高中数学 课后提升训练二 1.1.3 导数的几何意义 新人教A版选修2-2

1、课后提升训练 二 导数的几何意义(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017天津高二检测)已知曲线f(x)=x2+2x的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选D.y=f(x+x)-f(x)=(x+x)2+2(x+x)-x2-2x=xx+(x)2+2x,所以=x+x+2,所以f(x)=x+2.设切点坐标为(x0,y0),则f(x0)=x0+2.由已知x0+2=4,所以x0=2.2.y=-在点处的切线方程是()A.y=x-2B.y=x-C.y=4x-4D.y=4x-2【解析】选C.先求y=-的导数,因为y=-+=,所以=,所以=,即y=,

2、所以y=-在点处的切线斜率k=y=4,所以切线方程为y+2=4,即y=4x-4.3.(2017泰安高二检测)曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为()A.30B.45C.135D.60【解析】选B.y=(-1+x)3-(-1)3=x-x2+(x)3,=1-x+(x)2,=1,所以曲线y=x3-2在点处切线的斜率是1,倾斜角为45.4.设f(x)为可导函数且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1)处的切线斜率为()A.2B.-1C.1D.-2【解析】选B.=f (1)=-1.5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为()A.1B.C.-D.-1【解析

3、】选A.因为y=(2a+ax)=2a.所以2a=2,a=1.6.函数f(x)=x-x3-1的图象在点(1,-1)处的切线与直线4x+ay+3=0垂直,则a=()A.8B.-8C.2D.-2【解析】选B.由导函数的定义可得函数f(x)的导数为f(x)=1-3x2,所以f(1)=-2,所以在点(1,-1)处的切线的斜率为-2,所以直线4x+ay+3=0的斜率为,所以-=,所以a=-8.7.(2017贵阳高二检测)已知函数y=f(x)的图象如图,f(xA)与f(xB)的大小关系是()A.0f(xA)f(xB)B.f(xA)f(xB)f(xB)0【解析】选B.f(xA)和f(xB)分别表示函数图象在点

4、A,B处的切线斜率,故f(xA)f(xB)f(xB)B.f(xA)=f(xB)C.f(xA)kB,根据导数的几何意义有:f(xA)f(xB).8.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+2y-8=0平行,则l的方程为()A.8x+16y+3=0B.8x-16y+3=0C.16x+8y+3=0D.16x-8y+3=0【解析】选A.由y=x4得y=4x3,设切点坐标为(x0,y0),则y=4,因为切线l与直线x+2y-8=0平行,所以4=-,所以x0=-,所以y0=,所以l:y-=-,即8x+16y+3=0.二、填空题(每小题5分,共10分)9.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处

5、的切线倾斜角的范围为,则点P横坐标的取值范围为_.【解析】因为f(x)=(x+2x+2)=2x+2.所以可设P点横坐标为x0,则曲线C在P点处的切线斜率为2x0+2.由已知得02x0+21,所以-1x0-,所以点P横坐标的取值范围为.答案:10.(2017兴义高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f(x),f(0)0,对于任意实数x,有f(x)0,则的最小值为_.【解题指南】由导数的定义,先求出f(0)的值,从而求出的表达式,再利用“对于任意实数x,有f(x)0”这一条件,借助不等式的知识即可求解.【解析】由导数的定义,得f(0)=a(x)+b=b.又因为对于任意实数x,有f

6、(x)0,则所以ac,所以c0.所以=2.答案:2三、解答题11.(10分)已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1l2.(1)求直线l2的方程.(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.【解析】(1)y=(2x+x+1)=2x+1.y|x=1=21+1=3,所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1l2,则有2b+1=-,b=-.所以直线l2的方程为y=-x-.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为.l1

7、, l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),.所以所求三角形的面积S=.【能力挑战题】试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.【解析】=3xx+3x2+(x)2.=3x2,因此y=3x2,设过(1,1)点的切线与y=x3+1相切于点P(x0,+1),据导数的几何意义,函数在点P处的切线的斜率为k=3,过(1,1)点的切线的斜率k=,所以3=,解得x0=0或x0=,所以k=0或k=,因此y=x3+1过点M(1,1)的切线方程有两个,分别为y-1=(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0或y=1.【误区警示】本题易错将点(1,1)当成了曲线y=x3+1上的点.因此在求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再据不同情况求解.【补偿训练】设函数f(x)=x3+ax2-9x-1 (a0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.【解析】设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0),因为y=f(x0+x)-f(x0)=(x0+x)3+a(x0+x)2-9(x0+x)-1-(+a-9x0-1)=(3+2ax0-9)x+(3x0+a)(x)2+(x)3,所以=3+2ax0-9+(3x0+a)x+(x)2.当x无限趋近于零时