完整版常微分方程试题及答案

1、. 第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1任意微分方程都有通解。( X ) 2微分方程的通解中包含了它所有的解。( X ) ?的解。( O 3函数是微分方程 ) 0?y?3sinx?4cosx?yy2x?的解。( 是微分方程X 4函数) e?x?y0?y?y?2y1?2? (为任意常数)。( 5微分方程的通解是 ) O Cy?x?ln0lnxyx?C 2?) ( X 6是一阶线性微分方程。ysin?y33?O ) 不是一阶线性微分方程。7( xyyy?x?2?) 8 的特征方程为O 。( 0?2r?r5?0?y5y?2y?dy22) 9 是可分离变量的微分方程。( O xyy?1?x d

2、x 二、填空题 1在横线上填上方程的名称?0xdy3?lnxdx?y? 是可分离变量微分方程。?220y?xy?xxdx?dyy 是可分离变量微分方程。ydy 是齐次方程。ln?yx? xdx2?xsiny?xyx? 是一阶线性微分方程。? 是二阶常系数齐次线性微分方程。0yy?y?2? 2个独立常数。的通解中应含 3 x?cosxyyx?sin 1x2?x2?ey?C?eCx 。3的通解是 2141?C?Cx?sin2xcosx? 的通解是4。x?cos2y?sinx 2144223?1xy?2?x?yx?xy 5 3 是阶微分方程。 ?6?0y?yy? 6是阶微分方程。微分方程 2 . .

3、 12?。 所满足的微分方程是70yy?y? xy22? 8。的通解为Cxy?y xdxdy22。 的通解为90?C?yx? yxdy2y5?2。 ，其对应的齐次方程的通解为101x?y?C1x? 2 dxx?12x?2 ? 的通解为。11方程0y?xxy?1Cxe?y2136?。的通解为123阶微分方程 xy?Cxx?y?C?Cx 321120 三、选择题?34? 的阶数是( D )。微分方程10y?xyxyy?y?A3 B4 C5 D 2 25?的通解中应含的独立常数的个数为( A )。 2微分方程 1?yx?yxA3 B5 C4 D 2 3下列函数中，哪个是微分方程的解( B )。 0?

4、2xdx?dy2 C D A Bxy?x?yx2?2xyy2 ?y?y3 4( B )微分方程。的一个特解是3?3323C?y?x?1xy D BA CxC?1y?yx?2? 5函数是下列哪个微分方程的解( C )。 xcosy?n?0yy? A B C Dxcosyyy?0y?y2?y?0?x?x?CCey?CeC?为任意常数。，6( A )，其中是方程 的0y?y2121A通解 B特解 C是方程所有的解 D 上述都不对 ?y|?2的特解是满足( B )。 7yy?0x?xxxx e2?y?ey?2e?ye?1y?3 A B D C2? ( C )。8微分方程的一个特解具有形式x?sinyy

5、?*xy?siny?axacos? A B. . ?* DCxbxsinacosxyy?x?asinx?bcos9下列微分方程中，( A )是二阶常系数齐次线性微分方程。 2? A B0?y3y?xy0?2yy? DC 01yy?5y?4x?02?的特解为( A )满足初始条件。10微分方程 1y?00?yy?xxxx B D CAee2?e1?1?e?的解的函数是( C )。 11在下列函数中，能够是微分方程0?yyx DA B Cey?x?yxyy?1?sin?应满足程方的关系是且切线斜率为的曲线12过点xy3?y1,x2( C )。 ? B D C， A，31y1?3yx?xy2y?2x

6、?yy?2x213下列微分方程中，可分离变量的是( B )。 dyydy?(,是常数) BAybx?ea?kabk dxdxxdyx2?e?xyy?y? C Dx?sin?y dx?的通解是( C )方程14。 0y?2y2xxx2e?y?Ceye4?y? D C BAx?sinydxdyy|?40?的特解是15微分方程满足( A )。 3x?yx222222?Cx?25x?yy?x7?y? D BA CC?3x4ydy1?y?0的通解是( B )。 16微分方程?y dxxC1A B C D C?CxCx? xx?的解为( B )微分方程。 170y?y?xx?xxxeeee?e DA B

7、C18下列函数中，为微分方程的通解是( B )。 0xdxydy?. . 222 A B D CC?yx?0?yCx0?Cx?xy?Cy 。的通解为19微分方程( A )02ydy?dx?2 C DA B C?xy?Cy?x?C?x?C?xyy?20微分方程的通解是( D )。 xdxsincosydy?A B C?sinCxcosy?sinx?cosy?C D C?sinycosxcosx?siny?C?x?的通解为21( C )。 e?y?y?x?xx?x? A C B DCx?C?Cx?Ce?eee?2112?的通解是( A )22按照微分方程通解定义，。 xsiny?A B CC?si

8、nCx?Cx?x?sin?2112C D C?xx?C?Csinsinx?C2211四、解答题 dyx23x?2xe?yC?e?的通解，是方程(验证函数为任意常数)1y?e3?C dx0y|? 的特解。并求出满足初始条件0?x?22?dy?1?yx?1?dxyx02求微分方程的通解和特解。 ?y|?1?x?02y1?22C?1?y2x 解：， 21?xdyyy的通解。 求微分方程3tan? dxxxy?Cxsin。 解： xxy?y? xy求微分方程的特解。 4?y|?2?x?1?222?lnxy?2x。 解：?sinx?ex?y?ycos?的通解。求微分方程5 . . ?x?sin 解：Cx

9、?y?edyy的通解。6求微分方程 x?sin dxx1? 解：Ccosx?sinx?xy x7?0?y?2?x?11yx 27求微分方程的特解。 ?y|?1?0x?12?3?2 解：11x?y?x? 2? 33?x2y?的特解。，8求微分方程 满足初始条件，?y1?y3y?0x? 2x?13 解：1?3?xx?y?的特解。， 9求微分方程满足初始条件，1y?2yyy2y?0x?y?tanx? 解：或?xarctany? 44?22所确定的函数为微分10验证二元方程方程C?yx?xy?的解。 yxy?x?2y2 ?yx?yxx?ydy?dx?eee0?e的通解。求微分方程11 ?yx?C?e1

10、?1e 解：dyy|?0的特解。， 12求xsec?y?tanx?0x? dxx 解：?y xcos2?xy?cosxy?sinyy?0?的解，验证13，都是并写出该方程的通21解。 2x?y2?y的通解。 14求微分方程 x22lnxCxy?x 解：. . 1?x?的特解。 15求微分方程满足初始条件01?y0ye?y? xxe?y?ex解： xdy2?3的通解。16求微分方程 1x?y? dxx?1?2?1x?2 解：C?1y?x? 2?xy?的特解。满足条件17求微分方程 0dx?dy?10y? 1?y1?x?2233 解：52yy?x?x?3?的通解。 18求微分方程0yy?y?2?x

11、?2x 解：e?eCy?C21?的通解。 19求微分方程0?y5y?2y?x? 解：x2xe?CsinCcos2?y21?的通解。20求微分方程 0?y?4?4yy?2xeCy?xC? 解：21x?10,M相切的积分曲线。 的经过点21试求且在此点与直线1?yxy? 2113 解：1y?x?x 26(B) 一、是非题 1可分离变量微分方程不都是全微分方程。( X ) ?xxxy?yxQyyxyx?Py线性无关，若的特解，且与都是，22211?xy?yxx?yyxC?。( 则通解可表为O ) 211?xx?y?yy0?ee?y的解。( 是微分方程O ) 3函数212211?y,x处的切线斜率等于

12、该点横坐标的平方，则曲线所满足的微曲线在点42?xCy?(是任意常数分方程是)。( X ) C. . 1y?2xx2y?。，满足初始条件5微分方程的特解为0y|?ey?1ee? 0?x2) ( X 二、填空题?的两个解，则该方程的通解为是方程与1xy?cosxsiny?0?yy?21 。xsin?Cy?Ccosx21x3?x? 的通解为2微分方程。e?CeCy0?y3y?2y21?x? 。3微分方程的通解为eC?y?Cx0?y?y?2y211x22x2?ey? 。的通解是4微分方程Cx?C?y?eCx 3128x? 5微分方程的通解是。Cy?Ce?yy?21dy2x 6微分方程。的通解是xy?

13、2e?Cy dx 三、选择题? 的两个线性无关解是1微分方程( C )。0?4y?4yyx?222xx?2xx2x2x?x?22 C与A与 D与与 B ex?ee2?4ex?ee?ee 2下列方程中，不是全微分方程的为( C )。?y2y2220dyydx?x3x?6xyedx?6xy?4y?0dy?e2 BA?220?y?dx?yx?2yxdydx?xdy?0x C D?g?ts 的解下列函数中，哪个函数是微分方程( C )。311222gt?s? C BA Dgts?s?gtgt?s 22? 。的解( C )4下列函数中，是微分方程0?7y?12yyx23x23ey?e?yxyy?x C

14、B DA?2?0?y?xy1?x 5方程( D )。的通解是1C12x?32 ?yCxey? D C BA Cx?y?x?x1?yC?2 22x1?y|?1的特解是( A )6微分方程满足。 ydy?ylnln?xxdx?1x?. . 2222 BA1yy?lnln?lnxx?ln2222 DC0y?x?lnln1y?lnln?x?22的通解是7微分方程( A )。 01?y1?x?dxdy?A B C?Ctanytanxarctanx?arctanyC D C?cotycotx?lnxlny?C?的通解是( C )8微分方程。 x?ysin? A Bx?yy?sin?x?sin? C DC?

15、C?C?xxy?siny?sin?xx?C2112?的通解是( A )。 9方程3?y?xyC3CC C DA B 3?yy?y?3?y?3?C xxxx四、解答题 ?的通解。求微分方程 1xsin?2?63cosy3?9y?x24x?2 解：x3sin2xx?C?xxcos3?xC?y21?的通解。 2求微分方程x?ysin?y6y?71?x6x 解：xsincosx?Ce?57y?Ce 2174?222dy?2?dx?xyx3x0?2xy?y的通解。 3求微分方程C22 解：?yx?xy x(C) 一、是非题 1只要给出阶线性微分方程的个特解，就能写出其通解。X nn?y?xx?y0?yQ

16、?Py，即可已知二阶线性齐次方程2的一个非零解求出它的通解。( O ) 二、填空题 ?x2?xCsin?ey?cosCx。 的通解是微分方程10?4y?y?y521. . 2某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方，2已知x?yx?y1?y?x2。 程的通解为xxy?e?CsinCcos21?xx?。3微分方程的通解为 1Csinex?C?2ycos?2y?ex?y?y21三、选择题 y1?y?的通解为1微分方程( )。 ? 2x1xx?11C? C DA BC?arctanxarctanx?CarctanxCx?arctan xxx?的通解是( )微分方程。 21y?y?xxxx B D C

17、 A1?C?ee?1?Cy?ey?Cye1y?C?yy?3x?3的解是( )。 ?y|?0?1x?11?31y? C D A B x?y?31x?1y?1y? xx?dyyy的通解为( )4微分方程。 tan? dxxxx1yy1xsin?Cxsin? B D C Asin?Cxsin yyCxxxCx257?*?1x?y?yx?p，则此微分的一个特解为5已知微分方程1xy? 22 3方程的通解是( )。 2C2C77?1?1x?x A B 22 ? 221131x?1?x2277?22 C D1?C1x?x?1x?1x? 22 311x?1?yeya， 为常数)( )的一个特解应具有形式(式

18、中。6微分方程bxxxx?bx?bxaxe?baeaxebae? B D A C 四、解答题 ?x?y?xxy?pxe?y的一个解，求此微分方程满足条件是微分方程设1y|?0的特解。 2?xln. . ?xx? 到方程解：代入中，得xy?p?xyxx?y?epxex?x? 原方程为xy?xxe?xy?x?xxe? ，1?e1?C?ey?yy?e11? eC? ， 。0y?2lnx?21?x?e?x 。ee?1y?2?x2x?xx?2xxx是某二阶线性非齐次已知，2e?ey?xee?xey?xe?e?y321微分方程的三个解，求此微分方程。 ?x2x?xe?e?y?e?2y?yy均是齐次方程的解且线性无关。， 解：2133?x?x2x齐次方程的时，是齐次方程的通解。当，1?CC?2e2?C?eCe21212x 特解为e?x2x都是齐次方程的解且线性无关。 、ee?x2x是齐次方程的通解。 eCe?C212。 ，2，故特征方程 由此特征方程之根为-10?2r?r? 相应的齐次方程为0?2?yyy 故所求的二阶非齐方程为 ?x?yf?y2y? y是非齐次方程的特解代入上