华东理工大学概率论答案-2

1、华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第二册）学院 _ 专业 _ 班级 _学号 _ 姓名 _ 任课教师 _第四次作业一填空题：1设事件 a,b 相互独立，且p( a)0.2, p( b)0.5 ，则 p(b ab) 4/9192 设 a 、b、 c 两两独立，且abc=， p(a)=p(b)=p(c),p( abc )216则 p(c)= 0.253.已知事件a,b的概率 p( a) 0.4, p( b)0.6 且 p( ab) 0.8 ，则 p( a | b)1 ， p(b | a)1 。324.已知 p( a)0.3, p( b) 0.5 ，p( a | b)0.4 ，则 p( ab)0.2

2、，p( a b)0.6，p( b | a)2。3二选择题：1. 设袋中有 a 只黑球， b 只白球，每次从中取出一球， 取后不放回，从中取两次，则第二次取出黑球的概率为 （ a ）；若已知第一次取到的球为黑球， 那么第二次取到的球仍为黑球的概率为（ b ）aab a1c a(a1)da 22(a b)ab 1(a b)(ab 1)(a b)2已知 p( a)0.7, p( b)0.6,p(b a)0.6, 则下列结论正确的为（b）。a a与 b互不相容；b a与 b独立 ；c ab ；d p( b a)0.4.3对于任意两事件a 和 b ，则下列结论正确的是（c ）a 若 abc 若 ab，则

3、 a， b一定不独立 ； ，则 a， b有可能独立 ；b 若 ab d 若 ab，则 a， b一定独立 ；，则 a， b一定独立4设事件a, b,c , d相互独立，则下列事件对中不相互独立的是（c）(a)a 与bcd ；( b)acd 与 bc ；(c ) bc 与ad ；( d )ca 与 bd.三计算题：1设有 2 台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率为 0.03 ，第二台机床出废品的概率为 0.06 ，加工出来的零件混放在一起，并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。（ 1） 求任取一个零件是废品的概率（ 2） 若任取的一个零件经检查后发现是废品， 则它是第二台机床加工

4、的概率。解： (1)设 b = 取出的零件是废品 ， a1 = 零件是第一台机床生产的 ，a2 = 零件是第二台机床生产的 ，则 p( a1 )2 , p( a2 )1 ,33由全概率公式得：p( b ) p( b | a1 ) p( a1 ) p( b | a2 ) p( a2 ) 0.03 20.06 10.0433(2)p( b | a2 ) p( a2 ) 0.020.5p( a2 | b )0.04p( b )2某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9 : 3 : 2 :1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1 : 2 : 3 : 1 ，当一台机床需要修理时，求这台机床是车床的

5、概率。解：设 a1, a2 , a3 , a4 分别表示车床、钻床、磨床、刨床,而 b 表示“机床需要修理”,利用贝叶斯公式 ,得p( a1 | b)4p(a1b)p( a1 )1 7 9 1591 73 52 71 53 72 151 71 1522i 1p(b | ai ) p( ai )3三个元件串联的电路中，每个元件发生断电的概率依次为 0.1，0.2，0.5，且各元件是否断电相互独立，求电路断电的概率是多少 ?解：设 a1 , a2 , a3 分别表示第 1， 2， 3 个元件断电， a 表示电路断电，则 a1 , a2 , a3 相互独立， a a1 a2 a3 ，p( a ) p

6、 ( a1a2 a3 ) 1 p( a1 a2 a3 )1p( a1 )p ( a2 ) p( a3 )1(10.1)(10.2)(10.5)0.644有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。掷一枚骰子，若出现 1，2，3 点则选甲盒，若出现 4 点则选乙盒，否则选丙盒。然后从所选的中盒子中任取一球。求：（1）取出的球是白球的概率；（2）当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。解： 设 a= 选中的为甲盒 ， b= 选中的为乙盒 ，c= 选中的为丙盒 ，d= 取出一球为白球 ，则p( a)3 ,p(b)1 ,p(c )2666p( d | a

7、)1 , p( d | b)2 , p( d |c )3336p( d )31122346363669313p( a | d )64389第五次作业一填空题：1某班级 12 名女生毕业后第一年的平均月薪分别为180020003300185015002900410030005000230030002500则样本均值为2770.8 ，样本中位数为2700 ，众数为 3000，极差为 3500，样本方差为2 设 随 机 变 量 的 分 布 函 数 为 f( x) ， 则 pa 1 f ( a 0) ，paf (a)f( a0)3. 设随机变量 的分布函数为0,x0f (x)ax2 ,0 x11,x1

8、则常数 a 的范围为0,1， p0.50.8 _ 0.39a _二 .选择题：1. 描述样本数据“中心”的统计量有（ a,b,c ），描述样本数据“离散程度”的统计量有（ d,e）a样本均值b. 中位数c. 众数d. 极差e. 样本方差2. 下列表述为错误的有（ c）a分布函数一定是有界函数b. 分布函数一定是单调函数c分布函数一定是连续函数d. 不同的随机变量也可能有相同的分布函数3. 下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是（ a ）11（b） f ( x)1 (1 e x ),x0（a ） f ( x)arctan x220,x01（d） f ( x)xf (t)dt 1（ c）f (

9、 x) 12f (t )dt ，其中x4设概率 p( xx1 )p( x x 2 )，且 x1x 2 ，则 p( x1 xx 2 ) （ c ），(a)1；( b)1 () ；(c )1；( d )1 () 。三 . 计算题：1. 利用 excel 的数据分析工具验算填空题 1. 的计算结果，并把样本数据分为四组画出频率直方图（本题可选做）直方图4150.00%率2100.00%频率频50.00%累积 %0.00%1500 2500 3500 4500 5000 其他接收2设随机变量的分布函数为0,x014 ,0x1f ( x)1,1x3133x6,21,x6试求 p(3)， p(3) ， p

10、(1)， p(1)解： 由公式 p(x)f ( x)f ( x0) ,得p(3)f (30)1,13p(3)f (3),212p(1)1f (1)13,3p(1)1f (10)113443已知随机变量只能取 -2，0，2，4四个值，概率依次为 c ,c, c, c , 求常数 c ，2346并计算 p(1|1)解：利用规范性，有 cccc1c4 .23465因此()2, ()4, ()1,()2,2p0p2p4p515515p(1|1)= p(p(1)(1)p(0)p(0)p(4)= 4 .1)p(2)9第六次作业一. 填空题：1.若随机变量 u 1,6 ,则方程 x2x10 有实根的概率为0

11、.82. 设随机变量 x 的概率密度为ax 20x 1f (x), 则 a =_3_0其它3. 设离散型随机变量 的分布函数为0x10f ( x )0.710x01x0则 的分布律为 p(10) 0.7 , p(0) 0.34. 设连续型随机变量 x 的概率密度函数为f (x)2x,x (0,1)30,x(0,1)0,x0则分布函数 f ( x)x3/ 2 ,0x11,x1二. 选择题：1在下列函数中，可以作为随机变量的概率密度函数的是（a ）2x , 0 x 1x2, 0 x 1a. f (x)其他b f ( x),其他0 ,0cos x,0 x2e x,x0c f (x),其他d f (

12、x),x0002下列表述中不正确有（ a ， d）a f ( x) 为离散型随机变量的分布函数的充要条件是f ( x) 为阶梯型函数b 连续型随机变量的分布函数一定是连续函数c 连续型随机变量取任一单点值的概率为零d 密度函数就是分布函数的导数三. 计算题1.（柯西分布）设连续随机变量的分布函数为f ( x)ab arctan xx求：（ 1）系数a 及 b ；(2)随机变量落在区间 ( 1, 1) 内的概率；（ 3）随机变量的概率密度。解: (1) 按照分布函数的定义,有f ()limab arctan xab0,x2f ()limab arctan xab1,x2得 a1 , b1.21(

13、2)p( 11)p(11)f (1)f (1).2(3)p(x)f ( x)11 arctan x1,x2( x21)2 学生完成一道作业的时间是一个随机变量，单位为小时，它的密度函数为cx2x0x0.5p( x)0其他（ 1） 确定常数 c ；（ 2） 写出 的分布函数；（ 3） 试求在 20 min 内完成一道作业的概率；（ 4） 试求 10 min 以上完成一道作业的概率。解 :(1) 利用规范性 ,有1p(x)dx0.5x)dxc1c21.(cx20248(2) 当 x0 时 , f ( x)xx0 ,p(t )dt0dt当 0x0.5时 , f ( x)xp(t)dtx2t )dt7

14、x31 x2 ,(21t02当 x0.5时 , f ( x)xp(t )dt0.5t)dt 1 ,(21t 20综上所述 ,0,x0,f ( x)7x31 x2 ,0 x 0.5,21,x0.5.(3) p01f ( 1)f (0)17.3354(4) p11f (1)103(or(21x2x)dx103)1 2661081 61083. 袋内有 5 个黑球 3 个白球 ,每次抽取一个不放回 ,直到取得黑球为至。 记 y 为抽取次数， 求 y 的概率分布及至少抽取 3 次的概率。解： (1) y 的可能取值为 1， 2， 3， 4p(y=1)=5/8 ，p(y=2)=3/8 5/7=15/56，p(y=3)= 3/82/75/6=5/56，p(y=4)= 3/82/71/6=1/56。所以 y 的概率分布为y1234p515518565656(2) p(y 3)=p(