复变函数的积分2014修订版

1、第二章 复变函数的积分2.1 复变函数的积分1、复变函数积分的定义（和的极限，与实函数积分类似）设复变函数在光滑或分段光滑的曲线上有定义，则沿的路线积分定义如下：把复数平面上的分为段，每段为而为该段上任取的一点，该点的函数为, 作和：当时，每一个弦元如果这个和的极限存在，而且其值与各个的选取无关。则这个和的极限称为沿曲线从到的路积分。即：因为，如果这两个和式的极限都存在，则表示为积分复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。2. 复变函数积分的性质由积分定义可证明如下性质（1），a是常数（2）（3）（4）（5），若曲线c上有，曲线c的长度为L，

2、则，叫做 长大不等式。例1 书上的例子，求：解：（注：）求解：令于是一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。积分路线不同，其结果也不同。2.2 柯西定理1、单通区域的柯西定理（1）单通区域的定义（2）单通区域柯西定理Cauchy定理：如果函数在闭单通区域上解析，则沿上任一光滑或分段光滑的闭合围线（也可是的边界）的积分为零。即：证明：由于在上解析，即在此区域上处处可导，用可导的充要条件：，连续且满足C-R方程。再应用Green公式：，将回路积分变为面积分，则上式变为：证毕。（根据Cauchy-Riemann方程，右端两个积分中的被积函数均为0）（3）该定理可作些改变：如果在上解析，且在上连续。结论

3、依然正确。这里不要求在上解析，只要连续就可以。（4）推论：在单通区域上解析的函数的积分值只与起点、终点有关，与积分路线无关。证明：在区域上取闭合线路积分，a与b分别是积分的起点与终点。由Cauchy定理有即这说明解析函数在解析域上的积分只与起点a和终点b有关，与路径无关。（积分时可选择便于计算的积分路线）2、复通区域的Cauchy定理（1）复通区域定义，见书，若所研究的函数在区域上并非处处解析，即存在奇（读其）点，作一些适当的闭合曲线把这些奇点挖掉而形成某种带“孔”的区域，即所谓的复通区域。（2）境界线的正方向规定，见书，“正方向”是指当观察者沿着这个方向前进时，区域总是在观察者的左边。即l的

4、逆时针方向和诸li的顺时针方向是正方向。（3）复通区域Cauchy定理:如果是闭复通区域上的单值解析函数。则有：式中为区域外境界线，诸为区域内境界线，积分均沿着境界线的正方向。证明：（见书，严格按照书上的证明讲解。）做割线连接内外境界线，原来的复通区域变成了单通区域，而在这单通区域上是解析的，按单通区域的柯西定理将（2.2.3）式中求和项移到等号右边，改写成：利用复变函数积分的性质：改变积分方向，即有即沿内外境界线逆时针方向积分相等。总结：p26(1) 闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零，推论：在单连通区域中的解析函数f (z)的积分之值只依赖于起点与终点而与积分路径无关。(2) 闭复通区

5、域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零，(3) 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于所有内境界线逆时针方向积分之和。推论：在的解析区域内，当积分回路连续变形时，积分值不变。所谓“连续变形”是指闭合回路变形时不能跨过不解析的区域。例：计算积分 解：如不包围点则根据Cauchy定理，如包围点，则以为圆心，以为半径作一小圆，于是在上，而（注意：积分号中均有箭头，即沿内外境界线的逆时针方向积分）2.3 不定积分若在单通区域上解析，则只跟起点和终点有关，而与路径积分无关。当起点固定时，只与上限终点有关。可证明在上是解析的。，则称为的不定积分或原函数。证明：只须对上任一点证明就行了。

6、在区域上的任一点的邻域取一点，则考虑：在时的极限。（上式最后结果是因为解析，积分值与积分路径无关。）注意到是与积分变量无关的定值，所以有：于是：当时，由于的连续性，对于任给的正数，则有于是：由于可取任意小，故有极限，得：考虑到：于是得证。还可以证明：，即 路积分的值等于原函数的改变量。（可不讲）上述可看出，当知道函数的原函数，就可方便地求出的积分。须注意，在解析域原函数是单值函数。在有奇点存在时，而且能求出原函数的话，则原函数可能是多值函数。例：计算积分 （可先不讲）解：（1）当为正整数时，由的原函数为，则求出此时，在复平面上解析，积分结果与积分路径无关。（2）当时，的原函数为，则：此情形下，

7、点为奇点。当不同积分路线中间有奇点时，积分结果可能不同，主要表现在辐角项不同。b为了看清这点，令沿积分（相对于奇点是正向）沿积分的结果与上式相同。沿积分（相对奇点为反向）与不同。这是因为这两条线中的包围奇点,二者正好相差。（3）当时，是奇点，可积分值也与路线无关。依然成立。例2 见书上的例题：计算积分若回路l不包围点，则被积函数在l所围区域上是解析的，按照柯西定理，积分值为零。若回路l包围点，分两种情况讨论（1）当，被积函数为解析函数，积分值为零。（2）当，f(z)的奇点为，由柯西定理推论可知，l可连续变形为以为圆心而半径为R的圆周C，在C上，当，则;当，则解释：当，的原函数是单值函数，绕一周

8、，原函数的改变量为零。当，的原函数是多值函数，当限制在不含的一个单连通区域内时，就是把限制在某一个单值分支内，绕一周后，改变量为零；当逆时针绕一周，对应于的不同单值分支，绕一周后，的改变量为。总结起来：2.4 柯西公式1、定义若在闭单通区域上解析，为的境界线，为内的任一点，则有柯西公式其中,积分路线沿l的正向。证明：看 这个结论给我们另一个提示：解析函数具有非常强的内在结构。其意义是，如果函数在闭单通区域上解析，l为的境界线，它在B内部的每一点的值都可以由它在边界l上的积分值决定。在静电学中有一个人们熟悉的与它等价的结果：假如实函数u (x,y)在某边界上确定，且若，那么在边界内部任意一处的u值都可以确定，而一个解析函数是由一对这样的调和函数构成的。复通区域的柯西公式：在复通区域上f(z) 解析，显然柯西公式仍然成立，只要将理解为所有境界线，并且其方向均取正向。2、Cauchy公式的几个推论：（1）设在上解析，则在上的任意阶导数均存在，且表示如下：式中，积分路径为上包围点的任意闭合回路。（