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文档简介

1、第三节 格林公式及其应用,格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件 三.二元函数的全微分求积,一. 格林公式,一)、区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域,复连通区域,单连通区域,设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域,如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域,一维单连通 二维单连通,一维单连通 二维不连通,一维不连通 二维单连通,二)、格林公式,定理1,一)格林(Green,G,1793-1841,英国)公式,边界曲线L的正向:

2、当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边,证明(1,同理可证,证明(2,两式相加得,A,B,C,A,B,C,G,F,证明(3,由(2)知,L,1. 简化曲线积分,三)、简单应用,解,例1,L,解,例 2,注意格林公式的条件,2. 简化二重积分,例3,解,3. 计算平面面积,解,例 4,四)、小结,1.连通区域的概念,2.二重积分与曲线积分的关系,3. 格林公式的应用,格林公式,若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向,思考题,思考题解答,由两部分组成,外边界,内边界,二、曲线积分与路径无关的条件,一)、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内有,二)、曲线积分与路径无关的条件,定理2,两条件缺一不可,有关定理的说明,三、二元函数的全微分求积,定理3,解,例 5,解,例 6,解,例7,理论部分: 定理2和定理3的证明,定理2,证 (充分性,证 (必要性,反证法,与假设矛盾,两条件缺一不可,且称不满足(2)的点为奇点,有关定理2的说明,定理3,证 (充分性,定理3,证 (必要性,四、小结,与路径无关的四个等价命题,条件,等 价 命 题,作 业,P

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