奥数专题之平面几何

1、第一讲三角形中的心一、重心1.定义：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心.2.性质：（ 1）重心到顶点的距离是其到对边中点距离的2 倍；（ 2）重心与三角形任意两个顶点组成的三个小三角形的面积相等；（ 3）重心到三角形三个顶点距离的平方和最小；（ 4）设 g 为 abc 的重心，连结 ag 并延长交 bc 于 d，则 ad 2 1 (2 ab22ac 2bc 2 )4 g( xa xbxc , y a y b y c ) .33二、外心1.定义：三角形外接圆圆心叫做三角形的外心.2.性质：（ 1）外心是三角形三条中垂线的交点，它到三角形各顶点距离相等；（ 2）设 r 为三角形 abc 的外接

2、圆半径，则 rabc；4 s abc三、垂心1.定义：三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心；aho2.性质：bec（ 1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2 倍；（ 2）垂心 h 关于 abc 的三边的对称点，均在abc 的外接圆上；（ 3） abc 的垂心为 h，则 abc， abh， bch， ach 的外接圆是等圆；注：（ 1）欧拉线：三角形的外心 o、重心 g、垂心 h 三点共直线（欧拉线） ，且 gh=2og（ 2）欧拉公式 (定理 )：设三角形的外接圆半径为r,内切圆半径为 r,外心与内心的距离为d,则 d2=r2 2rr注：欧拉不等式 r 2r 四、内心1.定

3、义：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心2.性质：（ 1）内心是三角形三条角分线的交点，即内心到三角形各边距离相等；（ 2）设 bc a, ac b, ab c, 内切圆 i 的半径为 r， i 切 ab 于点 p， ai 的延长线交 bc 于 n，交 abc 外接圆于点 d，则apbci bic 90a； db=di =dc； s abcr a bc ；bn ac22五、旁心1.定义：三角形旁切圆的圆心叫做旁心2.性质：（ 1）旁心是三角形的一内角平分线与两外角平分线交点；d（ 2 ） 设 abc的 旁 切 圆 圆 心 分 别 记 为 i a , i b , i c ， 其 半 径 分 别 记

4、 为 r a , rb ,r c 则11a, （对于顶角 b， c 也有类似的式子） ； i a i b i c1 ( ac) .bi ac 90a, bi b cbi cc222例 1 点 a 在 kmn 的内部，点b 在 km 上，点 c 在 mn 上，如k果 cbm= abk ， bcm= can，求证： bcm 的外心在 am 上bamcn例 2（ 2002 第 23 届 imo 试题）已知 bc 为 o 的直径， a 为ao 上一点， 0 aob120， d 是弧 ab（不含 c 的弧）的中点，f过 o 平行于 da 的直线交 ac 于 i ，oa 的垂直平分线交o 于 e， f，d

5、证明： i 是 cef 的内心ieboc例 3 已知在等腰abc 中， cd 是 bca 的角平分线， o 是它的外b心过 o 作 cd 的垂线交 bc 于点 e，过 e 作 cd 的平行线交 ab 于点 f ，求证： be=fd feodhca第二讲几个重要定理一、梅涅劳斯（ menelaus）定理：设 abc 的三边 bc、ca、ab 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为p、 q、 r，则有arbpcq1 rbpcqa注：梅涅劳斯（ menelaus）定理的逆定理也成立，即由ar bp cqrb pc1可推 p、 q、r 三点共线qa二、塞瓦 (ceva)定理：设 p、q、

6、r 分别为 abc 的边 bc、 ca、 ab 上的一点，则 ap、 bq、 cr 所在直线交于一点，则arbp cq1rb pc qa例 4（ 1996 年全国高中数学联赛试题）设o1与 o2 和 abc 的三条边所在直线都相切，切点分别为e，f ，g，h，直线 eg 与 fh 交于点 p，求证： pa bcpgo 1hao2ebdcf例 5 一个圆与 abc 的三边 bc、 ca、 ab 所在直线分别相交于点 p 与 p/、 q 与 q/、 r 与 r/ ，如果 ap、 bq、 cr 三线共点，求证：ap/、bq /、 cr/三线共点或互相平行aq/rr/qbpp/c三、西姆松（ sims

7、on）定理：从 abc 的外接圆上任意一点 p 向ba三边 bc、 ca、 ab 或其延长线作垂线，设其垂足分别是d、 e、 f，q则 d 、e、 f 共线，（这条直线叫西摩松线） 例 6(2003 年 imo 试题 )设四边形 abcd 是一个圆内接四边形， 从m点 d 向直线 bc, ca 和 ab 作垂线，其垂足分别为pp,q 和 r，求证：pq=qr 等价于 abc 的平分线， adc 的平分线和 ac 这三条直线相交于一点ca四、托勒密（ ptolemy ）定理：圆内接四边形 abcd 对角线之积等于两组对边乘积之和，即 acbd=abcd +adbcbe注：（ 1）逆命题成立；c（

8、 2）（广义托勒密定理）在凸四边形abcd 中，有ab cd +ad bc acbdb例 7（ 1998 年 imo 预赛试题）设m，n 是 abc 内部的两个点 ， 且 满 足 mab = nac ， mba = nbc ， 求 证 ：am anbm bncm cn1.nab acba bcca cbma五、根轴定理根轴：到任意的两个圆(不是同心圆 )的幂相等的点的集合是一条直线，这条直线称为这两圆的根轴根轴定理：根轴是一条垂直于两圆连心线的直线注：若两圆相交，则根轴就是两圆公共弦所在直线；若两圆相切，则根轴就是两圆的公切线所在直线rddc例 8(2001 年全国高中数学联赛加试试题)已知在

9、 abc中， o 为外心，三条高线mad,ce,cf 交于点 h，直线 ed 和ab 交于点 m，直线 fd和 ac 交于点 n，求证：（ 1）ob fd ， ocde ；（ 2）oh mn afgc/b /oh eba/dcn例 9 设 o 与直线 l 相离，作 op l，垂足为 p，点 q 是直线 l 上不同于 p 的任一点，过点 q 作 o 的两条切线 qa，qb，切点分别为 a，b，ab 与 op 相交于点 k，过点 p 作 pm qb， pn qa，垂足分别为 m， n，求证：直线 mn 平分线段 kp lpqcnmakob六、定差幂线定理定差幂线定理：若线段pq 与 mn 相交于

10、h，则 pq mn 的充要条件是mp2- np2= mq 2- nq2.推论 1已知两点a 和 b，则满足ma 2- mb 2=k (k 为常数 )的点 m 的轨迹是垂直于的一条直线.推论 2(施坦纳定理 ) 由 abc 所在平面上的点 a1,b1,c1 分别向边 bc,ca, ab 作垂线，则垂线共点的充要条件的： a1b2- bc1 2+ c1a2- ab1 2+b1 c 2- ca12=0.例 10 在 abc 中， ab=ac，d 是 bc 的中点， de ac，e 为垂足， f 是 de 的中点，求证： be af.aefbdc例 11 在四边形 abcd 中，ab,cd 的垂直平分

11、线相交于点p，ad , bc 的垂直平分线相交于 q， m,n 分别是 ac , bd 的中点，求证： pq mn.dpcnmqaba例 12 abc 的三条高线 aa1, bb1, cc1 相交于点 h ，求证：从 a,b,c 分别作 b1c1,c1a1, a1b1 的垂线也必相交于一点，且该c1点为 abc 的外心 .oh b1ba1cd例 13(2003 年国家队集训 ) 凸四边形 abcd 的对角线相交于a点 m，p,q 分别是 amd 和 cmb 的重心， r,s 分别是 cmdpr和 amb 的垂心，求证： pqrs.smqbc七、密克尔定理定理1(三角形的密克尔定理) 设在一个三

12、角形每一边所在直线上取一点，过三角形的每一顶点与两条邻边所在直线上所取的点作圆，则这三个圆共点.定理 2(完全四边形的密克尔定理 )四条一般位置的直线形成的四个三角形，它们的外接圆共点.例 14(2009 年第 35 届俄罗斯 )a1 和 c1 分别是平行四边形 abcd 的边 ab 和 bc 上的点，线段 ac1 和 a1c 相ad交于点 p， aa 1p 和 cc 1p 的外接圆的第二个交点 qa1q位于 acd 内部，求证： pda = qba.pbc1c例 15(第 35 届 imo) abc 是一个等腰三角形， ab=ac，假如（ 1）m 是 bc 的中点， o 是直线 am 上的点

13、， 使得 ob 垂直于 ab；（ 2）q 是线段 bc 上不同于 b 和 c 的任意点；（ 3）e 在直线 ab 上，f 在直线 ac 上，使得 e,g 和 f 是不同的三个共线点 .afbqmceo八、帕斯卡定理帕斯卡定理 :设六边形abcdef 内接于圆 (与顶点次序无关 , 即 abcdef 无需为凸六边形 ), 直线 ab 与 de 交于点 x,直线 cd 与 fa 交于点 z, 直线 ef 与 bc 交于点 y. 则 x、y、 z 三点共线 .将直线 xyz 称做帕斯卡线 .yxk z a febd ncmc1a例 16如图 ,过 abc 的顶点 a、b、c 各作一直线使之交于一点p, 而yb1分别交 abc 的外接圆于 a1、b1、c1.又在外接圆上任取一点q, 则 qa1、pqqb1、 qc1与 bc、 ca、 ab 对应的交点 x、 z、y 三点共线 .bxca1例 17 (第 48 届 imo