理论力学：动力学5-A

1、经典力学的发展 从虚位移与达朗贝尔原理谈起,虚位移原理告诉了我们什么？,达朗贝尔原理告诉了我们什么？,17 世纪末，质点动力学理论已经完善. 此时，伯努利家族的雅各布和约翰两兄弟将牛顿和莱布尼兹创建的无穷小微积分加以扩展，创立了变分法. 1717 年，约翰提出了虚位移原理. 欧拉(Leonard Euler)师承约翰.伯努利(Johann Bernoulli)，在数学、力学的众多领域都有突出贡献. 他对力学的两个主要贡献是刚体转动的欧拉方程和流体力学中的欧拉方程.,虚位移原理,一个新的质点和刚体动力学原理于1758 年由达朗伯(Jean Le Rond DAlembert)在其专著动力学(Tr

2、ait de Dynamique)中提出. 他将虚位移原理从静力学推广至动力学. 拉格朗日在达朗伯原理的基础上，引入约束及广义坐标的概念，导出了拉格朗日运动方程. 出现在分析力学(Mcanique Analytique) (1788年)一书中的达朗伯原理及拉格朗日方程现在仍被认为是力学基本原理之一.,达朗伯原理 Jean Le Rond DAlembert,到18 世纪晚期，已经确立了力学的两大理论体系，分别是以牛顿定律为核心的牛顿力学体系和欧拉方程、达朗伯原理和拉格朗日方程为核心的分析力学体系. 每一体系都能完全详尽刻划质点及刚体的运动.,力学的两大理论体系,体会两个力学体系 处理约束的方法

3、,我们有两个途径求解此问题，一是应用牛顿力学的静力学平衡条件；二是应用分析力学中的虚位移原理。对于这类问题（特征是什么？）我们通常的考虑是应用虚位移原理。,；,直接的解释是：在应用虚位移原理原理计算虚功时，由于约束力做虚功之和为零，因此约束力不出现在平衡条件中。那么，更进一步的问题是：各铰接处的约束明显对维持系统平衡起作用，而在应用虚位移原理时，约束的作用约束力不出现在平衡条件中。那么，虚位移方程又是怎样刻画出约束的作用呢？,问题：两种体系都能够求解问题， 为什么虚位移原理更为简洁方便？,其实，我们在计算力的作用点的虚位移时假设这样一些条件：杆件均为刚体，杆件在各铰接处的位移均相同。而上述这些

4、假设条件便是对约束的描述。换句话说，虚位移原理是通过约束允许的微小位移来表示约束的作用。,虚位移原理,因此，我们在质点系的运动时，有两种途径：其一是直接研究约束、被约束体之间的作用力；其二是研究约束所允许的微小位移，也称为变分方法,两种方法（体系）的内在联系,上述研究似乎表明由于虚位移垂直于杠杆成就了两个力学体系的等价。而虚位移垂直于杠杆又是由于杠杆是刚体,实际上，虚位移原理在研究力的作用效果时采用的是解析方法，而牛顿力学则是采用几何的方法。两种力学体系的本质联系在于物体间的相互作用力的性质，其性质的描述依赖于几何量，如方向、作用点。而几何量既可以用几何方法加以描述，又可以采用微分、变分等方法

5、进行刻画。例如，对于几何曲线我们可以用作图的方法表示，也可以采用分析的方法刻画，比如由一阶导数描述其切线，二阶导数描述其曲率、法线等。,两种方法（体系）的内在联系,由于物体的运动必须采用分析方法进行，此时，又采用分析的方法描述作用力，这种描述手段的一致带来的益处在分析力学中得以充分的体现。因此，Lagrange 的分析力学一书便一张图也不需要了,描述运动与作用（力）的统一方法,静与动的描述方法 从几何描述到动力学描述,静：位移/速度不变； 力系平衡，动能不变，动量不变，动量矩不变 动：位移/速度变化； 力系不平衡，动能变化/动量变化/动量矩变化,静与动的内在联系？ 惯性（力）,静与动的区别？

6、力系是否平衡；描述系统的物理量是否变化,物体间相互作用（力）的描述方法 从几何到分析,几何方法：矢量、适量矩 利用几何图像直接刻画力的几何特征,分析方法：力的作用点位移、虚位移；力的功、虚功 利用微分（分析）间接刻画力的几何特征,力的明显的（最早认识到的）几何特征： 大小、方向、作用点,几何与分析方法的比较： 差别与联系,达朗贝尔原理,5-1、动力学普遍方程,虚位移原理：,惯性力的虚功：,理想约束,主动力的虚功：,称为理想约束,若约束反力的虚功之和：,O,理想约束,一、刚性杆,理想约束,二、柔索,三、物体纯滚动,A,主动力的虚功,系统的广义坐标,相应于广义坐标的广义力,在广义坐标系下的表示：,

7、Example,A,B,O,虚位移,求 F 和 M 的虚功,1，自由度,2，系统虚位移,3，力作用点的虚位移,Example,首先由广义坐标以及约束条件表示出所选择点的位置；再由变(微)分运算求出相应的虚位移。,1,2,x,1，自由度,2，系统虚位移,3，力作用点的虚位移,求虚功、广义力,解：1、系统的广义坐标 2、求系统的广义力,例：图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统的广义力,例1：已知重为m1g，半径为r 的圆盘沿斜面纯滚动，重量为m2 g的斜块在光滑水平面上运动。求广义力：,1 选取广义坐标,2 求广义力,例1：已知重为m1g，半径为r 的圆盘沿斜面纯滚动，重

8、量为m2 g的斜块在光滑水平面上运动。求惯性力的虚功：,1 选取广义坐标,2 实加惯性力,惯性力的虚功,3 计算惯性力的虚功,惯性力的广义力,惯性力的虚功,惯性力的广义力,动力学普遍方程,主动力的广义力,惯性力的广义力,主动力的广义力,惯性力的广义力,动力学普遍方程,拉格朗日方法,惯性力的广义力,拉格朗日方法,对于保守系统，主动力的广义力,并且,称为拉格朗日函数或动势,保守力的广义力？,拉格朗日方法,惯性力的广义力,对于保守系统，主动力的广义力,保守系统,拉格朗日函数,拉格朗日方程,1，选取广义坐标,2，用广义坐标表示势能,3，用广义坐标及其导数的表示动能,Joseph Louis Lagra

9、nge (1736 - 1813),His work Mcanique Analytique (Analytical Mechanics) (1788) was a mathematical masterpiece. It contained clear, symmetrical notation and covered almost every area of pure mathematics. It was the first book of mechanics published without the use of a single diagram. Lagrange succeede

10、d Euler as the director of the Berlin Academy.,French mathematician and mathematical physicist The greatest mathematician of the eighteenth century,Lagrange developed the calculus of variations which was later expanded by Weierstrass. Lagrange also established the theory of differential equations, a

11、nd provided many new solutions and theorems in number theory, including Wilsons theorem. Lagranges classic Thorie des fonctions analytiques laid some of the foundations of group theory, anticipating Galois. Lagrange also invented the method of solving differential equations known as variation of par

12、ameters. Lagrange commented that I have always observed that the pretensions of all people are in exact inverse ratio to their merits; this is one of the axioms of morals.,The first fruit of Lagranges labours here was his letter, written when he was still only nineteen, to Euler, in which he solved

13、the isoperimetrical problem which for more than half a century had been a subject of discussion.,拉格朗日方程,欧拉方程,泛函极值问题,微分方程,变分方法的思路,无穷多,满足,使得,取极值的只有一个，且满足微分方程,思路：通过变分极值的欧拉方程建立运动方程,例子：二分和五分硬币共28枚，面值92分，两种 硬币各多少枚？,等价于代数方程的函数极值问题,保守系统 应用拉格朗日方程的步骤,1，选取广义坐标,2，用广义坐标表示势能 V,3，用广义坐标表示动能 T,4，拉格朗日函数 L=T-V,5，套公式,1

14、，选取广义坐标 x,2，用广义坐标表示势能,3，用广义坐标及其导数的表示动能,4，拉格朗日函数,5，套公式,x=0 时弹簧无变形,自由振动,真实的运动方程：,可能的运动方程：,微分方程与泛函数极值问题,例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统的运动微分方程,已知：,1，选取广义坐标 x,2，用广义坐标表示势能,3，用广义坐标及其导数的表示动能,4，拉格朗日函数,5，套公式,方程的全微分。,问题1 Force vs. energy,方向：与势能梯度方向相反,问题 和其它方法建立的运动微分方程一样？,问题 非保守？,例：图示机构在水平面内运动，曲柄

15、OC 上作用一力偶M，已知： 不计摩擦，求曲柄的角加速度。,解：1、广义坐标 2、主动力的广义力,非保守系统拉格朗日方程,惯性力的广义力,主动力的广义力,例：图示机构在水平面内运动，曲柄OC 上作用一力偶M，已知： 不计摩擦，求曲柄的角加速度。,解：1、广义坐标 2、动能 3、主动力的广义力 4、应用Lagrange 方程,例：图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统运动微分方程,例：图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统运动微分方程,部分保守系统拉格朗日方程,保守力的势能,保守力的广义力,部分保守系统拉格朗日方程,解：1、确定系统的自由度 和广义

16、坐标 2、求系统的动能和势能 ( 拉格朗日函数 ) 3、非有势力的广义力 4、拉格朗日方程,部分保守系统,动能是关键,为系统的广义坐标,Lagrange方程,惯性力的虚功、广义力由动能求出,完整约束,例：系统如图所示，均质圆盘可绕O轴转动，不计质量的绳索绕在圆盘上（无相对滑动），另一端与小球A连接，求系统的运动微分方程。,已知：m，r,解： 系统有几个自由度 如何选取广义坐标,例：系统如图所示，不计质量的绳索绕在均质圆盘上（无相对滑动），另一端悬挂在A点。求系统的运动微分方程。,B,A,o,已知:圆环在水平面内运动,解：,非定常约束系统,广义坐标：,非定常约束系统,O,B,A,例1: OA、A

17、B为无质量刚性杆，质点B的质量为m, 求其运动微分方程。,如果保守系统的 L 不显含某些广义坐标,一、循环积分,上式称为拉格朗日方程的循环积分，相应的坐标称为循环坐标。,称为对应于广义坐标 的广义动量,4-3、拉格朗日方程的首次积分,例：系统如图所示，杆长为5m，质量为1kg，圆盘为直径 0.6m，质量为10kg 。求系统运动微分方程。,解：1、确定系统的自由 度和广义坐标 2、求系统的动能 和势能 3、拉格朗日方程,例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统的运动微分方程,1，选取广义坐标 x,2，用广义坐标表示势能,能量积分 动能的结构,B,A,o,已知:圆环在水平面内运动,解：,非定常约束系统,广义坐标：,能量积分,则：,该式称为Lagrange方程的广义能量积分,对于具有定常约束的保守系统一定有：,如果保守系统系统拉格朗日函数中不显含时间t，,能量积分,例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，长2l 均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统的运动微分方程，方程的首次积分。,1，选取广义坐标 x,2，用广义坐标表示势能,给出系统