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文档简介
1、专题八:公式大全(一)最近几天做题的过程中,越来越觉得有些公式在不同的题目之间反复使用,可谓上镜率颇大。终于又下定决心,要好好整理一下咯!下面将收录,我认为比较重要的部分公式。有些考的少,或者太简单的就不列出来了。相信下面的公式应该会比较有代表性。(二)1.当x0时,xsinxtanxarcsinxarctanxln1+xex-1当x0时,ax-1xlna (用e的等价变形来记) 1-cosx12x21-cos2x2x2 n1+x-11nx1+x-1x (用1未定式来记) loga(1+x)1lnax (用换底公式来记)2. 1未定式通用公式:limf(x)g(x)=elimg(x)fx-13
2、.泰勒公式:fx=fx0+fx0x-x0+f (x0)2!x-x02+f(n)x0n!x-x0n+f(n+1)(n+1)!(x-x0)n+1 (在x与x0之间)麦克劳林公式:fx=f0+f0x+f (0)2!x2+fn(0)n!xn+fn+1x(n+1)!xn+1(01)4.五个基本初等函数泰勒公式:(1)ex=1+x+12!x2+1n!xn+ex(n+1)!xn+1(2)sinx=x-13!x3+15!x5-+-1n-112n-1!x2n-1+-1ncosx2n+1!x2n+1(3)cosx=1-12!x2+14!x4-+(-1)n12n!x2n+-1n+1cosx2n+2!x2n+2(4)
3、1+x=1+x+-12!x2+-1-n+1n!xn+-1-nn+1!1+x-n-1xn+1(5)ln1+x=x-12x2+13x3-+-1n-11nxn+-1nxn+1n+11+xn+15.定积分重要公式:(1)若f(x)在-a,a上连续,则-aaf(x)dx=0afx+f(-x)dx(2)若f(x)在0,a上连续,则0af(x)dx=120afx+f(a-x)dx(3)0xf(sinx)dx=20fsinxdx=02f(sinx)dx6.几个重要的广义积分:(1)-+e-x2dx= (主要记这一个,以下的几个自己推)(2)0+e-x2dx=2(3)-+e-x22dx=2(4)0+e-x22d
4、x= 2 7.6种常见的麦克劳林展开式:(1)ex=n=0xnn! x-,+(2)sinx=n=0-1nx2n+12n+1! x-,+(3)cosx=n=0-1nx2n2n! x-,+(4)ln1+x=n=0(-1)nxn+1n+1 x(-1,1(5)(1+x)a=n=0-1-n+1n!xn x(-1,1)特别:11-x=n=0xn x(-1,1) 11+x=n=0-1nxn x(-1,1)(6)arctanx=n=0-1nx2n+12n+1 x-1,18.微分方程与差分方程的6大类:(1)一阶齐次线性微分方程 y+P(x)y=0 通解:y=Ce-P(x)dx (C=eC1)(2)一阶非齐次线
5、性微分方程 y+Pxy=Q(x) 的通解:y=e-Pxdx(QxePxdxdx+C)(3)二阶常系数齐次线性微分方程 y+py+qy=0 (p,q为常数)的通解:由特征方程 r2+pr+q=0,解出r1,r2i. r1,r2为两个不相等的实根:y=C1er1x+C2er2xii. r1,r2为两个相等的实根:y=(C1+C2x)er1xiii. r1,r2为一对共轭复根,r1=+i,r2=-i (=-p2,=4q-p22):y=exC1cosx+C2sinx(4)二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x) 的特解:若fx=Pm(x)ex,则特解为 y*=xkQm(x)ex,i.若不
6、是特征方程的根,则k=0ii.若是特征方程的单根,则k=1iii.若是特征方程的重根,则k=2若fx=exPlxcosx+Pnxsinx,则特解为 y*=xkexRm(1)xcosx+Rm(2)xsinx (m=max(l,n)i.若+i(或 -i)不是特征方程的根,则k=0ii.若+i(或 -i)是特征方程的根,则k=1(5)一阶常系数齐次线性差分方程 yx+1-ayx=0的特征方程为:-a=0通解为: Yx=Cax (C为任意常数)(6)一阶常系数非齐次线性差分方程 yx+1-ayx=f(x)的特解为:若fx=Pn(x),则特解为:yx*=xkQn(x)i.若1不是特征方程的根,则k=0i
7、i.若1是特征方程的根,则k=1若fx=b1cosx+b2sinx,则特解为:yx*=Acosx+Bsinx (A,B为待定系数)9.条件概率公式:PBA=PABPA10.全概率公式:PA=PAB1PB1+PAB2PB2+PABnPBn贝叶斯公式:PBiA=PABiPBij=1nPABjPBj i=1,2,n常用的两个公式:PA=PABPB+PABPBPBA=PABPBPABPB+PABPB11. 随机变量分布及其数字特征: 分布及数字征离散型分布律期望方差(0-1)分布PX=k=pk1-p1-kpp(1-p)二项分布PX=k=Cnkpkqn-knpnpq几何分布PX=n=pqn-11pqp2
8、超几何分布PX=k=CMkCN-Mn-kCNnnMNnMN1-MNN-nN-1泊松分布PX=k=kk!e- 分布及数字征连续型概率密度分布函数期望方差均匀分布fx=1b-a,axb0,其他Fx=0,xax-ab-a,ax00,x0Fx=0,x01-e-x,x0112一般正态分布fx=12e-x-2222标准正态分布x=12e-x22x=12-xe-t22dt0112.边缘分布公式:连续型随机变量边缘分布函数:FXx=Fx, , FYy=F,y离散型随机变量边缘分布函数:不需要记,明白意思就能自己推连续型随机变量概率密度:fXx=-+fx,ydy , fYy=-+fx,ydx离散型随机变量概率密
9、度:不需要记,明白意思就能自己推13.两个随机变量的函数分布:i.Z=X+Y的分布若X与Y不独立,则 fX+Yz=-+f(z-y,y)dyfX+Yz=-+f(x,z-x)dx若X与Y独立,则 fX+Yz=-+fXz-yfY(y)dyfX+Yz=-+fXxfY(z-x)dxii.Z=YX 的分布;Z=XY 的分布若X与Y不独立,则 fYXz=-+xfx,xzdxfXYz=-+1xfx,zxdx若X与Y独立,则 fYXz=-+xfXxfY(xz)dxfXYz=-+1xfX(x)fYzxdxiii.M=maxX,Y 及 N=minX,Y 的分布,设X和Y相互独立Fmaxz=FX(z)FYzFminz
10、=1-1-FXz1-FYz14.期望及方差公式:(1)离散型随机变量期望:EX=k=1xkpk(2)连续型随机变量期望:EX=-+xf(x)dx(3)设Y是X的函数Y=g(X),则EY=Eg(X)=k=1g(xk)pkEY=Eg(X)=-+g(x)f(x)dx(4)设Z是二维随机变量(X,Y)的函数 Z=g(X,Y),则EZ=Eg(X,Y)=-+-+gx,yf(x,y)dxdyEZ=Eg(X,Y)=j=1i=1gx,ypij(5)期望的性质:i.EX+Y=EX+E(Y)ii.若X,Y不相关,则:EXY=EXE(Y)iii.附加公式:EX+Y=-+-+(x+y)f(x,y)dxdyEXY=-+-
11、+xyf(x,y)dxdy(6)方差定义式:DX=EX-EX2具体写成:DX=k=1xk-EX2pkDX=-+xk-EX2fxdx(7)方差计算式:DX=EX2-E2X(8)方差的性质:i. DCX=C2DX , DX+C=DXii. DXY=DX+DY2Cov(X,Y)iii.若X,Y不相关,则:DXY=DX+DY(9)切比雪夫不等式:设随机变量X具有期望 EX=,方差 DX=2,则对任意正数有:PX-22 或 PX-1-22(10)协方差定义式:CovX,Y=EX-EXY-EY(11)协方差计算式:CovX,Y=EXY-EXEY(12)协方差的性质:i. CovaX,bY=abCovX,Y
12、ii. CovX1+X2,Y=CovX1,Y+CovX2,Y(13)相关系数:XY=CovX,YDXDY从此处开始以下公式共用一个条件:X1,X2,Xn是来自总体X的简单随机样本。15.(1)当n充分大时:k=1nxk-nnN(0,1)(2)当n充分大时,上式也可也写成:X-nN0,1 或 XN(,2n)16.(1)样本均值:X=1ni=1nXi(2)样本方差:S2=1n-1i=1nXi-X2=1n-1i=1nXi2-nX216.2分布:总体XN(0,1),则2=X12+X22+Xn2 记作:22(n)E(2)=n , D2=2n2n1+2n2=2n1+n217.t分布:设 XN(0,1),Y2(n),则t=XYn记作:tt(n)若 tt(n),则:t2F1,n18.F分布:设 X2(n1),Y2(n2),且X与Y相互独立,则F=Xn1Yn2 记作:FFn1,n2若 FFn1,n2,则 1FFn2,n1特例:若XN(0,1),YN(0,1) 则 X2Y2F(1,
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