数学建模一周试题

1、试题1.本次数学建模周共有如下十五道题。每支队伍（2-3人/队）必须从以下题中任意选取一题，并完成一篇论文，具体要求参阅论文格式规范。2.指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。3.题目标注为“A”的为有一定难度的题目，选择此题你们将更有可能得到高分。 （一）乒乓球赛问题 (A)A、B两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为 和）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A队以次序出场而B队以次序出场，则打满5局A队可胜局。由此得矩阵如下：（1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？（2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结

2、果？（3） 如果你是A队的教练，你会采取何种出场顺序？（4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？（二）野兔生长问题在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下：T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析该数据，得出野兔的生长规律。 并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10 时野兔的数量。（三）停车场的设计问题在New England的一个镇上，有一位于街角处面积1

3、00200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。（四）奖学金的评定 (A)背景A Better Clas

4、s (ABC)学院的一些院级管理人员被学生成绩的评定问题所困扰。平均来说，ABC的教员们一向打分较松（现在所给的平均分是A）,这使得无法对好的和中等的学生加以区分.然而,某项十分丰厚的奖学金仅限于资助占总数10%的最优秀学生,因此,需要对学生排定名次.教务长的想法是在每一课程中将每个学生与其他学生加以比较,运用由此得到的信息构造一个排名顺序.例如,某个学生在一门课程中成绩为A,而在同一课程中所有学生都得A,那么就此课而言这个学生仅仅属于“中等”。反之，如果一个学生得到了课程中唯一的A，那么，他显然处在“中等至上”水平。综合从几门不同课程所得到的信息，使得可以把所有学院的学生按照以10%划分等级

5、顺序（最优秀的10%，其次的10%，等等）排序。问题（1）假设学生成绩是按照（A+，A, A, B+ ,）这样的方式给出的,教务长的想法能否实现?（2）如果学生成绩是按照(A,B,C,)的方式给出的,教务长的想法能否实现?（3）能否有其他方案给出所希望的排名?（4）需要关心的是,个别一门课程的成绩能否使很多学生按10%划分的等级顺序变化.这种情况能发生吗?数据参赛各队应设计出一组数据用以检验和说明各自的算法,并应使数据能够反映出算法有效性受到限制的情况.（五）购房贷款的比较小李夫妇曾经准备申请商业贷款10万元用于购置住房，每月还款880.66元，25年还清. 房产商介绍的一家金融机构提出：贷款

6、10万元，每半月还款440.33元, 22年还清, 不过由于中介费手续费等原因，贷款时要预付4000元.小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近3万2千元，而每月多跑一趟，那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的.（六）贷款月还款多少随着经济的发展，金融正越来越多的进入普通人的生活；贷款，保险，养老金和信用卡；个人住房抵押贷款是其中重要的一项。2005年12月，中国人民银行公布了新的存，贷款利率水平，其中贷款利率如下表所列 种类, 期限1年以下(含1年)1-3年 (含3年)3-5 年(含5年)5-10 年(含10年)10-15年(含15年)15-20年(含20年)个人住房

7、按揭贷款5.315.315.315.585.585.58 以人民币10万元为例计算贷款的月还款数（计算到20年）（七）. 还款周期与本息总额个人住房贷款以10万元为例子，期限为3年，试讨论随着还款的周期变化，本息总额如何变化。（八）费用分担问题有三个位于某河流同旁的城镇城1、城 2、城3(如图）三城镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。用Q表示污水量，单位为米3/秒，L表示管道长度，单位为公里，则有经验公式： 已知三城镇的污水量分别为：Q1=5立方米/秒，Q2=3立方米/秒，Q3=5立方米

8、/秒，问：三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？每一城镇负担的费用应各为多少？（九）徽章问题 (AAA)题目过长，请查看该文件夹中的徽章问题.doc文档*以下为lingo或者MATLAB软件实现题目*（十）某糖果厂用原料A，B，C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种糖果的中A，B，C的含量，原料成本，各种原料每月的限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。 甲乙丙原料成本/元/kg每月限制用量/kgA2.002000B1.502500C1.001200加工费/元/kg0.500.400.30售价/元/kg3.402.852.25问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少kg，使得到的

9、利润为最大？（十一）、某厂生产三种产品,产品。依次经A、B设备加工，产品经A、C设备加工，产品经过C、B设备加工。已知有关数据如下表所示，请为该厂制订一个最优的生产计划。产 品机器生产率/件/h原料成本/元产品价格/元ABC102015502052510010201045机器成本/元/h200100200每周可用时间/h504560（十二）、(A) 一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后。已知该公司仓库的最大储存量为20万m3，储存费用为元/m3，式中，u为储存时间（季度数）。已知每季度的买进卖出

10、价及预计的销售量如下表所示。季度买进价/元/m3卖出价/元/m3预计销售量/元/m3冬410425100春430440140夏460465200秋450455160由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完，试建立这个问题的线性规划模型。（十三）、某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg营养成分含量及单价如下表饲料蛋白质/g矿物质量/g维生素/mg价格/元/kg1310.50.2220.51.00.7310.20.20.446220.35180.50.80.8 要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。（十四）、某地区有三个化肥厂，除供应外地区需要外，估计每年可供应本地区的数字为：化肥厂A7万吨，B8万吨，C3万吨。有四个产粮区需要该种化肥，需要量为：甲地区6万吨，乙地区6万吨，丙地区3万吨，丁地区3万吨。已知从各化肥厂到各产粮区的每吨化肥的运价如下表所示： 产粮区化肥厂甲乙丙丁A5879B49107C8429试根据以上资料制订