八年级因式分解常见方法和经典题型(适合基础和提高

1、西安乐童教育中心八年级数学因式分解常见方法讲解和经典题型常见方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式：

2、(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三边，且，则的形状是（ ）A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形解： 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：解法一：第一、

3、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式= = = = =练习：分解因式1、 2、（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式= = =例4、分解因式： 解：原式= = =练习：分解因式3、 4、综合练习：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一

4、次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知05，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求 0而且是一个完全平方数。于是为完全平方数，例5、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）

5、= -7练习5、分解因式(1) (2) (3)练习6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=练习7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =练习8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2

6、 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=练习9、分解因式：（1） （2）综合练习10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、换元法。例13、分解因式（1） （2）解：（1）设2005=，则原式= = =（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式=设，则原式= =练习13、分解因式（1）（2） （3）例14、分解因式（1）观察：此多项式的特点是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次

7、数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=设，则原式= = = =（2）解：原式= 设，则 原式= =练习14、（1）（2）六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1） 解法1拆项。 解法2添项。原式= 原式= = = = = = =（2）解：原式=练习15、分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）七、待定系数法。例16、分解因式分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为解：设=对比左右两边相同项的系数可得，解得原式=例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。 （2）如果有两个因式为和，求的值。（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解：设= 则

8、=比较对应的系数可得：，解得：或当时，原多项式可以分解；当时，原式=；当时，原式=（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。解：设= 则= 解得，=21练习17、（1）分解因式（2）分解因式（3） 已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。（4） 为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。经典题型例01 选择题：对运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）（A）（B）（C）（D）分析 本组题目用来判断分组是否适当.（A）的两组之间没有公因式可以提取，因而（A）不正确；（B）的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故（B）不正确

9、；（D）中两组也无公因式可提，故（D）不正确.（C）中第一组可提取公因式2，剩下因式；第二组可提取，剩下因式，这样组间可提公因式，故（C）正确.典型例题二例02 用分组分解法分解因式：（1）；（2）.分析 本题所给多项式为四项多项式，属于分组分解法的基本题型，通过分组后提公因式或分组后运用公式可以达到分解的目的.解 （合理分组）（组内提公因式）（组间提公因式）（注意符号）（组内运用公式）（组间运用公式）说明 分组分解法应用较为灵活，分组时要有预见性，可根据分组后“求同”有公因式或可运用公式的原则来合理分组，达到分解的目的.另外在应用分组分解法时还应注意：运用分组分解法时，可灵活选择分组方法，通

10、常一个多项式分组方法不只一种，只要能达到分解法时，殊途同归.分组时要添加带“”的括号时，各项要注意改变符号，如的第一步.典型例题三例03 分解因式：分析 本题按字母的降幂排列整齐，且没有缺项，系数分别为，.系数比相等的有或，因而可分组为、或、. 解法一 （学会分组的技巧）解法二 说明 根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可谓分组的一大技巧！典型例题四例04 分解因式：分析 本例为四项多项式，可考虑用分组分解法来分解.见前例，可用“系数成比例”的规律来达到合理分组的目的.解法一 解法二 说明 本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题，对于四项式，并不是只要所分组的项数相等，便可完成因式分

11、解.要使分解成功，需考虑到分组后能否继续分解.本小题利用“对应系数成比例”的规律进行巧妙分组，可谓思维的独到之处，这样避免了盲目性，提高了分解的速度.典型例题五例05 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）.分析 此组题项数较多，考虑用分组法来分解.解法 （1）（2）（3）说明 对于项数较多的多项式合理分组时，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.如中，“交叉项”为，相应的平方项为、；中，“交叉项”为，相应的平方项为、.典型例题六例06 分解因式：（1）；（2）.分析 本题两例属于型的二次三项式，可用规律公式来加以分解.解 （1），（2），

12、.说明 抓住符号变化的规律，直接运用规律.典型例题七例07 分解因式：（1）；（2）.分析 对（1），利用整体思想，将看作一个字母，则运用型分解；对（2），将其看作关于的二次三项式，则一次项系数为，常数项为，仍可用型的二次三项式的规律公式达到分解的目的.解 （1）（2），.典型例题八例08 分解因式：；.分析 本组题有较强的综合性，且每小题均超过三项，因而可考虑通过分组来分解.解 法一：（可继续分解，方法很简单：，对于方法类似，可以自己探索）法二：法三：（看作型式子分解）说明 中，虽然三法均达到分解目的，但从目前同学们知识范围来看，方法二较好，分组既要合理又要巧妙，使分组不仅达到分解目的，又能

13、简化分解过程，降低思维难度.式虽超过四项，但通过分组仍可巧妙分解，只是分组后不是通常的提公因式或运用公式，而是利用了型二次三项式的因式分解.将看做关于的二次三项式，.式表面看无法分解，既找不到公因式，又不符合公式特点，对待此类题目，应采用“先破后立”的方式来解决.即先做多项式乘法打破原式结构，然后寻找合适的方法.式项数多，但仔细观察，项与项之间有着内在联系，可通过巧妙分组以求突破.但应注意：不可混淆因式分解与整式乘法的意义.如小题中做乘法的目的是为了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法.善于将外在形式复杂的题目看做熟悉类型，如小题中.典型例题九例09 分解因式：（1）；（2）分析 本组两个

14、小题既无公因式可提又不符合公式特点，原题本身给出的分组形式无法继续进行，达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解.解 （乘法运算，去括号）（重新分组）（乘法运算去括号）（重新分组）说明 “先破后立，不破不立”.思维的独创性使表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方式.典型例题十例10分解因式分析 因式分解一般思路是：“一提、二代、三分组、其次考虑规律式（十字相乘法）” .即：首先考虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式法分解；再考虑是否可以分组分解；对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式”（或十字相乘法）分解.按照这样的

15、思路，本题首应考虑用分组分解来尝试.解 说明 当时，多项式值为0，因而是的一个因式，因此，可从“凑因子” 的角度考虑，把6拆成，使分组可行，分解成功.运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法.法二：法三：（凑立方项）法四：（与凑立方项）（套用公式）法五：（拆项）法六：（凑平方差公式变项）法七：令则（为多项式一个因式，做变换）（做乘法展开）（还原回）说明 以上七种方法中，前六种运用了因式分解的一种常用技巧“拆项”（或添项），这种技巧以基本方法为线索，通过凑因式、凑公式等形式达到可分组继而能分解的目的.“凑”时，需思、需悟、触发灵感.第七种运用了变换的方法，通过换元寻找突破点.本题还可以如下变形：

16、 典型例题十一例11若是完全平方式，求的值.分析 原式为完全平方式，由，即知为，展开即得值.解 是完全平方式应为又，故.说明 完全平方式分为完全平方和与完全平方差，确定值时不要漏掉各种情况.此题为因式分解的逆向思维类，运用来求解.典型例题十一例11 把下列各式分解因式： （1）； （2） （3）解：（1）由于16可以看作，于是有 ； （2）由幂的乘方公式，可以看作，可以看作，于是有 ； （3）由积的乘方公式，可以看作，于是有 说明（1）多项式具有如下特征时，可以运用完全平方公式作因式分解：可以看成是关于某个字母的二次三项式；其中有两项可以分别看作是两数的平方形式，且符号相同；其余的一项恰是这两

17、数乘积的2倍，或这两数乘积2倍的相反数. 而结果是“和”的平方还是“差”的平方，取决于它的符号与平方项前的符号是否相同. （2）在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用. 典型例题十二例12求证：对于任意自然数，一定是10的倍数.分析 欲证是10的倍数，看原式可否化成含10的因式的积的形式.证明 是10的倍数，一定是10的倍数.典型例题十三例13 因式分解（1）； （2）解：（1） 或 ； （2） 或 说明：（1）把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键所在。因此，分组分解因式要有预见性； （2）

18、分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单； （3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带有负号的括号时，括号内每项的符号都要改变； （4）实际上，分组只是为实际分解创造了条件，并没有直接达到分解典型例题十四例14 把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）解：（1） （2） （3） 或 或 说明：（1）要善于观察多项式中存在的公式形式，以便恰当地分组；同时还要注意统观全局，不要一看到局部中有公式形式就匆匆分组。如，就会分解不下去了； （2）有公因式时，“首先考虑提取公因式”是因式分解中始终不变的原则，在这里，当提取公因式后更便于观察分组情况，预测结果； （3）对于一道题中的多种分组方法，要善于选择使分解过程简单的分组方法，如题中前两种分组显然优于后者。典型例题十五例15 把下列各式分解因式（1）；（2）.分析（1）的二次项系数是1，常数项=，一次项系数1=，故这是一个型式子.（2）的二次项系数是1，常数项=，一次项系数 ，故这也是一个型式子.解：（1）因为=，并且1=，所以=.(2) 因为=，所以=.说