完整版实变函数第二章点集

1、第二章 点集 学时）（总授课时数 8n 教学目的：R上的测度与积分是本课程的主要研究对象.欧氏空间本节讨论欧氏空间 上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集,闭集和Borel集,Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础. n 本章要点R上的距离给出邻域,内点,聚点的定义由,从而给出开集, 闭集的定义. ?-代数引入Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它有一些很特别 由开集生成一个的性质. 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的 直观,可以帮助理解本节的内容. 本章难点 Borel集、Cantor 集的性质. 授课时数 8学时

2、 nR中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、本章先介绍聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集，并讨论了开集与闭集的性质及其构造.最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理. 1 度量空间，维欧氏空间 n n教学目的R中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型、深刻理解 1的点及点集中的作用. 2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念， 理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念. 3、了解邻域的四条性质. 本节要点 度量空间的概念. 本节难点 度量空间的概念. 授课时数 2学时 一、 度量空间 dX?X?RX为一映射，且满足：设为一非

3、空集合， 定义1d(x,y)?0d(x,y)?0?x?y ，（正定性）（1 d(x,y)?d(y,x) （对称性） （2）d(x,y)?d(x,z)?d(z,y) ）3（三角不等式） 页）11页（共1第(X,d)为度量空间. 则称例1： n?n2)d(R,)x?,y)y?(d(x 其中, （1）欧氏空间ii1i?1x?y?(X,d)d(x,y)? ，其中） 离散空间（2?0x?y?b,aCC上实值连续函数全体), 表示闭区间其中（3） 空间(?b,baad(x,y)?max|x(t)?y(t)| a?t?b二、 邻域 ?)P,U(Pd(P,P)?PP|称为邻域的中 的并记为为2定义： 称集合邻

4、域，.0000?P的邻域，并记为.心，在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为称为邻域的半径0U(P). 0?PP?0N，当，存在 不难看出：点列收敛于的充分必要条件是对任意0mP?U(P)Nm?. 时有：0m容易验证邻域具有下面的基本性质： P?U(P)；1) ?U(P)U(P)P?U(P)?U(P)，则存在 和，2) 对于 如果存在2211U(P)?U(P)?U(P) 321?Q?U(P)U(Q)?U(P)； 3) 对于，存在?)U?(P(P)U(Q)U?Q?P(Q)U 满足，存在4) 对于和A,B间的距离定义为两个非空的点集 定义3： ?Q,BP?infddA, P?A,Q?B?X0B

5、dBA,?BA,，则记中至少有一个是空集，则规定如果；若 ?XA?d,dBA, ?0d,AB?AB。 ，则显然，若 页）11页（共2第E的直径定义为： 一个非空的点集定义4：?Qd,EP?sup P,Q?E?0?0?E?E?E 时，规定至多只有一个元素。显然，当 ?EE为有界集。 ，则称若?nL,1,i?L,X,2,|X?A,X,XA的直积，记为为集合 定义5： 称iii21nn?XL?X?X?A 或n21i1i?n?n?,bI?aII?nRI维欧氏空间定义6： 若则称为为直线上的区间，其中iiii1i?II是开()闭、左开右闭、左闭右开区间，则称中的区间；如果所有闭、左开右闭、都是开(inI

6、RI如果至是)区间。如果所有的中的有界区间；都是直线上的有界区间，则称左闭右开inIRI. 少有一个是是直线上的无界区间，则称中的无界区间in23RRR“长中的区间即长方体，因此注： 中的区间有时也称为中的有界区间即矩形，. 方体”E?EEI为有界集的充要条件是存在为有界集的充要条件是存在有界区间或显然，?),?U(xE 有界邻域00nn?iiiiii ?a,bI)a?I?(IbII的“体积”定义7： 称，即,为区间,1?i1?in? i a?0时，a?a?I?I0?0?0. 当然，这里约定，当.i?1123RRR中的中的区间体积即区间的长度，中的区间体积即矩形面积长宽，注：nnR个边长的乘积

7、，既是区间体积即长方体体积长宽高，因此规定中的区间体积. 合理的又是自然 2、聚点、内点、界点 教学目的1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清它们的区别与联系. E，对一个已知的点集闭包、理解并掌握开核、导集、边界及孤立点集等概念， 2会求这些相关的点集. 页）11页（共3第 3、了解Bolzano-Weierstrass定理. 本节要点 内点、外点、界点、聚点、孤立点及开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念. 本节难点 E，求这些相关的点集对一个已知的点集. 授课时数 2学时 一、 欧氏空间中各类点的定义 o?E)P,?U(PE0,?E ，记为为使得的内点：（1）00c?E?

8、)IU(P,PE0,?EE. 为，）的外点：的外点的全体记为使得（200c?)?U(P,EP)?E?U(P,0,?EE ，记为3）有为的边界点：且（000?)?(E?p)?U(P,P0,?EEE的 的聚点的全体称为，4）有为的聚点：（000E 导集，记为?)?E?,p(UPP0,?E （5）的孤立点：为使得000?)?E?(P,?UP有?0,E （6为）的接触点：00EE.，内点、孤立点一定属于注： 聚点、边界点不一定属于 ?E?E?E?EE?E?E 的孤立点全体由定义可知 oRE?E?E?E?QE? ，则，：例1（1）令 1111?LLE?0,?1,E)(k?1,2,3,LE对一切 ,则的孤

9、立 （2 均为）令? k32k? 点二、 聚点的等价定义 定理1 下面三个陈述是等价的： P?E ； 1）（0?P(,?)?EPU0? ，）对（200?PP,k?P,2,3,Lk?1?PP?E ，使3（）中有各项互异的点列0k0kk? ）是显然的（2证明 （1）?E?P,1U?P?,1UP?PE?P? ，取）：因为3）2（，则01000 页）11页（共4第1?,PUP?PPEE?P?,P?mindP,中至少有一点且且.令，则 ? 0121011102?1?,UPPPP?P?P?E,dP,P?min中至少有一点令， 且，则.? 12023022203?i?P0,1P,2?P. 且满足要求.这样继

10、续下去，便得到点列i3k?EP?U,P,PUkkk?0?，存在自然数3（）当（1）：，时，有即000k0P?E. 为无限集，故0三、 开核、边界、导集之间的关系 00B A ?B?ABA?BA? ，设，则定理2 ? ?A?A?BBB?A?A?B 定理3 ，?BAA?A?BBBA?A?BA?B?，由定理证明：（1）因为2知， ，?BAB?A?BPA?A?BPP?A .另一方面，任取，则，若从而且P?B.于是 ?0，使 1?AUPP,?， 1?0，使 2?PU?P,?B?， 2?,?min，则 取21?BPAU?P,?P?UU?P,P,?PB?A ?A?BBA?PBA?BP?A?BP?A? ，即矛

11、盾.，这与所以这说明?A?A?BB. 综合以上两个方面，即有? ?BB?AAA?B?A?BBB?ABA?A? （2 ） ?A?B.证毕 nR 定理）中的有界点列必有收敛子列（证略）Bolzano-Weierstrass4 定理（ 页）11页（共5第 作业：P49 2, 3, 4, 5 练习题 ?02211?E,EE,E,RRRREE各是有哪些点构是与与中分别看1 上的全体有理点，在时，. 成的 00B A ?BA?BA?BA? ，证明设2 ， 3、开集、闭集、完备集 教学目的1、掌握开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理（对偶性定理及运算方面的定理）. 2、理解Heine-Borel有限覆盖

12、定理. 本节要点 开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理. 本节难点 Heine-Borel有限覆盖定理. 授课时数 2学时 一、开集、闭集的定义 0EE?EE 若中每个点都为内点为开集（) ,则称 EE?EEE 为闭集（与外）,则称紧挨的点不跑到若 EE?E?E?E?E?EE?E ，故等价于的孤立点全体 注：由于ooEE?E?EE 说明：要证显然）是开集，只要证（ EEE?EE?EE 显然）或（ 要证是闭集，只要证)b(a, 例1：开区间为开集? ?bx?minx?a,x),b)?)(axUx?(,a(,b),b(a的任取证明：取是从而,则),b(a 是开集。内点，故ba,. 例2：闭区间

13、为闭集cc? bxx?min?a,?,ba?xU(,)b,?xa, 则,取,证明：任取 页）11页（共6第a,ba,ba,b是闭集。 从而内，从而的接触点都在AA中的任意收敛点列收敛即：为闭集当且仅当注：闭集为对极限运算封闭的点集. A中的点于. onEE?REE都是闭集和对任何，是开集，. 定理1 oooo)E?(EE .1）是开集只要证证明：（o?E?xE?)U(x,0,? 使得，由内点的定义知任取.?则yE?U(x,?d(x,y)?U(y(y?Ux,)?)E的内点，任取，取，从而为oooooooo?为开集，即EU(x,从而)?EE?(E)x?(ExE.为，所以的内点，即从而?E?EE 是

14、闭集。只要证（2）?)?(E?0,有U(x,x)?Ex?取义知，任取由聚点的定，?)x(EUx?(x,?)?min(?dx,x),d(x,x)?Ex，（当时， ，有?),(x,()?Uxx?Ux?)?)?(E?xU(x,E 为，即），从而的聚点，有?EE? 从而。 EE?EE?E?(E)?E?(E)?(EE) 为闭集.利用可得oEE 注：内的最大开集。为含于二、开集与闭集的对偶性 oo cccca)(EE()E?(E)? ）ccEE)bEE为开集。为闭集，则为闭集若;为开集，则若 c?)?EU(x,E)?x?E,?0,?U(x,?E ，证明：设使得为开集，即，从而 ccccCE?CEEEEEx

15、. 从而，即不是内，从而的接触点，也即的接触点一定在为闭集 ccEx?ExxEE?E的任一邻域内至少，任取为闭集，即不是的内点，则 设，假如xxEEEE 为在的接触点，由为闭集可知有一个属于内，的点，从而ccccEx?EEE 的内点，即矛盾，所以为开集。中的点都为这与 三、开集的性质 nR; 空集，为开集）1 页）11页（共7第2） 任意多个开集之并仍为开集； 3) 有限个开集之交仍为开集。 E?(0,1/n), 无限多个开集的交不一定为开集，如：注：nnnRR既开又闭，中只有空集和 E?0,1) 存在大量既不开又不闭的集合，如：四、 闭集的性质 nR为闭集；1）空集， 2）任意多个闭集之交仍

16、为闭集； 3) 有限个闭集之并仍为闭集。 E?0,1?1/n 注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：nnR中开集具有以上三性质，一般距离空间也有此性质，在拓扑空间中以上说明：不仅三性质则是描述开集概念的三公理. 五、完备集 nE?EE?RE是自密集. ，如果，称定义1 设注：（1）如果集合中的每个点都是这个集合的聚点，则这个集合是自密集. (2) 没有孤立点的集合是自密集. nE?E?REE. ，则称2 设，如果为完备集或完全集定义. 完备集是自密闭集，也就是没有孤立点的闭集注： 作业：P49 6, 8, 11 练习题 1、 证明每个闭集必是可数个开集的交， 每个开集必是可数个闭集的并. nR

17、)xff(x)(是连续函数的充分必要条件是对任意开集是设上的实函数，证明：21?1n),f(G?RG R的开集.是 aE?x|f(x)f(x)?a是开集，而、设，是直线上的实值连续函数，则对任意常数3E?x|f(x)?a是闭集. 1 页）11页（共8第?E?,x?Of(x)?limsup|(x)?f(x)|:x)f(xE 上有定义， 称在4、设?)0x(,0?0?tEx?)f(xf(xE集任意，点实在闭集数为上定义，在则对处的振幅，若0?(x)?tx?E:. 为闭集 直线上的开集、闭集及完备集的构造4 教学目的. 介绍直线上的开集，闭集及完备集构造 本节要点 直线上开集构造定理尤为重要，由它演

18、绎出闭集，完备集构造. 定理 本节难点. 直线上开集构造定理 授课时数 学时2 1R 的子集本节所讨论的点集都是 一、直线上的开集、闭集的构造?)?GG(,(,)?GG的一 定义设是是开集，若非空开区间，且，就称 个构成区间：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的定理 并。或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得直线上的闭集或是全直线，. 之集但并不意味无;直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点 孤立点的闭集定为互不相交的闭区间之并。nR中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多. 可数个互不相交的半开半

19、闭区间之并 二、中有关紧性的两个结论RnREE 至少有一个聚点Bolzano-Weierstrass定理：若是.中的一个有界的无限集，则?Laa,a, 点列312 ,，aLa,a,a?aa）（ 14n13121111,La，,aa,aaa） =（n2322242221 页）11页（共9第,Laa，,a,a,aa）=（ n3432313333LLLLLL 注：对无限维空间不一定成立。 Heine-Borel有限覆盖定理 U:i?IU:i?IU?F?FF ，即）则覆盖设中存为有界闭集，若开集簇（ iiii?IU,U,L,UF. ,在有限个开集它同样覆盖n12注： Heine-Borel有限覆盖定理

20、的逆命题也成立. （3）可数覆盖定理 nU:i?IU:i?IU?FRFF 中一 集合，若开集簇覆盖，则设（即为）iiii?IU,U,L,ULF ,它同样覆盖中存在可数个开集n21提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径的圆全体为可数集，开集中的点为nRR的稠密集. 内点，以及有理点全体在中稠密和有理数全体是三、直线上完备集的构造 如：Cantor集 0,1区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自去对掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集. iI?G? 令 定义：)(njn, n次 去掉的开区间第 留下的闭区间 1 i(1)1i?Ii?I1,2 (1)i2 i2(2)Ii?1,222,LiI?1, (2)iMMM n in?1(n)n2,2,LiI?12LI1,2,i? )n(iMMM cG?G0,1?P0,1. 称集为Cantor Cantor集的性质 集中1) 分割点一定在Cantor 页）11页（共10第ciG?0,10,1P?GI?G? , Cantor集为闭集)(ni,n1?1 3?1n?2?1P 的“长度”为02) ，去掉的区间长度和 2n3?11n? 3n2n?11/