谈待定系数法在中学数学解题中的应用

1、谈待定系数法在中学数学解题中的应用 摘 要： 待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法之一。它在数学解题中广泛使用，特别是有些问题，用待定系数法更简捷明了。本文简单阐述了待定系数法的概念、理论依据及其解题步骤，重点论述了待定系数法在中学数学解题中的应用，概括重点题型以及在教学中的教法。关键词：待定系数法；数学解题；教学应用Abstract: The method of undetermined coefficients is used mathematical methods in solving math problems. Widely used in mathematical probl

2、em solving, especially some of the problems, more simple and straightforward method of undetermined coefficients. This article briefly discusses the concept of the method of undetermined coefficients, the theoretical basis for their problem-solving steps, focuses on the application of the method of

3、undetermined coefficients in the secondary school mathematics problem solving, summarized the key kinds of questions as well as the teaching methods in teaching.Key words: method of undetermined coefficients; mathematics; teaching application在数学课堂教学中，我们在讲解数列这章知识时，经常会碰到一类题型，如：已知数列中，。求，在讲解这类题型时，我们往往交给

4、学生一种简便可行的数学方法-待定系数法作为辅助工具，达到解决问题的目的。待定系数法是中学数学中的数学方法，更是一种很好解决中学数学问题的手段。1 待定系数法的定义对于某些数学问题，若是知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数（或参数）来表示这样的结果，通过变形与比较，建立起含有待定字母系数（或参数）的方程（组），并求出相应字母系数（或参数）的值，进而使问题获解，这种方法称为待定系数法。待定系数法的理论依据：多项式的恒等定理-以标准形式给出的两个多项式恒等的充分必要的条件是这两个多项式的对应项分别是具有相同系数的同类项。即多项式的充要条件是：对于一个任意的值，都有；或者两个

5、标准多项式中各同类项的系数对应相等1。2 待定系数法的步骤待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解4。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：（1）根据已知条件，确定问题所求结果的形式，引入恰当的待定字母系数，得到一个含有这些待定字母系数的等式；

6、（2）再根据已知条件，列出方程组；（3）解这个方程组，求出各待定字母系数；（4）利用这个解决问题。3 解题方法指导待定系数法是根据两个多项式恒等的条件而产生的一种方法，因此，从恒等变形的意义来看，它不过是把一个代数式从一种形式变换为另一种形式，并且确保变形前后的两个代数式是恒等的，也就是形变而值不变。利用待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程2。主要从以下几方面着手分析：利用对应系数相等列方程；是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的方程（组），即的充分必要条件是。由恒等的概念用数值代入法列方程；指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于

7、待定系数的方程(组)，由此求得待定系数的值。利用定义本身的属性列方程；是指根据所涉及的数学概念、公式、定理等建立方程(组)。利用几何条件列方程；是指根据图形、图象、曲线间的量的关系建立关于待定系数的方程(组)。4 待定系数法在解题中的应用4.1 待定系数法进行因式分解例1 分解因式： 。分析：这是一个关于的四次多项式，由于次数相对过高，不能使用十字相乘。分组分解法又有困难，经过验证由没有有理根，但是次数是确定的，我们能够根据次数大概猜测其因式分解以后的形式，这个时候我们可以引进待定系数法进行因式分解。解：设= =，比较等式两边的多项式对应项的系数，列出方程组，得 ，解该方程，得到，所以。评析：

8、与这个类型题相似解题的还有解方程、解不等式。如把题目改成解方程，或者解不等式。这两种类型的题型的做法跟本题因式分解方法相同。4.2 用待定系数法求部分分式和例2 将化为部分分式之和。 分析：这类型的问题思路基本上跟因式分解类似，首先用未知数表示化为部分分式和以后的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，代入所设的部分和即可得结果。解：由于，则可设，则由相等的多项式各项系数相等可列出方程组，解以上方程组得，故。4.3 待定系数法求函数解析式这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法。初中阶段主要有正比例函数、反比例函数

9、、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设，的形式(其中k、b为待定系数，且)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成 (为待定系数)，(为待定系数)，( 为待定系数)三类形式3。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、c、b、x1、x2等待定系数。例3 是否分别存在满足下列条件的函数：（1）是三次函数，且， ， ， ；（2）是一次函数，且。 如存在，求出的表达式；若不存在，说明理由。分析：首先假设函数存在，用字母设出函数的解析式，利用已知的条件建立方程或方程组，解方程组，求出未知数，写出函数解析式。解：（1）设，则由题意可建立方程式，得，解以上方程组，得 ，故存

10、在满足条件的的函数存在，表达式为。（2）假设存在，由是一次函数可知是二次函数，故可设，则将和代入已知条件，得，整理得，由等式两边各项系数相等，可建立方程组，解以上方程组可得，所以满足条件的存在，表达式为。评析：利用待定系数法求解函数解析式，可以使问题简化。4.4 待定系数法在三角函数中的应用例4 求和解： 因为 所以设 对两边取正切，得：于是，可以通过求解方程组： （m为待审定系数）以确定的值。当m=1时，无合适的解；当m=2时，得（舍去负值）；即令k=1,2,3,n,累加得： 评注：观察数学式子结构，退到最简单的形式，伴随以有目的的联想类比，引入待定参数运用待定系数法思想分析和解决问题。4.

11、5 待定系数法在解析几何中的应用例5 求以相交两圆：及：的公共弦为直径的圆的方程。解：两个圆的方程相减，得，即两个圆公共弦所成直线方程，显然的圆心（-1,1）不在此直线上，故可设所求圆的方程为： （为待定参数），即 ，其圆心O的坐标， 点O在直线上， ，即，解得，故所求的方程为：，即 。评析： 圆锥曲线中，参数（）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（）不变，本题就利用了这一特征，列出关于的等式。一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）几何条件转换成方程求解已知系数代入。4.6 待定

12、系数法在不等式中的应用例6 已知函数的最大值为7，最小值为-1，求此函数的表达式。解：求函数的表达式，实际上就是确定系数的值。将函数式变形为：，即 要使函数有最大值7，最小值-1，亦就是，显然即 比较系数得方程组：，解得 或，故所求函数表达式为： 或 。评析： 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理

13、解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。4.7 待定系数法在数列中的应用例7 已知数列中，设，求数列的通项公式（2010高考全国卷一）。分析：利用待定系数法求数列的解析式，首先把某些已知条件转化成我们熟知的简单的数列的形式，比如等差数列、等比数列等，用字母表示，然后根据数列的性质，解出未知数，即可得结果。解：，则，即 则可设，即通过与式比较，可解得，则，又有，故故是首项为，公比为4的等比数列，即则评析：对，当时，若为等差数列，则

14、，则只需要要用叠加法即可求解。对，当且时，若为等差数列，则可设，那么可设，即，通过所设的式子与原式的对比可设方程组，解方程组得，故数列为等差数列。最后可以根据等差数列的性质及题目给出的条件求出数列的通项式。5 归纳应用待定系数法解题的常用题型（1）用待定系数法进行因式分解，如：对因式分解。（2）用待定系数法求函数解析式，如：已知函数，（其中，）的图像与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为，求其解析式（2009年陕西高考）。（3）用待定系数法求数列通项式，如：已知等差数列满足：，的前项和为，求（2010年山东高考）。（4）用待定系数法求解的其它类型。如：不等式问题、三角函数

15、问题、求部分分式和，解析几何问题等等。6 待定系数法在课堂教学中的教法对于待定系数法，这是一种重要的数学方法，我们不单单要教会学生这种方法到底能解决什么样的题目，更重要的是通过对待定系数法这一概念的学习及应用，让学生体会对于一个数学方法，数学概念，它的由来，是如何推广应用的，以及对于应用的概括，有了一个明确的目的后在教学过程中就会容易。在教学中,我们可以分为三部分来进行：(1)待定系数法的概念，理论依据是什么，一般解题中的步骤，此部分教师可以通过一些简单具体的实力来讲解，意在使学生明白接受新知识。数学概念的教学，是整个数学教学的一个重要环节。正确的理解数学概念，是掌握数学知识的前提，数学概念好

16、比支点，而数学法则、定理好比杠杆；(2)新知识的目的在于应用，所以待定系数法究竟有什么样的应用，推测学生对于基础的应用可能知道一些，但不会全，所以这部分教师就应该引导学生猜测验证待定系数法在各个方面的应用，强调所说的应用要居于待定系数法的理论依据，让学生体会发现应用的过程；(3)归纳总结这部分知识，所应用到的思想方法，了解学生的学习体会等。参考文献：1 刘文清. 用待定系数法分解三、四次多项式J. 数学通报, 1981, (11) 2 赵运锋. 因式分解之浅谈J. 甘肃教育, 2006, (01) 3 黄兆麟. 待定系数法因式分解二次六项式J. 中学生数学, 2010, (04) 4 尤启明. 二次六项式因式分解的一个必要条件J. 中学生数学, 2010, (24)