高等数学(交大)教案第二章

1、高等数学教案 第二章 一元函数微分学第二章 一元函数微分学内容及基本要求：1理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。2会用导数描一些物理量。3掌握导数的四则运行法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数双曲函数的公式，了解微分四则运算法则和一阶微分形式不变法。4了解高阶导数的概念。5掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。6会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。学习重点：导数和微分概念；导数的四则运行法则和复合函数的求导法，基本初等函数、双曲函数的公式；初等函数一阶、二阶导数的求法；隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。学习难点：复合

2、函数的求导法；隐函数和参数式所确定的函数的导数。第一节 导数的概念一. 导数的定义1.问题的引入（以物理学中的速度问题为例，引入导数的定义）自由落体运动的瞬时速度已知作自由落体运动的物体的位移与其时间的函数关系是，求该物体在时刻的瞬时速度 （以均匀代替非均匀）首先从物体的内的平均速度入手； 令物体移动时间从变化到； 在这个时间段物体的位移为； 物体在这个时间段内的平均速度为.（以极限为手段）然后得到瞬时速度. 易见愈小，时间内的平均速度的值就愈接近时刻的速度； 因此，当时，的极限自然定义为物体在时刻的瞬时速度，即定义 .由此可见，物体在时刻的瞬时速度是函数的增量与自变量增量比值当的极限. 推广

3、到一般，可以归结为一个函数的增量与自变量的增量之比，当趋于零时的极限这种类型的极限我们称其为导数2.导数的定义(1) 函数在一点处导数定义 设函数在内有定义，当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时；相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 . 也可记为 , 或 也称函数增量与自变量增量之比是函数在以及为端点的区间上的平均变化率，导数是函数在点处的变化率，即瞬时变化率(2) 函数在一点处导数导函数将处导数定义中的换成，如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 .显然，当 在某区间内变

4、化时，是的函数. 因此称之为导函数. 导函数的记号还有, 或 (3)处导数与导函数的关系函数在点的导数是导函数在点处的函数值即 .通常，导函数简称为导数例1 求函数的导数以及在点的导数.3.不可导的情形由可导定义，如果的极限不存在，即有下述情况之一，称函数在点处不可导（1）=； （2）无稳定的变化趋势.例2 （1）求函数在处的导数.（2）求函数在处的导数.4. 导数定义的不同形式（1）=； （2）=； （3）=； （4）=（5）=.例3 （1）已知存在，求.（2）已知，在处连续，求.（3） 计算极限.二. 导数的几何意义1. 导数的几何意义设曲线的方程为 , 是曲线上的一点，求曲线在点处的切线

5、方程（1）在曲线上另取一点，如图3所示，连接,两点，得割线割线对轴的倾角为，其斜率为 ； 图3（2）当时，点沿曲线趋向点，割线的极限位置为曲线在点处的切线此时 =，其中是切线关于轴的倾角从而曲线在点处的切线斜率为=由此可知，函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即其中是切线的倾角因此曲线在点处的切线方程为；当时，法线方程为特殊地，当时，曲线在点的切线平行于轴当时，曲线在点的切线垂直于轴此时，切线的倾角为例4 求在点处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程 （答案 切线的斜率为，切线方程为；法线的斜率为 ，法线方程为 ）三.可导与连续的关系1.可导必连续设函数在点可导，即

6、存在，由极限与无穷小量的关系知，其中是时的无穷小量上式两端同乘以，得 由此可见，当时， 即函数在点连续 2. 连续未必可导例如，函数在点处连续（图1），但由例题2（1）知，在点处不可导 同样，函数在点处连续（图2），但由例题2（2），中，在点处不可导. 由上面的讨论可知，函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件，所以如果函数在某点不连续，则函数在该点必不可导 图1 图22.函数在某点可导与该点存在切线的关系（1）可导必有切线；因为函数在某点可导，则在该点切线的斜率存在，自然存在切线. （2）有切线未必可导.例如，曲线在点处有垂直于轴的切线（图2），但它在不可导四.科学技术中的导数问题举例变

7、化率 当因变量随自变量均匀变化时，是的线性函数，改变单位长度时的改变量，即总是一个常数，它反映了随变化的快慢程度，叫做变化率。求函数在点处变化率的方法可以归纳为以下两步：（1） 局部均匀化求近似值；（2） 利用求极限得精确值设作变速直线运动的质点的运动方程为，质点在0时刻的瞬时速度是在点的导数值例5 物体做直线运动的方程为，求（1）物体在秒时的速度；（2）物体运动的速度函数第二节 求导的基本法则一.函数和、差、积、商的求导法则设在点处有导数,则法则1:两个可导函数之和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差),即证明 设,则所以 例1 求的导数.解 例2 设,求及.解 ,(注意:),所以注意:

8、 =0.法则2:两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积.即推论1:推论2:法则2可推广到有限个函数乘积的导数计算.如例3 求的导数.解 例4 设,求.解 .例5 设为连续函数,求.解 错误解法:所以 =.错误的原因是:不一定可导.法则3:两个可导函数之商的导数,等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积,再除以分母的平方.即. 例5 设,求.解 .例6 设,求.解 .例7 设,求.解 .同理可得:同理可得:.二. 反函数的导数定理（反函数的求导法则）设在处有不等于零的导数,且其反函数在相应点处连续,则存在,且,或.即反函数的

9、导数等于直接函数的导数的倒数.证明 的反函数.当的自变量取得增量时,因变量取得相应的增量.当时,必有.事实上,如果则,但是一一对应的,故,则与的假设矛盾.所以当时,有,又在相应点处连续,所以时,.由,得.例8 设,求.解 设为直接函数,则为其反函数.在内单调,可导,且.在对应的区间内有.又,所以.同理可得:.例9 设,求.解 设为直接函数,则为其反函数.在内单调,可导,且.在对应的区间内有.又,所以.同理可得:.三. 复合函数的求导定理（复合函数求导法则）设即是的一个复合函数:.如果在处有导数在对应点处有导数,则在处的导数存在,且或.如果,则的导数为.例10 设,求.解 设,则.例11 求的导

10、数.解 设,则.例12 设,求.解 设,则.例13 设,求.解 ,.例14 设,求.解 .例15 求的导数.解 .例16 设,求.解 .例17 设,求.解 例18 设,求.解 ,则.所以.例19 设,求.解 设,则.所以.四. 高阶导数一阶导数:.二阶导数: .三阶导数:.四阶导数:.阶导数:.1. 二阶导数例20 设,求.解 .例21 证明函数满足关系式.证明 ,所以.例22 设二阶可导,求.解 .例23 设,求.解 ,所以 .2. 高阶导数例24 设,求.解 例25 设,求.解 同理一般地,有如求的阶导数,由于,则例26 设,求.解 .如求的阶导数.例27 设,求.解 .第三节 隐函数与由

11、参数方程所表示的函数的求导一. 隐函数及其求导法显函数:等号左边是因变量,右边是含有自变量的代数式.隐函数:非显函数,形如.如:为显函数,而为隐函数.将隐函数化为显函数称为隐函数的显化,但不是所有隐函数都可以显化.如:就不可以显化.不用显化直接由方程求隐函数的导数称为隐函数的求导.例1 由方程确定是的函数,求.解 方程两边对求导,有所以 .例2 由确定是的函数,求其曲线上点处的切线方程.解 方程两边对求导,有所以.所以切线方程为,即 .例3 设,其中为可微函数,求.解 .二. 由参数方程所表示的函数的求导设参数方程为确定,则.即.例4 设求.解 .例5 设其中为二阶可导,求.解 则.例6 证明

12、曲线上任一点的切线与轴的交点至切点的距离为常数.证明 设切点坐标为,对应的参数为.由,得,所以切线方程为.切线与轴的交点为.所以.三、相关变化率变量与都随另一变量而变化，即，而与之间又有相互依赖关系：，研究两个相关变化率与之间关系的问题称为相关变化率问题。解决这类相关变化率问题可采用以下步骤：1. 建立变量与之间的关系式；2. 将中的与均看成是的函数，利用复合函数链导法则，等式两端分别对求导；3. 从求导后的关系式中解出所要求的变化率。第四节 微分一.微分的概念1.定义 设在内有定义,.如果函数的增量可表示成则称在处可微的,称为在处相应于自变量的增量的微分,记作,即.2.函数可微的条件定理 在

13、处可微在处可导,且即.证明 在处可微,则,所以得在处可导,且在处可导,则,所以 ,故,而所以 ,即在处可微,且例1 求函数当时的微分.解 ,所以当时的微分为3.函数的微分函数在任意点处的微分,称为函数的微分,记作或,即.当时,称为自变量的微分,故函数的微分又可记作.由此有从而导数又称为”微商”.例2 设,求.解 ,所以.二.微分的几何意义1.微分在近似计算中的理论基础当在处可导时,则.当时,有,即 ,所以称为的线性主部,且所以得由此有,当时,.2.微分的几何意义MNT） P 三. 微分的运算.1.基本初等函数的微分公式.2.函数和,差,积,商的微分.3.复合函数的微分法则微分形式不变性,则.又

14、所以.由此,不论为自变量还是中间变量,微分形式不变,称为微分形不变性.例3 设,求.解 例4 设,求及.解 ,两边微分,有所以例5 由确定是的函数, 求及.解 ,得,即,解得且四.微分在近似计算中的应用当时,有.即或令,则.运用此近似公式计算函数的近似值时,要求(1)很小;(2)易于计算.由以上两点,关键是点的选取.特别地,如果取,则.由此有工程上的几个近似公式(类似于时的等价无穷小):(1)(2)(3)例6 求的近似值.解 .取,则例7 求的近似值.解 第五节 平面曲线的曲率一. 曲率的概念曲率是用来反映曲线弯曲程度的量.比值,即单位弧度切线转过的角度称为弧段的平均曲率,记作,即=.而极限称

15、为曲线在点处的曲率,记为,即当存在时,则.下面给出曲率的计算公式.设曲线方程为,且具有二阶导数.由一阶导数的几何意义知两边微分,得,所以.又由弧微分公式所以有,故曲率的计算公式为.如果曲线的参数方程为则曲率的计算公式为.例1 试问抛物线上哪一点处的曲率最大?解 .所以曲率.当,即时,曲率最大,此时对应着抛物线的顶点,即抛物线在顶点处的曲率最大.二. 曲率的计算 例2解：显然, 例3 证：如图在缓冲段上,实际要求三. 曲率半径与曲率中心定义：注意:1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数. 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大

16、(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).例4解：如图,受力分析(视飞行员在点o作匀速圆周运动, （为O点处抛物线轨道的曲率半径）得曲率为曲率半径为即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.第六节 微分学中值定理一. Rolle定理如果(1)在上连续;(2)在内可导;(3)则证明 因为在上连续,则在上必取得最大值和最小值.(1),此时所以从而可取内的任一点作为,有.(2).不妨设,则必存在.往证.由的存在,可得存在.对于和.显然 .当时, ,从而,即.（1）当时, ,从而,即.（2）由(1)与(2)得即.注意 Rolle定理主要应用在证

17、明的导函数有零点.例1 设在上连续,在内可导,且.证明在内至少有一点.分析: 即要证明的导函数在内有根.证明 令,显然在上连续, 在内可导,且从而在上满足Rolle定理的条件,故存在,即所以.例2 设,证明函数在内必有一根.证明 令,显然在上满足Rolle定理的条件,且.由Rolle定理得,使得即所以在内必有一根.例3 设在上连续,在内可导,且.证明方程在内恰有一根.证明 (1)先证在内有一根.令,则在上连续,且,由零点定理,即在内有一根.(2)往证在内只有一根.反证法:设在内有两个根,则在上满足Rolle定理的条件,所以,使得但,故假设不成立.由(1)与(2)知, 在内恰有一根.二.Lang

18、rage中值定理(也称有限增量定理或微分中值定理)如果函数(1)在上连续;(2)在内可导;则 (*)注意 (1)当时,公式(*)仍成立.公式(*)称为Langrage中值公式.(2)公式(*)的等价形式:令,则 在与之间.从而,所以 (*)或 (*)即由Langrage中值公式,可得函数增量的精确表达式,从而该定理又称为有限增量定理,有时也称为微分中值定理.推论 如果在区间上的导数恒为零,则在区间上是一个常数.证明 ,不妨设,显然在上满足Langrage中值定理的条件,故存在,使得 又,所以即.由的任意性知:注意 此处的区间可以是任何类型的区间.例4 证明当时,.证明 (分析 .令,则在区间上

19、满足Langrage中值定理的条件,故存在,使得即, 又,所以.注意 从例4的证明可以看出用Langrage中值定理证明不等式的基本思路是:(1)构造辅助函数:这可以从待证不等式分析出辅助函数的构造;(2)由Langrage中值定理, 在与之间估计,从而得待证不等式.例5 设在内可导,且与存在,证明.证明 在上满足Langrage中值定理的条件,故有, ,所以.三.Cauchy中值定理Cauchy中值定理 如果函数与在在连续,在内可导.且在内不为零,则存在,使得.例6 设与是可导函数,且当时,证明当时,有.证明 (分析:由知显然与满足Cauchy中值定理的条件,所以存在,有, .即.又,所以,

20、且,故.注意 从例6可以看出,在证明关于两个函数之间的不等式或关系时,往往用Cauchy中值定理.第七节 罗必塔法则罗必塔法则主要用于解决未定式(型,型)的极限.一.(型),其中.定理 设(1) ;(2)在内与都存在,且;(3)存在(或为无穷大).则有.证明 因为当时,的极限与和无关,不妨设=0,所以与在内连续,任意,则与在以为端点的区间上满足Cauchy中值定理的条件,所以, 在与之间.即,从而.注意 (1)定理表明:如果未定式型满足罗必塔法则的条件,则未定式的极限可用对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限.如果还是型,可再用一次罗必塔法则,直至不是未定式型为止.即.(2) 罗必塔法则

21、对时的未定式型也适用.对或的未定式型也适用.即.型型不是型.型型不是型(3)如果不是未定式,则不能用罗必塔法则.例1 例2 例3 注意(4) 在运用罗必塔法则的过程中,如果出现极限不为零的因子,可将其因子的极限先计算;如果出现极限为零的因子.可用其等价无穷小来代替,以简化求极限的计算.例4 例5 设,则例6 (为正整数,由以上两例得当时,.二.其他未定式1.型.型型型即=或 .例7 型例8 或原式2.型先通分(或作变换),化成分式后为未定式“”型,即.例9 .例10 3.幂指函数的未定式:.未定式,求极限有两种方法(类似于求幂指函数的导数):方法一:设,两边取对数,有取极限,有则.方法二:因为

22、,所以.例11 求, (型).解 方法一:令,两边取对数,有所以,故方法二: 例12 求型. 方法一:令,两边取对数,有所以.方法二: .例13 求,.型.解 令,两边取对数,得,所以.注意 特别地,对于型,有下面的简单的计算方法:设,则.如上例,有.最后指出,罗必塔法则在求未定式极限时也不是万能的.如例15 求.解 .如果用罗必塔法则,有不存在,原因是不存在,不满足罗必塔法则的条件.第八节 函数性态的研究一. 函数单调性的判别法1. 定理 设在上连续,在内可导,且(1)若在内,则在上单调增加;(2) 若在内,则在上单调减少.证明 任取.不妨设.在上满足Lanrange中值定理的条件,则存在,

23、使得(1)如果,则,所以,即在上单调增加.(2)如果,则,所以,即在上单调减少.注意 (1)如果将定理中的闭区间换成其他任何区间,结论也成立;(2)如果在其定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续.用的点(称为函数的驻点)和导数不存在的点划分定义区间为一些小区间,则在这些小区间内符号恒定,从而在这些小区间上分别单调增加(或减少).(3)由(1)和(2)得求的单调区间的基本步骤是:.求的定义域;(如果给定所讨论的范围,此步省 );.求的点和不存在的点;.将2.中的点插入1.中得一些小区间,在这些小区间上分别讨论的符号,从而确定的单调区间.例1 求下列函数的单调区间:(1) (2)

24、.解(1),令,得,在上无不可导点.列表讨论:所以在上,在上.(2) 的定义域为.,令得,无不可导点.列表讨论:12+0-0+所以在上,在上.例2 讨论的单调性.解 ,所以在上.注意4 一般地,如果在某区间内有限或无限个点(无限个点不构成一个区间)处,而其余各点处恒为正(或负),则在该区间上是单调增加(或减少)的.2. 单调性的应用.证明不等式基本思路是:令如果则,从而同理可得的证法.令且.证例3 证明不等式(1)当时,;证明 令所以,即.(2)当时,令所以,得,故即.证明方程在某区间上只有一根.思路是:如果在上连续,在内可导.若在内单调有根,则只有一根.例3 证明方程只有一根.二. 函数的极

25、值1.极值的概念定义 设在内有定义,.如果存在,有 (或)则称为的一个极小值(或极大值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为函数的极值点.注意 (1)函数的极值是局部性的概念,而不是整体性的概念,即要区别函数的极值与最值.极大值不一定是最大值;极小值也不一定是最小值.(2)函数的极值点是区间的内点(即在区间的内部),从而区间的端点必不是极值点.2.函数取得极值的必要条件定理 设在处可导,且在处取到极值,则必有.证明 不妨设是的极小值.由导数的定义,有.当时,所以,故同理可得所以.注意(1)使的点称为的驻点.(2)由极值的必要条件知:函数的极值点必包含在驻点和不可导点内

26、,即函数的可能极值点为:1.驻点;2.不可导点.但函数的驻点和不可导点不一定是函数的极值点.下面介绍怎样判别函数的可能极值点为函数的极值点.3.函数极值点的判别准则定理(第一充分条件)设在内连续,在内可导,且是的驻点或不可导点.(1) 如果时,;当时, ,则在处取得极大值;(2) 如果时, ;当时, ,则在处取得极小值;(3) 如果当时,恒为正(或负),则在处无极值.注意(1) 第一充分条件实质上是用函数的单调性判断函数的极值.(2)由函数极值的第一充分条件,可得判断函数极值的基本步骤:.求的定义域(如果给定的范围,此步省略); .求.求的驻点和不可导点;.将3.中的点插入1.,分成一些小区间

27、,列表讨论在每个小区间上的符号,从而确定函数的极值点及极值(是极大值还是极小值).例4 求的极值.解 (1)函数的定义域为:(2) (3)令得驻点:;无不可导点.(4) 列表讨论:-极大值极小值由表可知, 在处有极大值;在处有极小值.例5 求的极值.解 函数的定义域为,无驻点,不可导点为.列表讨论:+不存在-极大值有表可知, 在处有极大值.下面用二阶导数判断在驻点处是否有极大值或极小值.定理(第二充分条件)设在处有二阶导数,且为驻点,则(1) 当时, 在处有极大值;(2) 当时, 在处有极小值;(3) 当时,不能判断.改用第一充分条件.注意(1)第一充分条件与第二充分条件的应用范围:第一处分条

28、件可用来判断1.驻点,2.不可导点,是否为极值点;第二充分条件只能用来判断驻点是否为极大(小)值点.(2)如果只判断某一驻点为极值点,一般用第二充分条件.例6 如在例1中:是驻点,而.因为所以为极大值点, 在处有极大值.因为所以在处有极小值.三. 最值问题1.闭区间上连续函数的最值的求法假设在上连续,在内可导,且至多在有限个点处导数为零.下面讨论求在上的最值.(1) 在上必有最大值与最小值;(2)如果在内取到最大值(或最小值),则最大(小)值必是的极大(小)值,从而最值点必是的驻点.由以上分析可得求的最值方法为:(1) 求得的 点:;(2) 最大值最小值例7 求在上的最大值与最小值.解 ,令,

29、所以驻点.因为,所以,.在求函数的最值时,特别值域的一种情形是在区间上只有一个驻点的情况.如果该驻点为极大值点,则为的最大值;如果驻点为极小值点, 则为的最小值.(此时判断该驻点为极大(小)值点,一般用第二充分条件).例8 求函数在何处取到最大值.解 ,令,得,只有唯一驻点,而,因为,所以函数在处取得最大值.2.实际问题的最值在实际问题中,由实践问题的性质可判断有最大(小)值,且在定义区间内部取得.如果在定义区间内部只有一个驻点,则必是最大(小)值.3.最值(或极值)的应用证明不等式例9 设,且,证明.分析 只须证.分析 由,得如果令,为的唯一驻点,又为极小值,得为最小值.证明 连续,由,得,所以,故.令,且.,且,所以为的驻点.所以为的极小值点,且,从而只有一个驻点,故为的最小值.所以即.四. 曲线的凹凸性与拐点1. 曲线的凹凸性与拐点定义 设在区间上连续,有,(或)则称在区间上的图形是(上)凸(凹)的,或简称凸弧(或凹弧).我们可用二阶导数的符号来判断曲线的凹凸性.定理 设在上连续,在内可导,则(1)如果有,则曲线在上是凹的;(2)