21，|AF|BF|，因此弦AB的中点到抛物线C的准线的距离等于(y11)(y21)(y1y2)1(|AF|BF|).答案：(2)(2017合肥质检)已知点F为椭圆E：1(ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线1与椭圆E有且仅有一个交点M.求椭圆E的方程；设直线

9、1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围解析：由题意，得a2c，bc，则椭圆E为1.由，得x22x43c20.直线1与椭圆E有且仅有一个交点M，44(43c2)0c21，椭圆E的方程为1.由得M(1，)，直线1与y轴交于P(0,2)，|PM|2，当直线l与x轴垂直时，|PA|PB|(2)(2)1，|PM|2|PA|PB|，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(34k2)x216kx40，依题意得：x1x2，且48(4k21)0，|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)1，(1)

10、，k2，1.综上所述，的取值范围是，1)类题通法直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想，化归思想及数形结合思想，着重考查运算及推理能力，其解决的方法一般是：(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在进行讨论，或将直线方程设成xmyb的形式；(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程，利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系；(3)涉及弦的问题，一般要用到弦长公式|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.演练冲关1已知F1，F2分别为双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|BF

11、2|AF2|51213，则双曲线的离心率为()A.B.C. D.解析：因为|AB|BF2|AF2|51213，所以可设|AB|5t，|BF2|12t，|AF2|13t(t0)，由|AB|2|BF2|2|AF2|2可知ABBF2，由双曲线的定义得，|BF1|BF2|2a，|AF2|AF1|2a，两式相加得|BF1|BF2|AF2|AF1|4a，即|AB|AF2|BF2|4a，所以6t4a，解得at，所以|AF1|AF2|2a13t3t10t，|BF1|AB|AF1|15t，由勾股定理得4c2|BF1|2|BF2|2(15t)2(12t)2，解得c，所以双曲线的离心率e，故选B.答案：B2已知抛物

12、线x22py上点P处的切线方程为xy10.(1)求抛物线的方程；(2)设A(x1，y1)和B(x2，y2)为抛物线上的两个动点，其中y1y2且y1y24，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求ABC面积的最大值解析：(1)设点P(x0，)，由x22py得y，y，切线的斜率为1，1且x010，解得p2，抛物线的方程为x24y.(2)设线段AB的中点M(x3，y3)，则x3，y3，kAB(x1x2)，直线l的方程为y2(xx3)，即2xx3(4y)0，l过定点(0,4)x22xx32x80，得4x4(2x8)02x32，|AB|x1x2|，C(0,4)到AB的距离d|CM|，SABC|AB|d

13、8，当且仅当x4162x，即x32时取等号，SABC的最大值为8. 圆锥曲线与其他知识的交汇圆锥曲线与方程是解析几何的核心部分，是高考重点考查的内容，且所占分值较大，近年高考中，圆锥曲线与圆、平面向量、解三角形、不等式等知识交汇命题，成为命题的热点和难点典例(2017武汉调研)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：设实轴长为2a，虚轴长为2b，令AOF，则由题意知tan ，在AOB中，AOB1802，tanAOBtan 2，|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，设|OA|md，|AB|m，|OB|md，OABF，(md)2m2(md)2，整理，得dm，tan 2，解得2或(舍去)，b2a，ca，e.答案：C类题通法平面向量与圆锥曲线的交汇问题多考查平面向量的应用，通过运算沟通数与形的转化