2009级985高等数学(下)及其参考答案郑州大学

1、 20092010年第二学期 微积分期末考试试卷（A卷）及其参考答案（985）共8页20题 考试时间：2010.7.6 上午9：0011：30 考试方式：闭卷题号一二三四五 六总分满分得分得 分评卷人评卷人一.填空题（每小题3分，共 18分）（将答案填在题中横线上，不填解题过程）1平面上的抛物线绕轴旋转一周所得旋转曲面的方程为解：2柱面在点处的切平面方程为解：设 ，则所以，切平面的方程为：化简后，得： .3设函数，则 解：令，则，所以，；同理，令，则，所以，故 4设处处有连续的导数，又曲线积分在全平面与路径无关，则解：由于在全平面与路径无关，所以有，即 于是又由算得，故5解：由二重积分的集合意

2、义，知 等于上半球体的体积，故 6函数在点处沿方向的方向导数解：根据方向导数与偏导数之间的关系可知得 分评卷人评卷人 二.单项选择题（每小题3，共 12分）（将正确选项前的字母填入题中的括号内）7. 逐次积分 ； ； ； 解：积分区域是又圆周与直线所围城成.可视为区域故根据化二重积分为二次积分的方法，知： 即选注意：如视为区域，则在实际计算时，需要将其分成两小块分别计算.8. 函数在点处存在，不存在； 存在，不存在；沿任何方向的方向导数存在； 连续.解： ； 9微分方程的特解形式为 ； ； 解：（一）与所求二阶常系数线性齐次微分方程为 其特征方程为 特征根为 （二）方程右端项 故可设方程的特解

3、为其中 为方程 的特解.其求法如下因为，不是特征根，所以可设为 其中 为方程 的特解.其求法如下因为，是特征根，所以可设为故选10. 设函数以为周期，在上的级数的和函数在处的值 ； ； ； 解：由于 ，根据收敛定理知： 故选得 分评卷人评卷人三.（每小题6分，三个小题共18分）11设，其中具有连续的二阶偏导，求解：； 12. 设函数，又是由方程叙所确定的隐函数，求解：（一）方程两边关于求偏导，得： 解得 （1）（二） （代入（1）式） 13求曲线在点处的切线方程.解法一：方程组两边关于求导，得：将代入上式，得： 所以在点处的切向量 故曲线在点处的切线方程为： 解法二：先求曲面在在点处的切平面方

4、程.为此，令，则所以，切平面的方程为：化简后，得： 故曲线在点处的切线的一般式方程为： 进一步，化为点、向式为： 解法三：平面的法向量为；曲面在在点处的切平面的法向量故在点处的切向量 所以曲线在点处的切线方程为： 得 分评卷人评卷人四.（每小题9分，两个小题共18分）14求其中曲线是上从点到点的一段弧.解： ；.则 （1）由格林公式： 所以 15求，其中为上半球面.解： （1） ， （2） 所以 （其中 ） 得 分评卷人评卷人五.（本大题共三小题，每小题满分为8分，共24分）.16求，其中为锥面被平面所截得部分的下侧.解法一：（直接计算）在平面上的投影区域为，将分为，其中（取前侧）；（取后侧）

5、.故 ； （1）在平面上的投影区域为， 的方程为（下侧）所以 （2）故 解法二：利用高斯公式计算 设的前上侧.的下侧.则构成封闭曲面的外侧.因此由高斯公式： 故 解法三 ：化为第一型曲面积分计算.的向下的法向量所以 . （1）故 （代入 （1） 由 ， 所以 解法四：（转向法） （代入（1）式） 这里 （取下侧），故 17计算，其中由平面，及曲面围成.解法一：记是由圆锥面与平面所围成的区域；是由圆锥面与圆柱面所围成的区域；是由两圆柱面，与两平面，所围成的区域.则 采用柱面坐标算之.其中 ； ； ；所以 解法二：记是由圆锥面与平面所围成的区域；是中除去后剩余部分构成的区域.则采用柱面坐标算之. ； ；所以 解法三： 其中；（上式之所以成立，是因为，而，故必有） ；所以 18求，其中解：.由对称性，知：； 得 分评卷人评卷人六（每小题5分，三个小题共10分）19求函数的极值.解：（一）解方程组 得唯一驻点： （二）因为在处故为极小值.20设是空间光滑闭曲面，是由曲面所